2024-2025学年青海省西宁市大通县高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年青海省西宁市大通县高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列双曲线中，焦点在y轴上的是(

)A.x23−y27=1 B.2.已知集合A=0,1,4,6,7,8,10，B=xx=2n,n∈N，则A∩B中元素的个数为A.3 B.4 C.5 D.63.若复数z满足(1+i)2z=6−2i，则z的虚部与实部之差为A.2 B.−2 C.−4 D.−3i+14.将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有(

)A.210种 B.420种 C.240种 D.480种5.下列函数中，在(0,π)上为减函数的是(

)A.y=sinx B.y=cos(x−π6) 6.若{an+2n}是等差数列，且a1=3，aA.−1111 B.−1717 C.−1771 D.−17777.已知过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F作斜率为22的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，若|BF|=8，则A.52 B.2 C.73 8.已知a>0，b>0，则使a+b≥2成立的一个充分条件是(

)A.a2+b2=1 B.a+b=ab 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知α的终边经过点(lg2,lg12)A.tanα=−1 B.α可能等于3π4

C.tan(α+π3)=2−10.已知[x]表示不超过x的最大整数.设函数f(x)=ex−x−6的两个零点为x1，xA.[x1]=−6 B.[x1]=−511.在体积为83的正四棱锥P−ABCD中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为66，则A.PC=5

B.二面角P−CD−A的余弦值为55

C.正四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为9π

D.直线BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知离散型随机变量X的分布列为X1234P1111则E(X)=______．13.已知f(6)=6，f(8)=5，且f(x+1)是奇函数，则f(−6)=______．14.已知向量a，b，c满足|a|=2，|b|=4，tan〈a,b〉=−四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7.(1)若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4：4：2，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；

(2)若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率．16.(本小题15分)

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=π6．

(1)若△ABC的面积S=32，c=23b，求a；17.(本小题15分)

如图，四边形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且AE=3，DF=2，BG=1，M，N分别是EG，BC的中点．

(1)证明：FM//平面ABCD．

(2)若AB=2，求点N到平面AMF的距离．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x3−x−ax．

(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程；

(2)当a=4时，f(x)>lnm，求m的取值范围；

(3)若f(x)有19.(本小题17分)

椭圆有一个光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光照射到椭圆上，其反射光线会经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，光线从F2发出，经过C上一点A1(A1不在x轴上)反射后，到达椭圆上的点A2，再反射到达C上的点A3，不断反射，得到反射点列{An}，设An(x参考答案1.C

2.C

3.B

4.A

5.D

6.C

7.B

8.B

9.ACD

10.AC

11.BCD

12.371213.−5

14.3−15.解：(1)设事件A，B，C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件D表示他买到的红茶是优质品，

若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4：4：2，

则P(A)=P(B)=44+4+2=0.4,P(C)=0.2，

甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7，

则P(D|A)=0.9，P(D|B)=0.8，P(D|C)=0.7，

故P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.9×0.4+0.8×0.4+0.7×0.2=0.82，

所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82．

(2)设事件E表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件E的情况有：

甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立，

则P(E)=0.9×0.8×(1−0.7)+0.9×(1−0.8)×0.7+(1−0.9)×0.8×0.7=0.216+0.126+0.056=0.398，

所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为16.解：(1)根据题意得S=12bcsinA=14bc=32，解得bc=23．

结合c=23b，解得b=1，c=23．

由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccosA=1+12−6=7，可得a=7．

(2)根据c=22a+32b17.解：(1)因为AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，则AE//BG//DF．

取AB的中点H，连接MH，DH，则MH//AE，且MH=AE+BG2=2，

所以MH//DF且MH=DF，所以四边形DFMH为平行四边形，可得FM//DH，

且FM⊄平面ABCD，DH⊂平面ABCD，所以FM//平面ABCD．

(2)连接AN.以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，F(0,0,2)，M(2,1,2)，N(1,2,0)，

可得AN=(−1,2,0)，AM=(0,1,2)，AF=(−2,0,2)，

设平面AMF的法向量为n=(x,y,z)，则AM⋅n=y+2z=0AF⋅n=−2x+2z=0，

取x=1，得y=−2，18.解：(1)当a=4时，f(x)=x3−x−4x，函数定义域为(0,+∞)，

可得f′(x)=3x2−1−2x，

所以f′(4)=48−1−1=46，

因为f(4)=64−4−8=52，

所以曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程为y−52=46(x−4)，

即y=46x−132；

(2)当a=4时，f′(x)=3x2−1−2x，

此时f′(x)在(0,+∞)上单调递增，

又f′(1)=0，

当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)min=f(1)=−4，

即lnm<−4，

解得0<m<1e4，

则m的取值范围为(0,1e4)；

(3)因为f(0)=0，

所以0为f(x)的1个零点，

若f(x)有3个零点，

此时f(x)在(0,+∞)上有2个零点，

此时方程a=x52−x12有2个不同的实根，

即直线y=a与函数y=x52−x12的图象在(0,+∞)上有2个不同的交点，

设g(x)=x52−x12(x>0)，19.(1)解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，

光线从F2发出，经过C上一点A1(A1不在x轴上)反射后，到达椭圆上的点A2，

再反射到达C上的点A3，不断反射，得到反射点列{An}，设An(xn,yn).

C的焦距为2，A1(0,b)，A2(−53,−43)，由题意得2c=2，则c=