浙江省杭州市保俶塔实验教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市保俶塔实验教育集团九年级（上）期中数学试卷一.选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（）A． B．y＝2x﹣3 C．y＝x2﹣3 D．2．（3分）盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（）A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黄球的可能性最小3．（3分）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为3，则下列说法正确的是（）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法判断点P与⊙O的位置关系4．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，则∠CAD＝（）A．30° B．40° C．50° D．90°5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E在BC的延长线上，若∠A：∠B：∠D＝4：3：3，则∠DCE的度数是（）A．100° B．105° C．110° D．120°6．（3分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）在下列函数图象上任取不同的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使＞0的是（）A．y＝（x＞0） B．y＝x2﹣4x+5（x≥0） C．y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0） D．y＝﹣3x+78．（3分）已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE＝BC，则阴影部分面积为（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣9．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E，设∠AED＝α，∠AOD＝β，则以下关系式成立的是（）A．2α+β＝180° B．2α﹣β＝90° C．3α+β＝180° D．3α﹣β＝90°10．（3分）已知二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是实数），设该函数最小值为k，下列说法正确的是（）A．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＜0 B．若2＜a＜3，2＜b＜3，则0＜k＜1 C．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＜﹣3 D．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＞﹣3二.填空题（每题3分，共18分）11．（3分）从，0，3这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是．12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足如表：x⋯﹣3﹣2﹣101…y…0343m…根据表格内容，则m的值为．13．（3分）如图所示，AD为⊙O的直径，点B、C在圆上，∠B＝60°，则∠CAD＝．14．（3分）一个袋子中装有3个红球和2个黄球，它们除颜色外，其他都相同．现将n个绿球（与红、黄球除颜色外，其他都相同）放入袋中摇均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程，共摸了500次，其中60次摸到红球．则估计n的值为．15．（3分）已知二次函数y＝ax2+4ax+a+1（a为常数，且a＜0）的图象经过P（x1，y1）、Q（3，y2），当y1＞y2时，则x1的取值范围为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点I在DE上，以EF为直径的圆交直线AB于点M，N．若I为DE的中点，AB＝5，则MN＝．三.解答题（本大题共8题，共72分）17．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？18．（8分）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，﹣5，7的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．（1）用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果；（2）求两次取出的小球上数字的和是正数的概率．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）△ABC的外接圆的半径为；（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1；（3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长．20．（8分）如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．（1）求证：∠CBO＝∠ABD；（2）若AE＝2，CE＝8，求弦BD的长．21．（8分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图），养殖场的总面积为ym2．（1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？22．（10分）如图1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D．（1）若∠ECB＝120°，①求所对圆心角的度数；②连结DB，DA，求证：△ABD是等边三角形．（2）如图2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面积．23．（10分）设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），求函数y的表达式及其图象的对称轴．（2）在（1）的条件下，若函数y的图象上有P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且．求证：y1﹣y2＞0．（3）若函数y的表达式可以写成y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）的形式，若0＜m＜2，求b+c的取值范围．24．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，作AH⊥DG于点H．（1）求证：∠FGC＝∠AGD；（2）若∠GDC＝30°，GC平分∠DGF，请在图2中补全图形并求出的值；（3）猜想线段DH，HG，CG之间的数量关系，并证明你的结论．

2024-2025学年浙江省杭州市保俶塔实验教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（）A． B．y＝2x﹣3 C．y＝x2﹣3 D．【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，由此判断即可．【解答】解：A、不是二次函数，故此选项不符合题意；B、是一次函数，故此选项不符合题意；C、是二次函数，故此选项符合题意；D、不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：C．2．（3分）盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（）A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黄球的可能性最小【分析】根据题意列出树状图求出各种颜色求得概率，逐个判断即可得到答案．【解答】解：由题意可得，摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为：，摸出黑球的概率为：，故选：B．3．（3分）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为3，则下列说法正确的是（）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法判断点P与⊙O的位置关系【分析】直接根据点与圆的位置关系解答即可．【解答】解：∵⊙O与点P在同一平面内，⊙O的半径为5，线段OP的长为3，5＞3，∴点P在⊙O内．故选：B．4．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，则∠CAD＝（）A．30° B．40° C．50° D．90°【分析】由旋转的性质可得∠CAE＝90°，结合∠DAE＝50°，求得∠CAD．【解答】解：将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，∴∠CAE＝90°，∵∠DAE＝50°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣50°＝40°，故选：B．5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E在BC的延长线上，若∠A：∠B：∠D＝4：3：3，则∠DCE的度数是（）A．100° B．105° C．110° D．120°【分析】设∠A＝4x，则∠B＝∠D＝3x，再由圆内接四边形的性质得出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵∠A：∠B：∠D＝4：3：3，∴设∠A＝4x，则∠B＝∠D＝3x．∵∠B+∠D＝180°，即6x＝180°，解得x＝30°，∴∠A＝120°，∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠A＝120°．故选：D．6．（3分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据图像可以知道，进而得出b、c的正负，求出一次函数经过的象限，进而得出答案．【解答】解：根据图像可得：，∴b＞0，c＞0，故y＝bx+c经过一、二、三象限，不经过第四象限，故选：D．7．（3分）在下列函数图象上任取不同的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使＞0的是（）A．y＝（x＞0） B．y＝x2﹣4x+5（x≥0） C．y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0） D．y＝﹣3x+7【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可．【解答】解：A、y＝（x＞0）中，k＝2＞0，则当x＞0时，y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2，此时＜0，故A选项不成立；B、∵y＝x2﹣4x﹣1的对称轴为直线x＝2，∴当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时y随x的增大而增大，∴当0＜x＜2时，当x1＞x2时，必有y1＜y2，此时＜0，故B选项不成立；C、∵y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0）的对称轴为直线x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而增大，∴当x＜0时，当x1＞x2时，必有y1＞y2，此时＞0，故C选项成立；D、∵y＝﹣3x+7中，k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2，此时＜0，故D选项不成立；故选：C．8．（3分）已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE＝BC，则阴影部分面积为（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣【分析】连接OD、OC，根据CE＝BC，得出∠DBC＝∠CEB＝45°，进而得出∠DOC＝90°，根据S阴影＝S扇形﹣S△ODC即可求得．【解答】解：连接OD、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵CE＝BC，∴∠DBC＝∠CEB＝45°，∴∠DOC＝2∠DBC＝90°，∴S阴影＝S扇形﹣S△ODC＝﹣×3×3＝﹣．故选：A．9．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E，设∠AED＝α，∠AOD＝β，则以下关系式成立的是（）A．2α+β＝180° B．2α﹣β＝90° C．3α+β＝180° D．3α﹣β＝90°【分析】根据垂直定义可得∠COA＝∠AOB＝90°，从而可得∠COD＝90°﹣β，再利用对顶角相等可得∠OEB＝∠AED＝α，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝90°﹣α，最后利用圆周角定理可得∠COD＝2∠B，从而可得90°﹣β＝2（90°﹣α），进行计算即可解答．【解答】解：∵OA⊥BC，∴∠COA＝∠AOB＝90°，∵∠AOD＝β，∴∠COD＝∠COA﹣∠AOD＝90°﹣β，∵∠AED＝α，∴∠OEB＝∠AED＝α，∴∠B＝90°﹣∠OEB＝90°﹣α，∵∠COD＝2∠B，∴90°﹣β＝2（90°﹣α），∴90°﹣β＝180°﹣2α，∴2α﹣β＝90°，故选：B．10．（3分）已知二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是实数），设该函数最小值为k，下列说法正确的是（）A．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＜0 B．若2＜a＜3，2＜b＜3，则0＜k＜1 C．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＜﹣3 D．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＞﹣3【分析】利用抛物线解析式求得对称轴，即可求得函数的最小值k＝4（﹣a）（﹣b）+1＝﹣（a﹣b）2+1，然后根据a、b的取值，判断|a﹣b|的值，从而判断k的大小．【解答】解：∵二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）的图象向上平移1个单位得到y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是实数），由二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）（a，b是实数，且a≠b）可知对称轴为直线x＝，∴二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是实数）的对称轴为直线x＝，∴函数的最小值k＝4（﹣a）（﹣b）+1＝﹣（a﹣b）2+1，若2＜a＜3，2＜b＜3，则|a﹣b|＜1，所以0＜k＜1，若2＜a＜3，3＜b＜4，则|a﹣b|＜2，所以﹣3＜k＜1，故选项B正确，选项A、C、D错误．故选：B．二.填空题（每题3分，共18分）11．（3分）从，0，3这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是．【分析】先确定无理数的个数，再由概率公式求解即可．【解答】解：∵，0，3这三个数中，是无理数，∴这三个数中随机选择一个数，这个数为无理数的概率是，故答案为：．12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足如表：x⋯﹣3﹣2﹣101…y…0343m…根据表格内容，则m的值为0．【分析】由当x＝﹣2和x＝0时，y值均为3，可得出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，结合＝﹣1，可得出当x＝1时y的值与当x＝﹣3时y的值，此题得解．【解答】解：∵当x＝﹣2和x＝0时，y值均为3，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，又∵＝﹣1，且当x＝﹣3时，y＝0，∴当x＝1时，y＝m＝0．故答案为：0．13．（3分）如图所示，AD为⊙O的直径，点B、C在圆上，∠B＝60°，则∠CAD＝30°．【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD＝90°，继而求出∠CBD的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠CAD的度数．【解答】解：如图，连接BD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAD＝∠CBD＝30°，故答案为：30°．14．（3分）一个袋子中装有3个红球和2个黄球，它们除颜色外，其他都相同．现将n个绿球（与红、黄球除颜色外，其他都相同）放入袋中摇均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程，共摸了500次，其中60次摸到红球．则估计n的值为20．【分析】根据已知可估计出模到红球的概率，再利用概率公式计算即可．【解答】解：根据已知可估计出模到红球的概率为＝，所以＝，解得n＝20，故估计n的值为20．故答案为：20．15．（3分）已知二次函数y＝ax2+4ax+a+1（a为常数，且a＜0）的图象经过P（x1，y1）、Q（3，y2），当y1＞y2时，则x1的取值范围为﹣7＜x1＜3．【分析】根据y1＞y2及y＝ax2+4ax+a+1（a为常数，且a＜0）得到关于x1的不等式，进一步得到关于x1的不等式组，解不等式组可得答案．【解答】解：∵y1＞y2，∴+4ax1+a+1＞9a+12a+a+1，∴+4ax1﹣21a＞0，∴a（x1+7）（x1﹣3）＞0，∵a＜0，∴（x1+7）（x1﹣3）＜0，∴或，∴﹣7＜x1＜3．故答案为：﹣7＜x1＜3．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点I在DE上，以EF为直径的圆交直线AB于点M，N．若I为DE的中点，AB＝5，则MN＝．【分析】连接EC，FC，证明点E，C，F在同一条直线上，过点E，F作直线MN的垂线，垂足为R，T，设EF的中点为O，过点O作OK⊥MN于K，连接OM，证明△ABC和△AIE全等得BC＝IE，再根据点I为DE的中点得AC＝2BC，由此可得BC＝，AC＝2BC＝，进而得EC＝，FC＝，则EF＝EC+FC＝，由此得OM＝，证明△ABC∽△EAR得AR＝4，同理可证△ABC∽△BFT得FT＝1，证明OK为梯形EFTR的中位线，则OK＝（ER+FT）＝，然后在Rt△OMK中由勾股定理求出MK＝，进而可得MN的长．【解答】解：连接EC，FC，∵四边形ACDE和四边形BCGF均为正方形，∴AC＝AE＝ED，∠ACE＝45°，∠CAE＝∠AED＝90°，BC＝BF，∠BCF＝45°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB+∠BCF＝180°，∴点E，C，F在同一条直线上，过点E，F作直线MN的垂线，垂足为R，T，设EF的中点为O，过点O作OK⊥MN于K，连接OM，如图所示：∵四边形ABHI和四边形BCGF均是正方形，∴∠IAC＝90°，AB＝AI，∠CBF＝90°，BC＝BF，∴∠BAC+∠CAI＝90°，又∵∠IAE+∠CAI＝90°，∴∠BAC＝∠IAE，在△ABC和△AIE中，，∴△ABC≌△AIE（SAS），∴BC＝IE，∵点I为DE的中点，∴ID＝IE，∴AE＝ED＝2IE，∴AC＝2BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（2BC）2+BC2＝52，∴BC＝，AC＝2BC＝，在Rt△ACE中，AC＝AE＝，由勾股定理得：EC＝＝，在Rt△BFC中，BC＝BF＝，由勾股定理得：FC＝＝，∴EF＝EC+FC＝＝，∵EF为⊙O的直径，∴OE＝OF＝OM＝，∵∠CAE＝90°，ER⊥MN，∴∠BAC+∠EAR＝90°，∠AER+∠EAR＝90°，∴∠BAC＝∠AER，又∵∠ACB＝∠R＝90°，∴△ABC∽△EAR，∴AC：ER＝AB：AE，即：ER＝5：，∴AR＝4，同理可证：△ABC∽△BFT，∴BC：FT＝AB：BF，即：FT＝5：，∴FT＝1，∵ER⊥MN，FT⊥MN，OK⊥MN，点O为EF的中点，∴OK为梯形EFTR的中位线，∴OK＝（ER+FT）＝×（4+1）＝，在Rt△OMK中，OM＝，OK＝，由勾股定理得：MK＝＝，∵点O为⊙O的圆心，OK⊥MN，∴MN＝2MK＝．故答案为：．三.解答题（本大题共8题，共72分）17．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a，b，得到此二次函数的解析式；（2）把x＝﹣2代入函数解析式计算，判断即可．【解答】解：（1）由题意得，，解得，，则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．18．（8分）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，﹣5，7的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．（1）用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果；（2）求两次取出的小球上数字的和是正数的概率．【分析】（1）根据题意先画出树状图，得出所有可能出现的结果数；（2）根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意画图如下：所有可能出现的结果有（3，3），（3，﹣5），（3，7），（﹣5，3）（﹣5，﹣5），（﹣5，7），（7，3），（7，﹣5），（7，7）共有9种；（2）∵共有9种情况，两次取出的小球上数字的和是正数有4种情况，∴两次取出小球上的数字相同的概率为．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）△ABC的外接圆的半径为；（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1；（3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长．【分析】（1）先利用勾股定理计算出BC，然后直角三角形的外切圆的半径为BC的一半求解；（2）利用旋转变换的性质作出A，C的对应点A1，C1即可；（3）利用弧长公式计算弧长即可．【解答】解：（1）AB＝2，AC＝3，BC＝＝，所以△ABC的外接圆的半径＝；故答案为：；（2）旋转之后，如图所示：（3）CC1弧长L＝＝π．20．（8分）如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．（1）求证：∠CBO＝∠ABD；（2）若AE＝2，CE＝8，求弦BD的长．【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠ABD，然后利用∠C＝∠CBO得到∠CBO＝∠ABE；（2）先根据垂径定理得到BE＝DE，再计算出OB＝5，OE＝3，则利用勾股定理可计算出BE，从而得到BD的长．【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠CBD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠BEC＝90°，∴∠C+∠CBD＝90°，∴∠C＝∠ABD，∵OB＝OC，∴∠C＝∠CBO，∴∠CBO＝∠ABE；（2）解：∵AC⊥BD，∴BE＝DE，∵AE＝2，CE＝8，∴AC＝10，∴OB＝5，OE＝3，在Rt△OBE中，BE＝＝4，∴BD＝2BE＝8．21．（8分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图），养殖场的总面积为ym2．（1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【分析】（1）根据题意可得，矩形养殖场的长为3xm，矩形养殖场的宽为（24﹣3x）m＝（8﹣x）m，从而养殖场的总面积为y＝3x（8﹣x）＝﹣3x2+24x，再结合墙的长度为10，可得0＜3x≤10，进而可得自变量x的取值范围；（2）依据题意，由y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，从而当x＜4时，y随x的增大而增大，又0＜x≤，进而由二次函数的性质可以判断得解．【解答】解：（1）由题意，∵较小矩形的宽为xm，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，∴较大矩形的宽为2xm．∴矩形养殖场的长为3xm，矩形养殖场的宽为（24﹣3x）m＝（8﹣x）m．∴养殖场的总面积为y＝3x（8﹣x）＝﹣3x2+24x．∵墙的长度为10，∴0＜3x≤10，∴0＜x≤．∴y关于x的函数关系式为y＝﹣3x2+24x（0＜x≤）．（2）由题意，∵y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∴当x＜4时，y随x的增大而增大．又∵0＜x≤，∴当x＝时，y取最大值，最大值为：﹣3（﹣4）2+48＝．答：当x为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．22．（10分）如图1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D．（1）若∠ECB＝120°，①求所对圆心角的度数；②连结DB，DA，求证：△ABD是等边三角形．（2）如图2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面积．【分析】（1）①利用邻补角的意义和角平分线的定义解答即可；②利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和等边三角形的判定定理解答即可；（2）连接DO并延长交AB于点H，连接OA，OB，利用圆周角定理，同圆的半径相等的性质得到△OAB为等腰直角三角形，可求OA＝OB＝；利用等腰三角形的判定定理和垂径定理得到DH⊥AB，利用等腰直角三角形的性质求得OH，再利用三角形的面积公式解答即可．【解答】（1）①解：∵∠ECB＝120°，∴∠ACB＝180°﹣∠ECB＝60°．∴所对圆心角的度数＝2∠ACB＝120°；②证明：∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，∴∠ECD＝∠BCD＝∠ECB＝120°＝60°．∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DAB＝60°，∵∠ECD为圆内接四边形CABD的外角，∴∠ABD＝∠ECD＝60°，∵∠ADB＝ACB＝60°，∴∠ADB＝∠DAB＝∠ABD＝60°，∴△ABD是等边三角形；（2）解：连接DO并延长交AB于点H，连接OA，OB，如图，则∠AOB＝2∠ADB＝2×45°＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB为等腰直角三角形，∴OA＝OB＝AB＝，∴OD＝OA＝．∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，∴∠ECD＝∠BCD＝∠ECB，∵∠ECD为圆内接四边形CABD的外角，∴∠ABD＝∠ECD．∵∠DAB＝∠DCB，∴∠ABD＝∠DAB，∴DA＝DB，∴．∴DH⊥AB．∴AH＝DH＝1，∴OH＝AB＝1，∴DH＝OD+OH＝1．∴△ABD的面积＝AB•DH＝2×（）＝．23．（10分）设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），求函数y的表达式及其图象的对称轴．（2）在（1）的条件下，若函数y的图象上有P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且．求证：y1﹣y2＞0．（3）若函数y的表达式可以写成y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）的形式，若0＜m＜2，求b+c的取值范围．【分析】（1）根据题意列方程组，即可得到结论；（2）在（1）的条件下，二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3，于是得到y1﹣y2＝x﹣4x1+3﹣（x﹣4x2+3）＝x﹣4（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣4），由，得到﹣＜x1+x2﹣4＜0，﹣2＜x1﹣x2＜﹣＜0，于是得到结论；（3）化简y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣（2m+1）x+（m2+m），求得b+c＝﹣（2m+1）+（m2+m）＝m2+m﹣2m﹣1＝m2﹣m﹣1，当m＝0时，b+c＝m2﹣m﹣1＝﹣1，当m＝2时，b+c＝m2﹣m﹣1＝1，于是得到结论．【解答】（1）解：由题意，二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过（1，0），（3，0），∴，解得，∴抛物线的解析y＝x2﹣4x+3，∴抛物线对称轴是直线x＝＝2；（2）解：由题意，得y＝（x﹣h）2﹣3＝x2﹣2h+h2﹣3，又∵y＝x2+bx+c，∴b＝﹣2h，c＝h2﹣3∴b+c＝h2﹣2h﹣3＝（h﹣1）2﹣4，∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4；（2）证明：在（1）的条件下，二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3，∴y1﹣y2＝x﹣4x1+3﹣（x﹣4x2+3）＝x﹣4（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（