数学学案：课堂导学不等式的基本性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一，不等式的性质【例1】适当增加不等式条件，使下列各命题成立.(1）若a>b,则ac≤bc.（2）若ac2>bc2，则a2>b2。（3）若a〉b，则lg(a+1)〉lg(b+1).（4）若a>b，c〉d,则.思路分析：对照不等式性质找出缺少的条件。解：(1)原命题改为:若a>b且c≤0,则ac≤bc,即增加条件“c≤0”。(2)由“ac2>bc2"可得a>b，但只有b≥0时才有a2>b2,即增加条件“b≥0”（3）由a>b可得a+1〉b+1,但作为真数，应有b+1〉0,故应增加条件“b〉—1”。(4）成立的条件有多种(如a〉0>b,c>d〉0）与不等式的性质4推论①相关的一个是a>b>0,c〉d〉0,因此,可增加条件“b>0,d〉0”。温馨提示掌握不等式性质定理的条件与应用是本节的难点.学习时,要紧紧抓住不等式性质的条件,认真分析它们的相同点和不同点。二、比较两个数的大小【例2】（1）若x〈y<0，试比较（x2+y2)(x—y)与(x2-y2）（x+y)的大小;（2）设a>b〉0，试比较aabb与abba的大小.思路分析:采用作差或作商法比较大小。解:（1)根据题目的结构特点,可考虑用作差比较法.（x2+y2)（x—y）-（x2-y2)（x+y）=（x-y）［（x2+y2）—（x+y）2]=-2xy（x-y）。∵x〈y〈0,∴xy〉0,x—y<0。∴-2xy（x—y)>0。∴(x2+y2）（x—y）>（x2—y2)(x+y).(2)根据同底数幂的运算法则,可考虑用作商比较法.=aa—b·bb-a=（)a—b.当a〉b>0时，〉1，a-b〉0,则()a—b〉1,于是aabb〉abba。温馨提示实数大小的比较问题常常利用不等式的基本性质或“〉1且b>0a〉b”来解决.比较法的关键是第二步的变形,一般来说，变形越彻底,越有利于下一步的判断。三，不等式性质的综合应用【例3】设f(x）=ax2+bx,且1≤f(—1）≤2,2≤f（1）≤4，求f(—2)的取值范围.思路分析：严格根据不等式的基本性质和运算法则,将f（—2）用含f（—1)和f（1）的式子表示。解：设f（—2)=mf(—1）+nf（1)（m,n为待定系数)，则4a-2b=m(a—b）+n(a+b）,即4a—2b=（m+n）a-(m-n)于是，得解得∴f(-2)=3f(-1）+f∵1≤f（-1)≤2,∴2≤f(1）≤4.∴5≤3f(-1）+f(1)≤10，故5≤f以上解题过程简化如下:由得∴f(—2）=4a-2b=3f（-1）+温馨提示不等式的性质及其证明方法是学习不等式证明的基础,是本节的重点.各个击破类题演练1已知a>b，c<d,求证:a-c〉b—d.证明：∵c<d,∴-c>—d。又a>b，∴a-c>b—d.变式提升1使a+b〉2cA。a〉c或b〈cB。a〉c且b<cC。a>c且b〉cD.a>c或b<c解析:使a+b〉2c成立的充分条件就是使a+b〉2c成立的一个条件即a>c且b>答案:C类题演练2设a〉0,b>0，求证：。证法一:（差比法）()+（）-(a+b)=+-—=≥0，故.证法二：(商比法)=∵a+>0，∴。变式提升2已知a，b，c>0且b<c,比较ab与ac+bc的大小.解析：ab—(ac+bc）=a（b-c）—bc,∵b〈c,∴b-c<0。又a〉0，∴a(b—c）〈0.又0〈b<c,∴—bc〈0.∴a(b—c）—bc<0，即ab-（ac+bc）〈0.∴ab<ac+bc。类题演练3已知，求,的取值范围.解析：∵-，∴—≤〈，-〈≤.∴—<<。又—≤-<,∴-≤〈.又∵α—β〈0,∴-≤<0。变式提升3如果30〈x<42,16<y<24,求x—2y及的取值