广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题（柳州一模）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题（柳州一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1+i，则1z的虚部为(    )．A.−12 B.12 C.−2.对于非零向量a，b，“a+b=0”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知双曲线C:y24−x2mA.1 B.2 C.8 D.164.若过点(23,0)与圆x2+y2A.55 B.255 5.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(−5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，则点M的轨迹方程为(    )．A.x225−9y2100=1(x≠±5) 6.设函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)，已知f(x1)=−1，f(x2)=1A.1 B.2 C.3 D.47.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积为763，AB=2A.32 B.3 C.28.设函数f(x)=xlnx−(a+b)lnx，若f(x)≥0，则5aA.1 B.2 C.5 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X服从正态分布,即X~N(3,9),则().A.E(X)=27 B.D(X)=9

C.P(X≥8)>P(X≤-1) D.P(X≤1)+P(X≤5)=110.过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交E于A，B两点，经过点A和原点O的直线交抛物线的准线于点D，则下列说法正确的是(    )A.BD//OF B.OA⊥OB

C.以AF为直径的圆与y轴相切 D.|AF||BF|=11.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数。已知f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为g(x)，若函数y=f(x+1)−1是奇函数，函数y=g(x+2)为偶函数，则下列结论错误是(    )．A.f(1)=1 B.g(1)=1

C.y=f(x+2)−1为奇函数 D.i=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知x2+2x−1=0，则x2+13.在(3x3+x14.如图，在4×4的格子中，有一只蚂蚁从A点爬到B点，每次只能向右或向上移动一格，则从A点爬到B点的所有路径总数为

，若蚂蚁只在下三角形(对角线AB及以下的部分所围成的三角形)行走，则从A点到B点的所有总路径数为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3(1)求A;(2)若a=2，2bsinC=c16.(本小题15分)

如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，B为底面圆周上一点，点D在线段BC上，AC=2AB=4，CD=2DB．

(1)证明：AD⊥平面BOP;(2)若圆锥PO的侧面积为8π，求二面角O−BP−A的正弦值．17.(本小题15分)已知函数f(x)=ax−ln(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．18.(本小题17分)在平面直角坐标系xOy中，P为直线y=2上一动点，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为M(−2,0)，N(2,0)，上、下顶点分别为(1)求证：直线AB过定点，并求出定点坐标;(2)求四边形ASBT面积的最大值．19.(本小题17分)某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了A和B两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况(单位：千张)的折线图：(1)由折线图可看出，可用回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明;(2)假设每位顾客选择A套餐的概率为13，选择B套餐的概率为23，其中A包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为P(3)记(2)中所得概率Pn的值构成数列{Pn参考数据：i=17yi=16.17，i=1参考公式：相关系数r=i=1n参考答案1.A

2.A

3.B

4.C

5.A

6.D

7.C

8.D

9.BD

10.ACD

11.BCD

12.6

13.70

14.70；14

15.解：(1)由3sinA−cosA=2得，

32sinA−12cosA=1，即sin(A−π6)=1，由于A∈(0,π)得A−π6∈(−π6,5π6)，

∴A−π6=π2∴A=2π3

(2)由题设条件和正弦定理2bsin16.解：(1)∵PO⊥平面ABC，BA⊥BC，故以B为坐标原点，

BA为x轴正方向，BC为y轴正方向，与OP同向的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，

设|OP|=x，故B(0,0,0)，A(2,0,0)，

O(1,3,0)，P(1,3,x)，D(0,233,0)，

AD=(−2,233,0)，BO=(1,3,0)，BP=(1,3,x)，

∵AD⋅BO=−2+2=0，AD⋅BP=−2+2=0，

故AD⊥BO，AD⊥BP，∵BP∩BO=B，BP，BO⊂平面BOP，

∴AD⊥平面BOP；

(2)∵侧面积S=2π×PA=8π，∴PA=4，

∴OP=x=23，17.解：(1)当a=1时，则f(x)=x−lnx−1，f′(x)=1−1x可得f(1)=0，f′(1)=0，

即切点坐标为(1,0)，切线斜率为k=0

所以切线方程为y=0；

(2)f(x)定义域为(0,+∞)，且f′(x)=a−1x，

若a≤0，则f′(x)<0对任意x∈(0,+∞)恒成立．

所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，无极值，不合题意，

若a>0，令f′(x)>0，解得x>1a，

令f′(x)<0，解得x<1a可知f(x)在(0,1a)上单调递减，(1a,+∞)上单调递增则f(x)有极小值，f(1a)=1+lna−1a，无极大值，

由题意可得：f(1a)=1+lna−1a<018.解：由题意知a=2，b=1，椭圆E:x22+y2=1，

设P(t,2)，

(1).当t≠0时，设直线PA:y=1tx+1，

代入x2+2y2=2得t2+2t2x2+4tx=0⇒xA=−4tt2+2，从而yA=t2−2t2+2，点A(−4tt2+2,t2−2t2+2)，

设直线PB:y=3tx−1，

代入x2+2y2=2得t2+18t2x2−1219.解：由折线图中数据和附注中参考数据得

t=1+2+3+4+5+6+77=4，

i=17(ti−t)2=1−42+2−42+3−42+4−42+5−42+6−42+7−42=28，