数学学案：课堂导学xa+xb≥c、xa+xb≤c型不等式的解法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一,｜x-a|+｜x—b｜≥c,|x—a｜+｜x-b|≤c型不等式的解法【例1】解不等式｜x—3｜+|x+1｜>6.解：方法一:(区间讨论法)（1)当x≤—1时，原不等式3—x—（x+1)〉6，所以x〈—2.（2）当-1<x≤3时,原不等式3—x+x+1>6，无解.（3)当x>3时，原不等式x—3+x+1〉6,所以x〉4。综上,可知原不等式的解集为{x|x〈—2或x〉4}。方法二:|x—3|,｜x+1｜的几何意义是在数轴上实数x对应的点到实数3,—1对应点的距离，而实数4,-2对应的点分别到点3,-1的距离和恰好为6，所以满足｜x-3｜+｜x+1|>6的x的解为x<—2或x>4。温馨提示数形结合法是根据绝对值意义在数轴上找对应满足题意的数，直接写出解集.二，｜ax+b|+|cx+d|≥e(或≤e）型不等式的解法【例2】解不等式｜x+3|+|2x-1｜≤7。解析:(1)x≤-3时，｜x+3|+｜2x—1|=-x—3—2x+1=-3x—2≤7x≥-3得x=-3.（2）x≥时,原式为3x+2≤7x≤≤x≤。(3)—3〈x〈时原式为x+3—2x+1=-x+4≤7x≥—3—3≤x〈。则解集为［—3,］。温馨提示区间讨论法是先求出每个含绝对值符号的代数值等于零的未知数的值，将这些值依次标在数轴上,这样数轴被分成若干个区间，这若干个区间内的不等式的解集的并集,即为原不等式的解集，分段讨论时,注意不要遗漏分段的端点。三,含参数绝对值不等式的解法【例3】对任意实数x，不等式｜x+1|+|x—2｜〉a恒成立，求实数a的取值范围.解法一：设数轴上x,—1,2对应点分别是P,A，B，则|x+1|+|x-2|=|PA|+|PB|.（1)当P在线段AB上时,｜PA|+｜PB｜=|AB｜=3;(2）当P不在线段AB上时,|PA｜+|PB｜〉|AB｜,即｜PA|+|PB|〉3，因而｜PA｜+|PB|≥3。∴当a<3时,｜PA|+|PB｜〉a恒成立.∴a的取值范围是(—∞，3）。解法二:利用不等式的性质可得｜x+1｜+｜x-2|≥|x+1—(x-2）｜=3。要使|x+1｜+｜x—2｜>a恒成立,只需(｜x+1｜+｜x—2｜）min〉a,即3>a。温馨提示对于函数f（x)=｜x—a｜+｜x-b｜，由绝对值的几何意义可知f（x)≥｜a-b｜。各个击破类题演练1解不等式｜x+2|+｜x—1｜<3。解析：(1)x≤—2时，｜x+2|+|x—1|=—x-2—x+1=-2x-1<3x>—2x∈.(2)x≥1时，｜x+2|+｜x-1|=2x+1〈3x〈1，x∈.(3)-2〈x〈1时，｜x+2|+｜x—1|=x+2-x+1=3<3,x∈.综上，得解集为。变式提升1解不等式|x|+|x+2｜〈4。解析:由不等式的几何性质知-3〈x<1,则｛x|-3〈x〈1｝。类题演练2求不等式2|x+1|—｜x-2｜≥4的解集.解析：（1)x≤—1时，原式为-2x—2+x-2=—x—4≥4x≤-8.（2)x≥2时,原式为2x+2-x+2=x+4≥4x≥0x≥2.(3)—1<x<2时，原式为2x+2+x—2=3x≥4≤x〈2。则解集为（-∞,-8］∪［,+∞）.变式提升2不等式|x|+2|x-1｜≥4的解集为__________。解析：通过分区间讨论可得x≥2或x≤—2.答案：［2,+∞)∪（-∞，-2］类题演练3对于一切实数x,若|x-3｜+|x+2｜>a恒成立,则a的取值范围是（)A.a≥5 B.a>5 C。a≤5 D.a〈5解析：设f(x）=|x—3|+｜x+2｜.由绝对值的几何意义知f(x)≥｜3—（-2）|=5，则a〈5。答案:D变式提升3若关于x的不等式｜