2024-2025学年山东省百师联考高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省百师联考高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={1,2,3,4,5,6}，B={x∈N|2x∈A}，则∁AB=(

)A.{1,3,6} B.{3,4,6} C.{1,2,3} D.{4,5,6}2.“sinx=32”是“x=πA.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件3.设向量a=(2,2)，b=(−2,6)，c=(4,2)，且(a−λA.3 B.2 C.−2 D.−34.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为6π，则该圆锥的内切球体积为(

)A.4π B.4π3 C.435.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象.若对任意的x∈R都有g(x)+g(−x)=0，则图中a的值为A.−1

B.−3

C.−6.已知函数f(x)=x2+4x,x≤0,ln(1−x),0<x<1,若方程f(x)−ax=0恰有2个不相等的实数解，则A.(−∞,0] B.[−1,0] C.[−1,4) D.[0,+∞)7.已知函数f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，且当x∈(0,1]时，f(x)=log4x，则f(A.2 B.−2 C.1 D.−18.在平面直角坐标系内，方程x2+y2A.463 B.233二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知方程x2+2x+4=0的两个复数根为z1，z2A.z1+z2=−2 B.z110.设函数f(x)=x3−xA.当a=−1时，f(x)的极大值大于0

B.当a≥13时，f(x)无极值点

C.∃a∈R，使f(x)在R上是减函数

D.∀a∈R，曲线11.已知曲线C上的动点P(x,y)到点F(1,0)的距离与其到直线x=−1的距离相等，则(

)A.曲线C的轨迹方程为y2=4x

B.若T(4,2)，M为曲线C上的动点，则|MT|+|MF|的最小值为5

C.过点N(−1,0)，恰有2条直线与曲线C有且只有一个公共点

D.圆x2+y2=5与曲线C交于A、B两点，与x=−1交于E、G两点，则A、三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a413.曲线y=2x−lnx在点(1,2)处的切线与抛物线y=ax2−ax+2相切，则a=14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与平行于x轴的动直线交于A，B两点，点A在点B左侧，双曲线C的左焦点为F，且当AF⊥AB时，|AF|=|AB|.则双曲线的离心率是______；当直线运动时，延长BF至点P使|AF|=|FP|，连接四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足asinB=bcos(A−π6)．

(1)求角A；

(2)若a=2，求△ABC16.(本小题15分)

已知函数f(x)=xlnx−ax2+1．

(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减，求a的取值范围；

(2)若a<0，证明：17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，E，F分别为AB，PD的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2．

(1)证明：AF//平面PCE；

(2)若FC与平面ABCD所成的角是π6，求二面角F−AC−D的余弦值．18.(本小题15分)

如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为2(3+2)和2(3−2)，斜率为−13的直线l与椭圆C相交于异于点P(3,1)的M，N两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若|MN|=19.(本小题17分)

若有穷数列{an}(n∈N∗且n≥3)满足|ai−ai+1|≤|ai+1−ai+2|(i=1,2,⋯,n−2)，则称{an}为M数列．

(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；

①1，2，4，3．

②4，2，8，1．

(2)已知M数列{an}中各项互不相同．令bm=|am−am+1|(m=1,2,⋯,n−1)，求证：数列{参考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.A

6.C

7.C

8.C

9.ACD

10.BD

11.ABD

12.8

13.1

14.1+2

15.解：(1)由asinB=bcos(A−π6)及正弦定理得：sinAsinB=sinBcos(A−π6)，

故sinAsinB=32sinBcosA+12sinBsinA，

即12sinAsinB=32sinBcosA，

因为B∈(0,π)，sinB≠0，则12sinA=32cosA，

所以12sinA−32cosA=sin(A−π3)=0，

因为A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)由(1)可知，A=π3，

由余弦定理，得b2+16.解：(1)由f(x)=xlnx−ax2+1，则f′(x)=lnx+1−2ax，

因为f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以f′(x)=lnx+1−2ax≤0在(0,+∞)上恒成立，

所以lnx+1−2ax≤0，即a≥lnx+12x，

构造函数g(x)=lnx+12x(x>0)，所以g′(x)=1x⋅2x−2(lnx+1)4x2=−2lnx4x2，

当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，

所以g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，

所以当x=1时f(x)取得极大值也是最大值，即g(x)max=g(1)=12，所以a≥12，

所以a的取值范围为[12,+∞)．

证明：(2)由题意得f(x)=xlnx−ax2+1的定义域为(0,+∞)，

当a<0时，要证f(x)>0，即证：xlnx−ax2+1>0，等价于证明lnx−ax+1x>0

构造函数ℎ(x)=lnx−ax+1x(x>0)，即证ℎ(x)min>0；

所以ℎ′(x)=1x−a−1x2=−ax2+x−1x2，令T(x)=−ax2+x−1(x>0)，

因为函数T(x)的对称轴为x=12a<0，所以T(x)在(0,+∞)上单调递增，

且T(0)=−1<0，T(1)=−a>0，所以存在x0∈(0,1)，使T(x17.解：(1)证明：设PC的中点为H，连接FH，EH，由F为PD中点，得FH/​/CD且FH=12CD，

又AE/​/CD且AE=12CD，则FH/​/AE，FH=AE，

四边形AEHF为平行四边形，则AF//EH，又EH⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，

所以AF//平面PCE．

(2)取BC的中点G，连接AG，取AD的中点M，连接FM，CM，

则FM//PA且FM=12PA=1，由PA⊥平面ABCD，得FM⊥平面ABCD，

则FC与平面ABCD所成的角为∠FCM，

即∠FCM=π6，CM=FMtanπ6=3，

菱形ABCD中，AG=CM，则AG2+BG2=AB2，即AG⊥BC，AG⊥AD，

直线AG，AD，AP两两垂直，

以点A原点，直线AG，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(3,−1,0),C(3,1,0),D(0,2,0),F(0,1,1),P(0,0,2)，

AF=(0,1,1),CF=(−3,0,1),AP=(0,0,2)，

由PA⊥平面ABCD得平面ACD的一个法向量为n18.解：(1)因为椭圆C上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为2(3+2)和2(3−2)，

所以a+c=2(3+2)a−c=2(3−2)，

解得a=23c=22，

所以b=a2−c2=2，

则椭圆C的方程为x212+y24=1；

(2)因为直线l的斜率为−13，

设直线l的方程为y=−13x+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立y=−13x+mx212+y24=1，消去y并整理得4x2−6mx+9m2−36=0，

此时Δ=(−6m)2−144(m2−4)>0，

解得−433<m<19.解：(1)①因为|2−4|>|4−3|，所以该数列不是M数列，

②因为|4−2|<|2−8|<|8−1|，所以该数列是M数列．

证明：(2)先证必要性：

若数列是等差数列，设公差为d，

则bm=|am−am+1|=|d|，

所以数列{bm}是常数列，

再证充分性：

若数列{bm}是常数列，

则bm=bm+1(m=1,2,⋯,n−2)，即|am−am+1|=|am+1−am+2|(m=1,2,…,n−2)，

所以am−a