数学学案：课堂导学第二讲第三节圆的切线的性质及判定定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、切线的性质【例1】如图2—3-1,两圆为以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点。求证：C是AB的中点.图2-3—1证明：连结OA、OC、OB，∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.又∵AC是小圆切线，C是切点，∴OC⊥AB,即OC是等腰三角形底边上的高。∴OC是AB边上的中线.∴C是AB的中点。温馨提示连结圆心、切点是解决切线问题时常用的作辅助线的方法之一.二、切线的判定【例2】如图2—3-4，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上,∠CAB＝30°.求证:DC是⊙O的切线.图2—3-4证明：连结OC、BC,∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO.∴∠BOC=∠CAB+∠ACO=60°.∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形.∵BD=OB，∴BD=BC。∴∠D=∠BCD.∵∠OBC=∠D+∠BCD，∴∠BCD＝∠OBC=30°。∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°.∴DC是⊙O的切线。三、切线的性质与判定的综合运用【例3】如图2—3-6,直角梯形ABCD中,以CD为直径的圆恰好与腰AB相切。求证：以AB为直径的圆也与腰CD相切。图2—3—6思路分析：取CD、AB中点O1、O2，则O1、O2分别是两圆圆心,只需证O2到CD距离等于O2A或O2证明：连结O1O2,作O2E⊥O1D于E,DF⊥O1O2于F.∵O1C=O1D,O2B=O2∴O1O2∥AD∥BC.∴AB⊥O1O2.∴DF=AO2.∵AB与⊙O1相切，∴O1O2=O1D。∴△O1O2E≌△O1DF.∴O2E=DF。∴O2E=O2A∴⊙O2与CD相切于E点.各个击破类题演练1如图2-3—2,两个同心圆⊙O,大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于点D和E.求证:DEBC.图2-3—2证明：连结OD、OE，∵AB切小圆于D,∴OD⊥AB.∴AD=BD。同理，AE=EC.∴DE是△ABC的中位线。∴DEBC。变式提升1求证:一圆的两条平行切线的切点连线经过圆心.图2-3-3答案：已知:如图l1、l2分别切⊙O于A、B，l1∥l2，求证:O在AB上.证明：连结OA，并延长交l2于B′,∵l1切⊙O于点A，∴OA⊥l1。又∵l1∥l2，∴OA⊥l2,即OB′⊥l2。∴B为l2与⊙O的切点.∴OB⊥l2。但过O只有一条直线与l2垂直.∴B′与B重合.即A、O、B在一条直线上,或AB经过点O.类题演练2如图2-3—5，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径，作⊙O与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点，连结DE.求证：DE是⊙O的切线.图2—3-5证明：连结OD、BD.∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°.∴∠CDB=90°.∵E是BC中点,∴CE=EB=DE.∴∠1=∠2.∵OB=OD,∴∠3=∠4.∴∠1+∠4=∠2+∠3.∵在Rt△ABC中，∠ABC=∠2+∠3=90°,∴∠EDO=∠1+∠4=90°。∵D为⊙O上的点,∴DE是⊙O的切线。类题演练3如图2—3-7,已知OC平分∠AOB，D是