《第1课时-单项式与多项式相乘》教案-(公开课)2022年湘教版数学

多项式的乘法第1课时单项式与多项式相乘1．能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法那么探究得出单项式与多项式相乘的法那么；2．掌握单项式与多项式相乘的法那么并会运用．(重点、难点)一、情境导入计算：(－12)×(eq\f(1,2)－eq\f(1,3)－eq\f(1,4))．我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算，那么怎样计算2x·(3x2－2x＋1)?二、合作探究探究点：单项式与多项式相乘【类型一】直接利用单项式乘以多项式法那么进行计算计算：(1)(eq\f(2,3)ab2－2ab)·eq\f(1,2)ab；(2)－eq\f(2,5)x·(eq\f(5,3)x2－2y＋5)．解析：直接利用单项式乘多项式的法那么计算即可．解：(1)(eq\f(2,3)ab2－2ab)·eq\f(1,2)ab＝eq\f(2,3)ab2·eq\f(1,2)ab－2ab·eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,3)a2b3－a2b2；(2)－eq\f(2,5)x·(eq\f(5,3)x2－2y＋5)＝－eq\f(2,5)x·eq\f(5,3)x2＋eq\f(2,5)x·2y－eq\f(2,5)x·5＝－eq\f(2,3)x3＋eq\f(4,5)xy－2x.方法总结：单项式与多项式相乘的运算法那么：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【类型二】单项式与多项式乘法的实际应用一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(2a＋3b)米，坝高eq\f(1,4)a米．(1)求防洪堤坝的横断面面积；(2)如果防洪堤坝长400米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘多项式的法那么计算；(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．解：(1)防洪堤坝的横断面面积S＝eq\f(1,2)[a＋(2a＋3b)]×eq\f(1,4)a＝eq\f(1,8)a(3a＋3b)＝eq\f(3,8)a2＋eq\f(3,8)ab(平方米)．故防洪堤坝的横断面面积为(eq\f(3,8)a2＋eq\f(3,8)ab)平方米；(2)堤坝的体积V＝(eq\f(3,8)a2＋eq\f(3,8)ab)×400＝150a2＋150ab(立方米)．故这段防洪堤坝的体积是(150a2＋150ab)立方米．方法总结：通过此题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计算方法，同时掌握单项式乘多项式的运算法那么是解题的关键．【类型三】化简求值先化简，再求值：2a(a2－3a＋4)－3a2(2a＋5)，其中a＝－1.解析：首先根据单项式与多项式相乘的法那么去掉括号，然后合并同类项，最后代入的数值计算即可．解：2a(a2－3a＋4)－3a2(2a＋5)＝2a3－6a2＋8a－6a3－15a2＝－4a3－21a2＋8a.当a＝－1时，原式＝－4×(－1)3－21×(－1)2＋8×(－1)＝－25.方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要搞错．【类型四】单项式乘多项式，利用展开式中不含某一项求未知系数的值如果(－3x)2(x2－2nx＋eq\f(2,3))的展开式中不含x3项，求n的值．解析：原式先算乘方，再利用单项式乘多项式法那么计算，根据结果不含x3项，求出n的值即可．解：(－3x)2(x2－2nx＋eq\f(2,3))＝(9x2)(x2－2nx＋eq\f(2,3))＝9x4－18nx3＋6x2，由展开式中不含x3项，得到n＝0.方法总结：单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.变式三、板书设计单项式与多项式相乘的法那么：单项式与多项式相乘，先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．本节课在已学过的单项式乘单项式的根底上，学习单项式乘多项式．教学中注意发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，通过不断纠错来提高4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司话费收费有A套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费为y2(元)，月通话时间为x分钟．(1)分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？(3)什么情况下A套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t以内(包括10t)的用户，每吨收水费a元；月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的局部，按每吨b元(b>a)收费．设某户居民月用水xt，应收水费y元，y与x之间的函数关系如以下图．(1)求a的值，并求出该户居民上月用水8t应收的水费；(2)求b的值，并写出当x>10时，y与x之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t时，设其函数表达式为y＝ax，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a的值；再将x＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t多还是比10t少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x≤10时，图象过原点，所以设y＝ax.把(10，15)代入，解得ayx(0≤x≤10)．当x＝8时，y×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x>10时，设y＝bx＋m(b≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10b＋m＝15，,20b＋m＝35，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,m＝－5，))即超过10t的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y＝2x－5(x>10)；(3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t多．设居民乙上月用水xt，那么居民甲上月用水(x＋4)t.y甲＝2(x＋4)－5，y乙＝2x，得[2(x＋4)－5]＋(2x－5)＝46，解得xt，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价(元/千克)售价(元/千克)甲种58乙种913(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，那么购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560，故W随x的增大而减小，那么x越小，W越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为xcm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为acm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为Scm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为xcm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为acm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为Scm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)品牌AB进价(元/箱)5535售价(元/箱)6340解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)箱，那么y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3xy＝3x＋2500(0≤x≤500)；(2)由题意，得55x＋35(500－x)≤x≤125.∴当x＝125时，y最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y(km)与自行车队离开甲地时间x(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B的坐标和C的坐标，由自行车的速度就可以D的坐标，由待定系数法就可以求出BC，ED的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a小时两车相遇，由题意得24(a＋1)＝60a，解得a＝eq\f(2,3).答：邮政车出发eq\f(2,3)小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝eq\f(9,4)(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为eq\f(9,4)＋2＋1＝eq\f(21,4)(h)，∴B(eq\f(2