湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 含答案

2024年下学期期中考试试卷高二数学注意事项：1．本试卷考试时量120分钟，满分150分；2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；3．请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，集合，则(∁RA)A． B． C． D．2．直线的倾斜角为A． B． C． D．3．设，向量，，，且，，则等于A． B． C．3 D．44．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则A． B．C． D．5．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为A． B． C． D．6．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为A． B． C． D．7．已知曲线，曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为A． B．C． D．8．已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若△的周长为16，则的方程为A． B． C． D．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．下列说法正确的是A．直线的倾斜角为B．若直线经过第三象限，则，C．点在直线上D．存在使得直线与直线垂直10．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是A．B．直线与所成角的余弦值为C．三棱锥的体积为D．存在实数使得11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则A．轨迹的方程为B．在轴上存在异于的两点，使得C．当三点不共线时，射线是的角平分线D．在轨迹上存在点，使得三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知直线，若，则实数.13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是．14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知△ABC的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．(1)求所在直线的方程；(2)求高所在直线的方程.16．（15分）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.17．（15分）在四棱锥中，，，平面平面，，且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值.18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，△的周长为．(1)求的方程；(2)若△的面积为，求的方程；(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．19．（17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．(1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(2)若点，，求的最大值；(3)若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．2024年下学期期中考试高二数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【B】【详解】由集合或，所以∁RA={x|−1<x2．【C】【详解】由得：，设其倾斜角为，，所以斜率，故倾斜角为，故选：C3.【C】【详解】，，，，，，，．，．故选：C.4.【B】【详解】连结，因，点为的中点，则，于是，.故选：B.5．【D】【详解】联立和方程，求得交点坐标，再结合垂直关系求得斜率，即可求解【详解】由，，联立方程可得：又直线斜率为，所以要求直线斜率为，故直线方程为，即.故选：D6.【D】【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，所以，故，设直线与平面所成角为，则，所以.故选：D7．【B】【详解】设，因为为的中点，所以，即，又因为点在曲线上，所以，所以．所以点的轨迹方程为即．故选：B8．【C】【详解】因为椭圆的离心率，可得，所以，即，可得，则点，右焦点，所以，由题意可得直线的斜率，所以，即，由题意设直线的方程为，直线的方程为，设直线与直线的交点为，联立，可得，，则，可得为的中点，所以直线为线段的中垂线，即，，的周长，可得，所以，，所以椭圆的方程为：.故选：C．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．【ACD】【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确；对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误；对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确；对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确.故选：ACD.10．【BD】【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，对于B，，所以直线与所成角的余弦值为，故B正确；对于C，由上，所以，所以即，又，所以，因为，又由正方体性质可知平面即平面，所以，故C错误；对于D，若存在实数使得，则，所以，所以，故D正确.故选：BD.11．【BCD】【详解】对于A，设，则，整理得，即，A错误；对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，设，，则，整理得，而点的轨迹方程为，于是，解得或（舍去），B正确；对于C，如图所示，当三点不共线时，，即，于是，显然，因此，射线是的角平分线，C正确；对于D，假设在C上存在点M，使得，设，则，，则，整理得，又，联立解得或，D正确.故选：BCD第二部分（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．【2】【详解】由直线，因为，可得，即，解得.故答案为：13．【】【详解】由题知，又平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，故答案为：.14．【】【详解】连接，因为是的中点，分别是，的中点，所以,四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）解：（1）因为是边的中点，所以， ...................2分所以直线的斜率， ...................4分所以所在直线的方程为：，即， ...................6分（2）因为是边AB的中点，所以，因为是边上的高，所以，所以， ...................9分所以， ...................10分因此高所在直线的方程为：，即 ...................13分16．（15分）解:（1）因为，的中点为，且直线的斜率，则线段的垂直平分线所在直线的方程为， ....................3分联立方程，解得， ...................6分即圆心，，所以，圆的方程为 ...................8分（2）因为直线被曲线截得弦长为，则圆心到直线的距离， ...................12分由点到直线的距离公式可得，解得 ...................15分17．（15分）解：（1）证明：过作于，因为，所以与相交，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， ...................2分因为平面，所以，因为，与相交，平面，所以平面； ...................5分（2）取的中点，连接，因为，，所以，因为，所以为等边三角形，，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以，所以两两垂直， ...................6分所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，所以， ...................8分因为，，，平面所以平面，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则 ...................10分（3）因为，所以，设平面的法向量为，则，令，则， ...................12分设平面的法向量为，则，令，则， ...................14分所以，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为 ...................15分18．（17分）解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，的周长为，所以，所以，故的方程为． ...................4分（2）易知的斜率不为0，设，联立，得，所以． ...................6分所以，由，解得，所以的方程为或． ...................10分（3）由（2）可知，..........12分因为的斜率是的斜率的2倍，所以，得． ...................14分所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． ...................17分

19．（17分）解：（1）， ...................1分，； ...................4分（2）设，由题意得：，即，而表示的图形是正方形，其中、、、． ...................6分即点在正方形的边上运动，，，可知：当取到最小值时，