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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省常德市高三(上)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x≤2},A.[0,2] B.[1,2] C.[−2,2] D.⌀2.已知复数z满足z(1+i)=3+i,则|z|=(
)A.5 B.5 C.2 3.已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(3,−1),若a⊥b,则cosθA.34 B.23 C.134.党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”的新部署.某企业落实该举措后因地制宜,发展经济,预计2023年人均将增加1000元收入,以后每年将在此基础上以10%的增长率增长,则该企业每年人均增加收入开始超过3000元的年份大约是(参考数据:ln3=1.10,ln10=2.30,lnl1=2.40)(
)A.2030年 B.2032年 C.2033年 D.2035年5.某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布N(89,132),若某学生数学成绩为102分,则该学生数学成绩的年级排名大约是(附:P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0.6827,P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545,P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)=0.973)A.第18名 B.第127名 C.第245名 D.第546名6.已知等差数列{an}与各项为正的等比数列{an+bn}满足:A.b3=14 B.b3=17 C.7.我国有着丰富悠久的“印章文化”,古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成,本是官员或私人签署文件时代表身份的信物,后因其独特的文化内涵,也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件,除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体;如图2,已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3:1,且该几何体的顶点均在体积为36π的球的表面上,则该几何体的表面积为(
)A.48+162 B.64+162 C.8.已知函数f(x)=23sinxcosx−2sin2x,若f(x)在区间[θ,A.[π6,π3) B.[二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.某校举行演讲比赛,10位评委对某选手的评分如下:7.5,7.8,7.8,7.8,8.0,8.0,8.3,8.3,8.8,8.9,选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后,剩下8个评分的平均数.则下列说法正确的是(
)A.剩下的8个评分的众数为7.8
B.原来的10个评分的80%分位数8.3
C.剩下的8个评分的平均数比原来的10个评分的平均数小
D.剩下的8个评分的方差比原来的10个评分的方差小10.已知a>b>0,则下列不等式一定成立的是(
)A.aa+1>bb+1 B.2aba+b<11.设圆(x−2)2+(y−4)2=16的圆心为M,双曲线C:x24−y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1,A.双曲线C的焦距为26
B.双曲线C的渐近线方程为y=±2x
C.双曲线C的焦点到渐近线距离为2
D.过点M且与双曲线12.如图,在多面体ABCDEP中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,且DE//PA,PA=AB=2DE=2,M,N分别是线段BC,PB的中点,Q是线段CD上的一个动点,则下列说法正确的是(
)A.存在点Q,使得NQ⊥PB
B.存在点Q,使得异面直线NQ与PE所成的角为30°
C.三棱锥Q−AMN体积的取值范围为[13,23]
D.当点Q运动到CD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数f(x)=x2+xlnx在x=114.(2x−1x)615.已知定义域为R的函数f(x)满足:f(x+1)=f(1−x),且函数f(x+2)为奇函数,则f(2024)=______.16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一点,线段F四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Snn)在直线y=x+2的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{b18.(本小题12分)
在三棱台ABC−A1B1C1中,已知AA1⊥平面ABC,AB=AC=4,AA1=A1B1=A1C1=2,∠BAC=90°.
(1)证明:平面ABC1⊥19.(本小题12分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3b−asinC=3ccosA.
(1)求C;
(2)若c=3,∠ACB的平分线CD交AB于点D,且CD=2.20.(本小题12分)
已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点P(2,1),Q(0,1),且|PF|=|QF|.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若直线l过点Q且与抛物线C相交于A,B两点,△PAB面积为4221.(本小题12分)
某企业对500个产品逐一进行检验,检验“合格”方能出厂.产品检验需要进行三项工序A、B、C,三项检验全部通过则被确定为“合格”,若其中至少2项检验不通过的产品确定为“不合格”,有且只有1项检验不通过的产品将其进行改良后再检验A、B两项工序,如果这两项全部通过则被确定为“合格”,否则确定为“不合格”.每个产品检验A、B、C三项工序工作相互独立,每一项检验不通过的概率均为p(0<p<1).
(1)记某产品被确定为“不合格”的概率为f(p),求f(12)的值;
(2)若不需要重新检验的每个产品的检验费用为120元,需要重新检验的每个产品两次检验费用为200元.除检验费用外,其他费用为2万元,且这500个产品全部检验,该企业预算检验总费用(包含检验费用与其他费用)为10万元22.(本小题12分)
设函数f(x)=ex−1x−12lnx−1,g(x)=2ex−1(x−1)−x.
(1)讨论函数g(x)在区间(1,+∞)上的单调性;
(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上的极值点为a参考答案1.A
2.B
3.D
4.D
5.B
6.C
7.A
8.A
9.ACD
10.AB
11.AD
12.ACD
13.3x−y−2=0
14.64
15.0
16.317.解:(1)依题意,由点(n,Snn)在直线y=x+2的图象上,
可得Snn=n+2,即Sn=n2+2n,
则当n=1时,a1=S1=12+2×1=3,
当n≥2时,an=Sn−Sn−1
=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)
=2n+1,
∵当n=118.(1)证明:如图,取AC的中点D,连接C1D,
因为AB=AC=4,AA1=A1B1=A1C1=2,
所以AD//A1C1且AD=A1C1,则四边形ADC1A1为平行四边形,则有AA1=C1D=2,
又AD=CD=2,故∠AC1C=90°,所以AC1⊥CC1,
又AA1⊥AB,AC⊥AB,AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面ACC1A1
所以AB⊥平面ACC1A1,又CC1⊂平面ACC1A1,
所以AB⊥CC1,又AC1⊥CC1,AC1∩AB=A,AC1,AB⊂平面ABC1,
∴CC1⊥平面ABC1,又CC1⊂平面CBC1,
∴平面ABC1⊥平面CBC1;
(2)解:由题以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则19.解:(1)∵3b−asinC=3ccosA,
在△ABC中,由正弦定理得3sinB−sinAsinC=3sinCcosA,即3sin(A+C)−sinAsinC=3sinCcosA,
∴3sinAcosC+3cosAsinC−sinAsinC=3sinCcosA,即3sinAcosC=sinAsinC,
∵sinA>0,∴tanC=3,
又C∈(0,π),则C=π3;20.解:(1)点F(p2,0),P(2,1),Q(0,1),且|PF|=|QF|,
所以点F在PQ的中垂线上,p2=1,即p=2,
所以抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)因为直线l过点Q且与抛物线C相交于A,B两点,
所以设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=kx+1y2=4x,得k2x2+(2k−4)x+1=0,
由Δ=(2k−4)2−4k2>0,得k<1且k≠0.
21.解:(1)由题知,每个产品首次检验被确定为“不合格”的概率为C32p2(1−p)+C33p3,
首次检验有且只有1项检验不通过的产品再次检验被确定为“不合格”的概率为C31p(1−p)2[1−(1−p)2],
则f(p)=C32p2(1−p)+C33p3+C31p(1−p)2[1−(1−p)2]=−3p5+12p4−17p3+9p2,
故f(12)=2532;
(2)设每个产品检验的费用为X元,则22.解:(1)∵g(x)=2ex−1(x−1)−x,∴g′(x)=2ex−1x−1,
当x∈(1,+∞)时,2ex−1>2,x>1,∴2ex−1x−1>1>0,即g′(x)>0,
∴函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
(2)证明:f′(x)=ex−1(x−1)x2−12x=2ex−1(x−1)−x2x2=g(x)2x2,
由(1)知函数g(x)在区间(1,+∞
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