2025高考数学专项复习第三章 函数与基本初等函数第4节　幂函数与二次函数含答案

2025高考数学专项复习第三章函数与基本初等函数第四节幂函数与二次函数课标解读考向预测1.通过具体实例，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up7(\f(1,2))，y＝x－1的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择题、填空题，中档难度．预计2025年高考对于幂函数的考查最多出一道选择题，以幂函数的图象和性质应用为主．对于二次函数的考查一般与其他知识综合，题型一般为选择题、填空题，中档难度.必备知识——强基础1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数eq\x(\s\up1(01))y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)在同一坐标系中的五个幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α＞0时，幂函数的图象都过点eq\x(\s\up1(02))(0，0)和eq\x(\s\up1(03))(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α＜0时，幂函数的图象都过点eq\x(\s\up1(04))(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为eq\x(\s\up1(05))奇函数；当α为偶数时，y＝xα为eq\x(\s\up1(06))偶函数．2．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR值域eq\x(\s\up1(07))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\x(\s\up1(08))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在eq\x(\s\up1(09))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在eq\x(\s\up1(10))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在eq\x(\s\up1(11))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在eq\x(\s\up1(12))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减对称性函数的图象关于直线eq\x(\s\up1(13))x＝－eq\f(b,2a)对称1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝－xeq\s\up7(\f(1,2))是幂函数．()(2)当α<0时，幂函数y＝xα在定义域内单调递减．()(3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．()(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)已知幂函数f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，则f(4)的值是()A．64 B．4eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(1,4)答案D(2)(北师大版必修第一册1.4.2例4改编)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是()答案C解析因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)<0，且过原点．故选C.(3)已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2))，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则α＝________．答案1解析由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，又y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α>0，∴α＝1.(4)(人教B必修第二册4.4例1改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．答案c<b<a解析由指数函数、幂函数的单调性可知，0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a.考点探究——提素养考点一幂函数的图象与性质例1(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m<eq\f(1,2)C．－1<m<0<n<eq\f(1,2) D．－1<n<0<m<1答案D解析幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上，－1<n<0<m<1.故选D.(2)(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________．答案3解析因为幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,－m2＋m＋3<0.))由m2－2m－2＝1，得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，－m2＋m＋3＝－1－1＋3＝1>0，所以m＝－1舍去；当m＝3时，－m2＋m＋3＝－9＋3＋3＝－3<0，符合题意．综上，m＝3.【通性通法】(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)对于幂函数的图象，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(3)在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．(4)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)．【巩固迁移】1．(2023·皖淮联考)已知a＝2ln2，b＝3－0.5，c＝2－0.4，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a答案B解析因为2ln2＝ln4>lne＝1，3－0.5<3－0.4<2－0.4<1，所以a>c>b.故选B.2．(2023·江苏南京高三二模)幂函数f(x)＝xa(a∈R)满足：对任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)<f(2)<2.写出符合上述条件的一个函数：f(x)＝________．答案xeq\s\up7(\f(2,3))(答案不唯一)解析取f(x)＝xeq\s\up7(\f(2,3))，则定义域为R，且f(－x)＝(－x)eq\s\up7(\f(2,3))＝xeq\s\up7(\f(2,3))＝f(x)，f(－1)＝1，f(2)＝2eq\s\up7(\f(2,3))＝eq\r(3,4)，满足f(－1)<f(2)<2.故f(x)＝xeq\s\up7(\f(2,3))满足题意．考点二二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________．答案－4x2＋4x＋7解析解法一(利用“一般式”)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用“顶点式”)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴函数图象的对称轴为直线x＝eq\f(2＋(－1),2)＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(1,2).又函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8.∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用“两根式”)：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即eq\f(4a(－2a－1)－(－a)2,4a)＝8，解得a＝－4.∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.【通性通法】根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【巩固迁移】3．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________．答案x2－2x＋3解析由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以eq\f(b,2)＝1，即b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.考点三二次函数的图象与性质(多考向探究)考向1二次函数的图象例3(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则下列四个结论中正确的是()A．b2＞4ac B．2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D．5a＜b答案AD解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；因为2a－b＝0，即b＝2a，根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．故选AD.【通性通法】1．识别二次函数图象应学会“三看”2．解决二次函数图象问题的基本方法(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点．(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【巩固迁移】4．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()答案D解析因为abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，对于A，a<0，b<0，c<0，不符合题意；对于B，a<0，b>0，c>0，不符合题意；对于C，a>0，b>0，c<0，不符合题意．故选D.考向2二次函数的单调性例4若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,3)，－3)) B．[－6，－4]C．[－3，－2eq\r(2)] D．[－4，－3]答案B解析∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1，2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，当x>0时，f(x)＝x2＋ax＋2，图象的对称轴为直线x＝－eq\f(a,2)，∴2≤－eq\f(a,2)≤3，解得－6≤a≤－4.故选B.【通性通法】解决二次函数单调性问题的基本方法(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A⊆\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))))，即区间A一定在函数图象的对称轴的左侧(右侧)．【巩固迁移】5．若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为()A．[－3，0) B．(－∞，－3]C．[－2，0] D．[－3，0]答案D解析当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意；当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线x＝eq\f(3－a,2a).由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－3，0]．故选D.考向3二次函数的最值例5已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a的值为________．答案eq\f(3,8)或－3解析f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；当a＞0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq\f(3,8)；当a＜0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，实数a的值为eq\f(3,8)或－3.【通性通法】求二次函数在闭区间上最值的类型及策略【巩固迁移】6．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案7解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α＋β＝2m，,αβ＝2－m，))且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，解得m≤－2或m≥1，所以α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，令f(m)＝4m2＋2m＋1，而f(m)图象的对称轴为直线m＝－eq\f(1,4)，且m≤－2或m≥1，所以f(m)min＝f(1)＝7.课时作业一、单项选择题1.如图，①②③④对应四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是()A．y＝x3 B．y＝x2C．y＝x D．y＝xeq\s\up7(\f(5,8))答案D解析根据题中函数图象可得①对应的幂函数y＝xα在[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故α∈(0，1)，故D符合要求．故选D.2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，eq\r(3))，则f(x)()A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数答案D解析设幂函数的解析式为y＝xα，将点(3，eq\r(3))的坐标代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，所以y＝xeq\f(1,2)，函数的定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选D.3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a>0，c<0，a＋b＋c＝0，则()A．∀x∈(0，1)，都有f(x)>0B．∀x∈(0，1)，都有f(x)<0C．∃x∈(0，1)，使得f(x)＝0D．∃x∈(0，1)，使得f(x)>0答案B解析由a>0，c<0，a＋b＋c＝0可知抛物线开口向上，f(0)＝c<0，f(1)＝a＋b＋c＝0，所以∀x∈(0，1)，都有f(x)<0.故选B.4．(2024·甘肃武威十八中一诊)若函数f(x)＝ax2＋2x－1在区间(－∞，6)上单调递增，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，1))答案A解析当a＝0时，函数f(x)＝2x－1在R上单调递增，即a＝0符合题意；当a≠0时，由二次函数的性质知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,－\f(1,a)≥6，))解得－eq\f(1,6)≤a<0.综上，实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，0)).故选A.5．(2024·江苏南京高三摸底)已知a＝2eq\s\up7(\f(4,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))，d＝6eq\s\up7(\f(2,3))，则()A．b<a<d<c B．b<c<a<dC．c<d<b<a D．b<a<c<d答案D解析由题意得a＝2eq\s\up7(\f(4,3))＝16eq\s\up7(\f(1,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))＝16eq\s\up7(\f(1,5))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))，d＝6eq\s\up7(\f(2,3))＝36eq\s\up7(\f(1,3))，因为幂函数y＝xeq\s\up7(\f(1,3))在R上单调递增，所以a<c<d.又因为指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a.故选D.6．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)．已知f(m)<0，则()A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0答案C解析因为f(x)图象的对称轴为直线x＝－eq\f(1,2)，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示，由f(m)<0，得－1<m<0.所以m＋1>0.所以f(m＋1)>f(0)>0.故选C.7．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)的值域为[k，＋∞)，则实数k的最大值为()A．0 B．1C．2 D．4答案C解析设t＝f(x)，由题意可得g(x)＝f(t)＝at2＋bt＋c(t≥k)，函数y＝at2＋bt＋c，t≥k的图象为y＝f(x)的图象的部分，即g(x)的值域为f(x)的值域的子集，即[2，＋∞)⊆[k，＋∞)，可得k≤2，即实数k的最大值为2.故选C.8．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是()A．[－eq\r(2)，eq\r(2)] B．[1，eq\r(2)]C．[2，3] D．[1，2]答案B解析由于f(x)＝x2－2tx＋1图象的对称轴为直线x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1，则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).又t≥1，所以1≤t≤eq\r(2).故选B.二、多项选择题9.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是()A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0答案ACD解析由二次函数图象开口向下知a<0，图象的对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)＝1，即2a＋b＝0，故b>0，又因为f(0)＝c>0，所以f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0，abc<0.故选ACD.10．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的是()A．a＋b>0且ab<0 B．a＋b<0且ab<0C．a＋b<0且ab>0 D．以上都可能答案BC解析因为f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m＝2，此时f(x)＝x3，因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)＝x3为奇函数．因为a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，所以f(a)<f(－b)，又y＝f(x)为增函数，所以a<－b，所以a＋b<0.故选BC.三、填空题11．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝eq\f(1,2)，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a＝________．答案eq\f(1,5)解析设f(x)＝xα，则4α＝eq\f(1,2)，所以α＝－eq\f(1,2)，因此f(x)＝xeq\s\up7(-\f(1,2))，从而aeq\s\up7(-\f(1,2))＝4(a＋3)eq\s\up7(-\f(1,2))，解得a＝eq\f(1,5).12．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．答案f(x)＝x2－4x＋3解析∵f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，∵f(x)的图象过点(4，3)，∴3a＝3，∴a＝1，∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.13．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，－eq\r(2))解析由题意知，f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t＞2m＋mt2对任意实数t恒成立，∴mt2＋4t＋2m＜0对任意实数t恒成立，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝16－8m2<0，))∴m∈(－∞，－eq\r(2))．14．(2024·浙江台州模拟)已知函数f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)是偶函数，则f(x)的值域是________．答案[－16，＋∞)解析因为f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)＝(x－3)(x＋1)(x2＋ax＋b)是偶函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(－3)＝f(3)＝0，,f(1)＝f(－1)＝0，))代入整理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9－3a＋b＝0，,1＋a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－3.))所以f(x)＝(x2－2x－3)·(x2＋2x－3)＝(x2－3)2－4x2＝x4－10x2＋9＝(x2－5)2－16≥－16，所以f(x)的值域为[－16，＋∞)．四、解答题15．(2024·福建百校高三联考)已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm＋1在(0，＋∞)上是减函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若(5－a)eq\s\up7(\f(1,m))>(2a－1)eq\s\up7(\f(1,m))，求实数a的取值范围．解(1)由幂函数的定义，知m2＋m－1＝1，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或m＝1.因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m＋1<0，即m<－1，则m＝－2.故f(x)＝x－1＝eq\f(1,x).(2)由(1)可得m＝－2，设g(x)＝xeq\s\up7(-\f(1,2))，则g(x)的定义域为(0，＋∞)，且g(x)在定义域上为减函数，因为(5－a)eq\s\up7(-\f(1,2))>(2a－1)eq\s\up7(-\f(1,2))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－a>0，,2a－1>0，,5－a<2a－1，))解得2<a<5.故实数a的取值范围为(2，5)．16．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则实数a的取值范围为________．答案(2，4]解析函数y＝x2－4x－4的图象如图所示，因为函数在[0，a)上的值域为[－8，－4]，结合图象可得2<a≤4，故实数a的取值范围为(2，4]．17．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－3t，对任意x1∈[1，5)，总存在x2∈[1，5)，使得f(x1)＝g(x2)，则t的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(7,3)))解析因为f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2为幂函数，则(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，舍去，故f(x)＝x2.当x∈[1，5)时，f(x)∈[1，25)，故g(5)＝25－3t≥25，所以t≤eq\f(7,3)；g(1)＝2－3t≤1，所以t≥eq\f(1,3).综上所述，t的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(7,3))).18．(2024·福建福州高三模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围；(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．解(1)当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝eq\f(1,2a)，所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)≥2，,a>0，))解得0<a≤eq\f(1,4)；当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝eq\f(1,2a)<0，所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足a<0.综上，a的取值范围是(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).(2)①当0<eq\f(1,2a)≤1，即a≥eq\f(1,2)时，f(x)在区间[1，2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2；②当1＜eq\f(1,2a)＜2，即eq\f(1,4)＜a＜eq\f(1,2)时，f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2a)))上单调递减，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，2))上单调递增，此时g(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))＝2a－eq\f(1,4a)－1；③当eq\f(1,2a)≥2，即0<a≤eq\f(1,4)时，f(x)在区间[1，2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.综上所述，g(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6a－3，a∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，,2a－\f(1,4a)－1，a∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))，,3a－2，a∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).))第五节指数与指数函数课标解读考向预测1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.会画指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.指数函数是高考考查的重点内容之一，应当熟练掌握指数函数的概念、图象和单调性等常考知识点．在近三年的高考中，考查了指数型函数的图象和性质，或与分段函数结合，以选择题或填空题的形式出现.预计2025年高考可能会考查利用指数函数的性质比较大小、指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用，题型为选择题或填空题，难度中档；也可能会以指数或指数函数为载体，结合新定义、初等数论等以创新型题目出现在第19题，难度较大.必备知识——强基础1．根式(1)如果xn＝a，那么eq\x(\s\up1(01))x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做eq\x(\s\up1(02))根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝eq\x(\s\up1(03))a．当n为奇数时，eq\r(n,an)＝eq\x(\s\up1(04))a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分数指数幂正数的正分数指数幂，aeq\s\up7(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂，a－eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up7(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于eq\x(\s\up1(05))0，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝eq\x(\s\up1(06))ar＋s；(ar)s＝eq\x(\s\up1(07))ars；(ab)r＝eq\x(\s\up1(08))arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域eq\x(\s\up1(09))(0，＋∞)性质图象过定点eq\x(\s\up1(10))(0，1)，即当x＝0时，y＝1当x>0时，eq\x(\s\up1(11))y>1；当x<0时，eq\x(\s\up1(12))0<y<1当x<0时，eq\x(\s\up1(13))y>1；当x>0时，eq\x(\s\up1(14))0<y<1在(－∞，＋∞)上是eq\x(\s\up1(15))增函数在(－∞，＋∞)上是eq\x(\s\up1(16))减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).(3)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)eq\r(4,(－4)4)＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a.()(4)eq\r(6,(－3)2)＝(－3)eq\s\up7(\f(1,3)).()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.eq\r((2－π)2)＝2－π B．aeq\r(－\f(1,a))＝eq\r(－a)C．(meq\s\up7(\f(1,4))neq\s\up7(-\f(3,8)))8＝eq\f(m2,n3) D．(x3－eq\r(2))3＋eq\r(2)＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以eq\r((2－π)2)＝π－2，故A错误；对于B，因为－eq\f(1,a)>0，所以a<0，则aeq\r(－\f(1,a))＝－(－a)·eq\f(1,\r(－a))＝－eq\r(－a)，故B错误；对于C，因为(meq\s\up7(\f(1,4))neq\s\up7(-\f(3,8)))8＝(meq\s\up7(\f(1,4)))8·(neq\s\up7(-\f(3,8)))8＝eq\f(m2,n3)，故C正确；对于D，因为(x3－eq\r(2))3＋eq\r(2)＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))C．(1，2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,8)))答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>0，化简eq\f(3xeq\s\up7(-\f(3,4))yeq\s\up7(\f(1,2)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)xeq\s\up7(\f(1,4))yeq\s\up7(-\f(1,3))))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x－1yeq\s\up7(-\f(1,6)))))＝__________．答案－10y解析原式＝eq\f(3xeq\s\up7(-\f(3,4))yeq\s\up7(\f(1,2)),－\f(3,10)xeq\s\up7(-\f(3,4))yeq\s\up7(-\f(1,2)))＝－10y.(2)计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up12(0.5)－0.752＋6－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝________．答案1解析原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)))eq\s\up12(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(3)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝eq\f(3,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(3,2)－eq\f(9,16)＋eq\f(1,36)×eq\f(9,4)＝1.【通性通法】【巩固迁移】1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))·eq\f(\r((4ab－1)3),(0.1)－1·(a3·b－3)eq\s\up5(\f(1,2)))(a>0，b>0)＝________．答案eq\f(8,5)解析原式＝eq\f(2·4eq\s\up7(\f(3,2))aeq\s\up7(\f(3,2))beq\s\up7(-\f(3,2)),10aeq\s\up7(\f(3,2))beq\s\up7(-\f(3,2)))＝eq\f(8,5).2．若xeq\s\up7(\f(1,2))＋xeq\s\up7(-\f(1,2))＝3，则x2＋x－2＝________．答案47解析由xeq\s\up7(\f(1,2))＋xeq\s\up7(-\f(1,2))＝3，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：eq\f(5,4)，eq\r(3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)中的一个，则a，b，c，d的值分别是()A.eq\f(5,4)，eq\r(3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2) B.eq\r(3)，eq\f(5,4)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\r(3)，eq\f(5,4) D.eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(5,4)，eq\r(3)答案C解析由题图，直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而eq\r(3)>eq\f(5,4)>eq\f(1,2)>eq\f(1,3)，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y＝3a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))解析当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1所示，由已知得0<3a<1，∴0<a<eq\f(1,3)；当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a<1，∴0<a<eq\f(1,3)，结合a>1可得a无解．综上可知，a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y＝e－|x|(e是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y＝e－|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)，x≥0，,ex，x<0，))易得函数y＝e－|x|为偶函数，且图象过(0，1)，y＝e－|x|>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C符合题意．故选C.4．(多选)若实数x，y满足4x＋5x＝5y＋4y，则下列关系式中可能成立的是()A．1<x<y B．x＝yC．0<x<y<1 D．y<x<0答案BCD解析设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x，则f(x)，g(x)都是增函数，画出函数f(x)，g(x)的图象，如图所示，根据图象可知，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1；当x＝1时，f(1)＝g(1)＝9，依题意，不妨设f(x)＝g(y)＝t，则x，y分别是直线y＝t与函数y＝f(x)，y＝g(x)图象的交点的横坐标．当t>9时，若f(x)＝g(y)，则x>y>1，故A不正确；当t＝9或t＝1时，若f(x)＝g(y)，则x＝y＝1或x＝y＝0，故B正确；当1<t<9时，若f(x)＝g(y)，则0<x<y<1，故C正确；当t<1时，若f(x)＝g(y)，则y<x<0，故D正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>c答案D解析解法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1.因为函数φ(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D.解法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a.因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(1,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))eq\s\up12(－\f(2,3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(2,3))，则()A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>a>c答案C解析因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(1,3))>1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(\f(2,3))<1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(2,3))>1，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)在R上是增函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(2,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(1,3))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(2,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(1,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))eq\s\up12(－\f(2,3))，即c>a>b.考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x－4y<5－x－5－y，则下列关系式正确的是()A．x<y B．y－3>x－3C.eq\r(x)>eq\r(y) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(y)<3－x答案AD解析由4x－4y<5－x－5－y，得4x－5－x<4y－5－y，令f(x)＝4x－5－x，则f(x)<f(y)．因为g(x)＝4x，h(x)＝－5－x在R上都是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以x<y，故A正确；因为G(x)＝x－3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x<y<0时，x－3>y－3，故B错误；当x<0，y<0时，eq\r(x)，eq\r(y)无意义，故C错误；因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)在R上是减函数，且x<y，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(y)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(y)<3－x，故D正确．故选AD.(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．答案eq\f(1,2)解析当a<1时，41－a＝21，解得a＝eq\f(1,2)；当a>1时，2a－(1－a)＝4a－1，无解．故a的值为eq\f(1,2).【通性通法】(1)解指数方程的依据：af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x)．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况讨论；而对于形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y＝(0.5x－8)eq\s\up7(-\f(1,2))的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y＝(0.5x－8)eq\s\up7(-\f(1,2))＝eq\f(1,\r(0.5x－8))，所以0.5x－8>0，则2－x>23，即－x>3，解得x<－3，故函数y＝(0.5x－8)eq\s\up7(-\f(1,2))的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x<eq\f(1,2)时，方程ax＝eq\f(1,x)(a>0，且a≠1)有解，则实数a的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，y＝ax与y＝eq\f(1,x)的图象有交点，作出y＝eq\f(1,x)的部分图象，如图所示，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,aeq\s\up7(\f(1,2))>2，))解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x)－8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤4，得x≥－2，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>4，得x<－2，而函数t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上单调递减，所以函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x)－8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是()A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝eq\f(10,9)，f(1)＝－6，因此f(x)的最小值是f(1)＝－6，故D正确．故选ACD.9．若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2＋2x＋3)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，则f(x)的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(t)是减函数，且f(x)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，则a>0且eq\f(12a－22,4a)＝2，解得a＝1，因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A＝{x|32x－1≥1}，B＝{x|6x2－x－2<0}，则A∪B＝()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))答案D解析集合A＝{x|32x－1≥1}＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，B＝{x|6x2－x－2<0}＝{x|(3x－2)(2x＋1)<0}＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(2,3)))，所以A∪B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2＋x的图象顶点横坐标的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))答案A解析由图可知，a∈(0，1)，而y＝ax2＋x＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2a)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4a)(a≠0)，其顶点横坐标为x＝－eq\f(1,2a)，所以－eq\f(1,2a)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).故选A.3．已知函数f(x)＝eq\f(1,1＋2x)，则对任意实数x，有()A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0C．f(－x)＋f(x)＝1 D．f(－x)－f(x)＝eq\f(1,3)答案C解析f(－x)＋f(x)＝eq\f(1,1＋2－x)＋eq\f(1,1＋2x)＝eq\f(2x,1＋2x)＋eq\f(1,1＋2x)＝1，故A错误，C正确；f(－x)－f(x)＝eq\f(1,1＋2－x)－eq\f(1,1＋2x)＝eq\f(2x,1＋2x)－eq\f(1,1＋2x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)，不是常数，故B，D错误．故选C.4．已知a＝2eq\s\up7(\f(4,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))，c＝5eq\s\up7(\f(1,3))，则()A．c<b<a B．a<b<cC．b<a<c D．c<a<b答案A解析因为a＝2eq\s\up7(\f(4,3))＝4eq\s\up7(\f(2,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))，所以a＝4eq\s\up7(\f(2,3))>4eq\s\up7(\f(2,5))＝b，因为b＝4eq\s\up7(\f(2,5))＝(46)eq\s\up7(\f(1,15))＝4096eq\s\up7(\f(1,15))，c＝5eq\s\up7(\f(1,3))＝(55)eq\s\up7(\f(1,15))＝3125eq\s\up7(\f(1,15))，所以b>c.综上所述，a>b>c.故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，则实数m的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(11,42)C.eq\f(1,16) D.eq\f(1,2)或eq\f(1,16)答案D解析当a>1时，f(x)＝ax在[－1，2]上单调递增，则f(x)max＝f(2)＝a2＝4，解得a＝2，此时f(x)＝2x，m＝f(x)min＝2－1＝eq\f(1,2)；当0<a<1时，f(x)＝ax在[－1，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝a－1＝4，解得a＝eq\f(1,4)，此时f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)，m＝f(x)min＝f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16).综上所述，实数m的值为eq\f(1,2)或eq\f(1,16).故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)答案D解析函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(a2,4)在区间(0，1)上单调递减，因此eq\f(a,2)≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f(x)满足f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－2，x>0，,2－2－x，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x>0时，－x<0，f(－x)＝2－2x＝－(2x－2)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝2－x－2＝－(2－2－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，所以f(a)>f(－a)＝－f(a)，即f(a)>0，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可得，实数a的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a，b，c满足2a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a－1)＝4，3b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(b－1)＝6，4c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(c－1)＝8，则下列判断正确的是()A．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b答案A解析由已知可得a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)＝2，b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(b)＝2，c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(c)＝2，则a，b，c可分别看作直线y＝2－x和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)的图象的交点的横坐标，画出直线y＝2－x和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)的大致图象，如图所示，由图象可知a<b<c.故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq\s\up12(7)＝n7meq\s\up7(\f(1,7))(n>0，m>0)B．－eq\r(12,34)＝eq\r(3,－3)C.eq\r(\r(3,9))＝eq\r(3,3)D．[(a3)2(b2)3]－eq\f(1,3)＝a－2b－2(a>0，b>0)答案BCD解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq\s\up12(7)＝eq\f(n7,m7)＝n7m－7(n>0，m>0)，故A错误；－eq\r(12,34)＝－3eq\s\up7(\f(4,12))＝－3eq\s\up7(\f(1,3))＝eq\r(3,－3)，故B正确；eq\r(\r(3,9))＝eq\r(\r(3,32))＝eq\r(3eq\s\up3(\f(3,2)))＝eq\r(3,3)，故C正确；[(a3)2(b2)3]eq\s\up7(-\f(1,3))＝(a6b6)eq\s\up7(-\f(1,3))＝a－2b－2(a>0，b>0)，故D正确．故选BCD.10．已知函数f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)，下列说法正确的是()A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于直线x＝1对称C．f(x)的值域为(－1，1)D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0答案AC解析由f(－x)＝eq\f(3－x－1,3－x＋1)＝－eq\f(3x－1,3x＋1)＝－f(x)，可得函数f(x)为奇函数，所以A正确；因为f(0)＝0，f(2)＝eq\f(4,5)，f(0)≠f(2)，所以B错误；设y＝eq\f(3x－1,3x＋1)，可得3x＝eq\f(1＋y,1－y)，所以eq\f(1＋y,1－y)>0，即eq\f(1＋y,y－1)<0，解得－1<y<1，即函数f(x)的值域为(－1，1)，所以C正确；f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＝1－eq\f(2,3x＋1)为增函数，所以D错误．故选AC.三、填空题11．0.25eq\s\up7(-\f(1,2))－(－2×160)2×(2eq\s\up7(-\f(2,3)))3＋eq\r(3,2)×(4eq\s\up7(-\f(1,3)))－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]eq\s\up7(-\f(1,2))－(－2×1)2×2－2＋2eq\s\up7(\f(1,3))×2eq\s\up7(\f(2,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)－4×eq\f(1,4)＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x－6x－3x≥1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)≤1.令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)均为R上的减函数，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f(x