数学学案：课堂导学第三讲第三节平面与圆锥面的截线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、圆锥曲线的结构特点【例1】如图3-3—1，已知平面π与圆锥的轴的夹角为β,圆锥母线与轴的夹角为α,α=β,求证:平面π与圆锥的交线为抛物线.图3—3—1证明：当β=α时，平面与圆锥的一部分相交,且曲线不闭合。在圆锥内嵌入一个Dandelin球与圆锥交线为圆S.记圆S所在平面为π′，π与π′的交线记为m。球切π于F1点.在截口上任取一点P,过P作PA⊥m于A,过P作PB⊥平面π′于B，过P作圆锥的母线交平面π′于C，连结AB、PF1、BC。由切线长定理,PF1=PC。∵PB平行圆锥的轴,∴∠APB=β,∠BPC=α。在Rt△ABP中，PA=，在Rt△BCP中，PC=.∵α=β,∴PC=PA。∴PF1=PA,即截口上任一点到定点F和到定直线m的距离相等.∴截口曲线为抛物线。二、探讨圆锥曲线的几何性质【例2】探索图3—3—2中双曲线的准线和离心率。其中π′是Dandelin球与圆锥交线S2所在平面，与π的交线为m.图3-3—2解析:P是双曲线上任意一点，连结PF2，过P作PA⊥m于A，连结AF2，过P作PB⊥平面π′于B,连结AB,过P作母线交S2于Q2。∵PB平行于圆锥的轴,∴∠BPA=β,∠BPQ2=α。在Rt△BPA中,PA=,PQ2=。由切线长定理得PF2=PQ2，∴PF2=。∴e==。∵0＜β＜α＜,∴cosβ＞cosα.∴e＞1.同理,另一分支上的点也具有同样的性质。综上所述,双曲线的准线为m，离心率e=。三、圆锥曲线几何性质应用【例3】已知双曲线两顶点间距离为2a,焦距为2c，则两准线间的距离是______________。解析：如图3-3—4，l1、l2是双曲线的准线,F1、F2是焦点，A1、A2是顶点，O为中心。图3-3—4由离心率定义,∴A1H1=A1F1.又A1F1=OF1—OA1∴A1H1=。∴OH1=OA1-A1H1=a-=。由对称性，得OH2=.∴H1H2=。答案：各个击破类题演练1探究:图3-3—1中抛物线的准线与离心率.解析：由抛物线结构特点知，抛物线上的任意一点P到焦点距离PF1与到平面π与π′的交线m的距离PA相等，∴e==1。∴抛物线的准线是m，离心率e=1。温馨提示要紧紧围绕离心率的定义和圆锥曲线的结构特点。探讨圆锥曲线的结构特点,关键是借助Dandelin球与切线长定理，化归为线段长的关系。类题演练2如图3—3—3,A1A2=2a,F1F2=2c，求证：=.图3-3—3证明:连结O1O2、O1F1、O2F2、O1Q1、O2Q∵直线F1F2∴O1F1⊥F1F2，O2F2⊥F过O1作O1H⊥O2F2则O1HF2F1∴O1H=F1F2=2c又平面π与圆锥的轴的夹角为β，∴O1O2=。①由双曲线的定义，知双曲线上任意一点到F1、F2的距离之差为定值Q1Q2,故取如图位置。由切线长定理,A2Q1=A2F1=A1F∴F1F2—A2F1=F1F2—A1F2。∴A2F又A2Q2=A2F2∴Q1Q2=A2Q1-A2Q2=A2F1—A1=A1A2=2a∵母线与轴夹角为α,即∠O2OQ2=α，∴O1O2=O1O+OO2==。②由①②，∴.∴==e。类题演练3已知圆锥母线与轴夹角为60°，平面π与轴夹角为45°，则平面π与圆锥交线的离心率是_____________,该曲线的形状是_____________.解析:e=。∵e＞1,∴曲线为双曲线。答案:双曲线变式提升3已知双曲线两焦点