专题16空间向量及其应用(讲义)（原卷版）

专题16空间向量及其应用(讲义)1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(3)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))5.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.在空间求平面的法向量的方法：（1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。（2）待定系数法：建立空间直接坐标系①设平面的法向量为②在平面内找两个不共线的向量和③建立方程组：④解方程组，取其中的一组解即可。6.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2l1∥l2u1∥u2⇔u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔u1·u2＝0直线l的方向向量为u，平面α的法向量为nl∥αu⊥n⇔u·n＝0l⊥αu∥n⇔u＝λn平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝0常用结论：1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.4.在利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.7.计算角与距离1.求两点间的距离公式：若，，则，或．2.求两异面直线所成的角 已知两异面直线，，则异面直线所成的角为：3.求直线和平面所成的角已知A,B为直线上任意两点，为平面的法向量，则和平面所成的角为:（1）当时（2）当时4.求二面角（1）已知二面角，且，则二面角的平面角的大小为：（2）已知二面角分别为面的法向量，则二面角的平面角的大小与两个法向量所成的角相等或互补。即注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。(1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。(2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。5.求两条异面直线的距离已知两条异面直线,是与两直线都垂直的向量,则两条异面直线的距离6.求点到面的距离已知平面和点A,B且,为平面的法向量,则点A到平面的距离一、单选题1．下列说法正确的是（

）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．不相等的两个空间向量的模必不相等2．已知三棱柱，点为线段的中点，则（

）A． B．C． D．3．下面关于空间向量的说法正确的是（

）.A．若向量，平行，则，所在直线平行B．若向量，所在直线是异面直线，则，不共面C．若，，，四点不共面，则向量，不共面D．若，，，四点不共面，则向量，，不共面4．若：，，是三个非零向量；：，，为空间的一个基底，则p是q的

（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．有下列说法:①若，则与，共面；②若与，共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y.其中正确的是（

）A．①②③④B．①③④C．①③D．②④6．已知，，则在上的投影向量为（

）A．1 B． C． D．7．设，向量，，，且，，则的值为（

）A．1 B．1 C．2 D．38．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N为BC的中点，则等于（

）A． B．C． D．9．设α，β是不重合的两个平面，α，β的法向量分别为，l和m是不重合的两条直线，l，m的方向向量分别为，那么αβ的一个充分条件是（

）A．l⊂α，m⊂β，且 B．l⊂α，m⊂β，且C．，且 D．，且10．下列命题中，正确命题的个数为（

）①若分别是平面α，β的法向量，则⇔α∥β；②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔；③若是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．A．1 B．2 C．3 D．411．下列四个命题中，正确命题的个数是（

）①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得；②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m；③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．412．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小是（

）A． B． C． D．13．已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则＝()A．－1 B．－11C．－1或－11 D．－2114．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角PADC为60°，则P到AB的距离是（

）A．2 B．C．2 D．15．如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（

）A． B． C． D．16．已知二面角的大小为，和是两条异面直线，且，则与所成的角的大小为（

）A． B． C． D．17．平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，，则（

）A．1 B． C．2 D．418．已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．19．正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（

）A． B． C． D．20．如图，直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为A． B． C． D．21．将边长为1的正方形沿对角线翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点,分别是线段和上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．22．如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，点N，M分别为和的重心，P为线段CM上一点．（

）A．的最小为2B．若DP⊥平面ABC，则C．若DP⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为D．若F为线段EN的中点，且，则二、填空题23．若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）①，，；

②，，；③，，；

④，，．24．已知，，，．若，则实数k的值为______．25．在平形六面体，其中，，，，，则的长为____________26．正四棱柱中，与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为______________．27．如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时，___________.28．如图所示，在四棱锥PABCD中，，且，若，，则二面角APBC的余弦值为______．29．二面角为，A，B是棱l上的两点，，分别在半平面内，，，且，，则的长_______________.30．如图所示，在四棱锥PABCD中，若平面平面ABCD，侧面PAD是边长为的正三角形，底面ABCD是矩形，，点Q是PD的中点，则下列结论中正确的是______．（填序号）①平面PAD；②PC与平面AQC所成角的余弦值为；③三棱锥BACQ的体积为；④四棱锥QABCD外接球的内接正四面体的表面积为．三、解答题31．在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．32．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是的中点.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.33．如图，在三棱柱，，，，.(1)证明：⊥平面；(2)若，求二面角的正弦值.34．如图，内接于，AB为的直径，，，，且平面ABC，E为AD的中点．(1)求证：平面平面ABD；(2)求异面直线BE与AC所成的角的余弦值；(3)求点A到平面BCE的距离．35．四棱锥中，平面平面，，，，，，，是中点．(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)在侧棱上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．36．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M是线段EF的中点．(1)求证：平面BDE，并求直线AM和平面BDE的距离；(2)求二面角的大小；(3)试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°．3