第01讲空间向量及其运算（学生版）高二数学讲义（人教A版2019选择性）

第01讲空间向量及其运算目标导航目标导航课程标准课标解读1．理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论.2．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断..知识精讲知识精讲知识点01空间向量的有关概念1．空间向量（1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．（2）长度或模：空间向量的大小．（3）表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或．2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－a的相反向量：相等向量相同相等a＝b【微点拨】解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点（1）关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．（2）注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．【即学即练1】下列说法：若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；若向量，满足，且与同向，则；若两个非零向量与满足，则，为相反向量；的充要条件是A与C重合，B与D重合.其中错误的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【即学即练2】向量互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（）A． B．为实数0C．与方向相同 D．知识点02空间向量的线性运算 （1）向量的加法、减法空间向量的运算加法a＋b减法a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)（2）空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a．b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb．【微点拨】空间向量加法、减法运算的两个技巧：（1）巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．【即学即练3】若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（）A．P∈AB B．P∉ABC．点P可能在直线AB上 D．以上都不对【即学即练4】．已知向量，且，，，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D知识点03共线问题共线向量：（1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．（2）方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．（3）共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb．（4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa．【微点拨】利用数乘运算进行向量表示的技巧（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．【即学即练5】如图，已知平行六面体，E，F分别是棱，的中点，记，则（）A． B．C． D．【即学即练6】设是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，实数k＝________．知识点04向量共面问题共面向量：（1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．（2）共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．（3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y)，使或对空间任意一点O，有．【微点拨】证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．（1）存在实数λ，使成立．（2）对空间任一点O，有(t∈R)．（3）对空间任一点O，有(x＋y＝1)．解决向量共面的策略：（1）若已知点P在平面ABC内，则有或，x＋y＋z＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．（2）证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．【即学即练7】下列条件中，使点与三点一定共面的是（）A． B．C． D．知识点05空间向量数量积的运算空间向量的数量积：（1）定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0．（2）常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0．②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2．③cos〈a，b〉＝．（3）数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c【微点拨】在几何体中求空间向量的数量积的步骤：（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．（3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模．（4）代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．【即学即练8】三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于()A.－2 B.2 C. D.知识点06垂直问题、夹角问题、距离问题当时，．夹角公式：，向量的模：【微点拨】用向量法证明垂直关系的步骤（1）把几何问题转化为向量问题；（2）用已知向量表示所证向量；（3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0；（4）将向量问题回归到几何问题．利用向量数量积求夹角问题的思路（1）求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值．（2）求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．求两点间的距离或线段长的方法（1）将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．（2）因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝．（3）可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．【即学即练9】如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心．【即学即练10】如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值．【即学即练11】如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将△ACD沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.能力拓展能力拓展考法01【典例1】给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，；③若向量与向量的模相等，则，的方向相同或相反；④在四边形ABCD中，必有.其中正确命题的序号是________.考法02【典例2】如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．考法03【典例3】已知，，，则________．【典例4】（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（）A．若，则可知B．若为△的重心，则C．若，，则D．若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则考法04【典例5】如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法证明：（1）E，F，G，H四点共面;（2）BD//平面EFGH．分层提分分层提分题组A基础过关练1．在下列结论中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知为空间任意一点，若，则四点（）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断3．已知与不共线，则存在两个非零常数m，n，使是，，共面的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则（）A．B．C．D．5.．如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，设＝，＝，＝，则下列与向量相等的表达式是（）A．B．C．D．6．已知非零向量不平行，且，则与之间的关系是（）A．垂直B．同向共线C．反向共线D．以上都可能7．已知向量，是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则，且是l⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．若向量垂直于向量和，向量，则（）A．B．C．既不平行也不垂直D．以上三种情况都可能题组B能力提升练1．(多选)设是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（）A．B．C．D．2．在平行六面体中，下列各式中运算结果为的是（）A． B．C． D．3.若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（）A． B．C． D．4.（多选）若不共面，则（）A．共面 B．共面C．共面 D．共面5.给出下列命题：①若，则或＝－；②若向量是向量的相反向量，则；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，；④若空间向量满足，则．其中正确命题的序号是________．6.如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.7．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是___________.8．如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，（1）；（2）；（3）；（4）存在实数，，使得．则其中正确的结论是______