2021空间向量综合讲义

空间向量综合讲义

1、空间向量基本知识

2、空间向量求夹角(直线与直线、直线与平面、平面与平面)

3、空间向量证明三点共线(共面)

4、空间向量求点到平面的距离

5、空间向量证明垂直、平行

6、向量解决探索性问题

一、空间向量基本知识

一、空间向量及其加减运算

1,空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用

有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量〃的起点是A,终点是B,则向量。也可以记作AB,

其模记为“或卜..

2.零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A与终点B重合时，AB=O.

模为1的向量称为单位向量.

3.相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空

间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.

与向量。长度相等而方向相反的向量，称为。的相反向量，记为-

4.空间向量的加法和减法运算

(1)0C=0A+OB=a+b,BA=OA-OB=a-h.如图8T52所示.

图8-152

(2)空间向量的加法运算满足交换律及结合律

a+b=b+a,(a+b\+c=a-¥(b+c\

二、空间向量的数乘运算

1.数乘运算

实数几与空间向量。的乘积称为向量的数乘运算.当几>0时，义。与向量《方向相同；当4<0时,

向量与向量。方向相反.Aa的长度是a的长度的|川倍.

2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

3,共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，。平

行于人记作。//尻

4,共线向量定理

对空间中任意两个向量。，6,力0卜〃/"的充要条件是存在实数/I,使。=46.

5.直线的方向向量

幻图8T53所示，/为经过已知点A且平行于已知非零向量。的直线.对空间任意一点。，点P在直线

/上的充要条件是存在实数人使。尸=OA+Z。①，其中向量。叫做直线/的方向向量，在/上取

则式①可化为OP=OA+/48=OA+/（。8-。4）=（1一I）OA+ZOB②

①和②都称为空间直线的向量表达式，当，二4，即点P是线段A3的中点时，OP=-（OA+OB\,

22、f

此式叫做线段的中点公式.

6,共面向量

如图8-154所示，己知平面a与向量。，作0A=〃，如果直线04平行于平面。或在平面a内，则说

明向量。平行于平面。.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

7.共面向量定理

如果两个向量。,b不共线，那么向量p与向量。，力共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,y）,

使〃=xa+yb.

推论：（1）空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对（xy）,使叱凰

或对空间任意一点。，有OP—OA=xAB+yAC,该式称为空间平面ABC的向量表达式.

（2）已知空间任意一点。和不共线的三点A,B,。，满足向量关系式。。=%。4+），08+2。。（其

中x+y+z=l）的点尸与点A,B,C共面；反之也成立.

三、空间向量的数量积运算

1.两向量夹角

已知两个非零向量〃，b,在空间任取一点0,作04=。，0B=b,则NA08叫做向量〃，力的夹

角，记作《酚，通常规定0«&正不，如果,,。）=工，那么向量人力互相垂直，记作

2.数量积定义

已知两个非零向量〃，b,则忖卜底«b泄做a,6的数量积，记作。力，即〃力=*4]◎4匕）・

零向量与任何向量的数量积为0,特别地，〃•〃二,1.

3.空间向量的数量积满足的运算律：

卜=ab=ba（交换律）；

〃.仅+c）=〃♦/>+〃•（？（分配律）.

四、空间向量的坐标运算及应用

（1）设。=（01，々2，%），^=（4也也），贝U。+右=（4+4，/+匕2，%+4）；

a-b=（a}-bva2一瓦,％一4）；

Aa=（2^,/kz2,2a3）；

ab=岫+%匕2+硬3；

a/!b（b/0）=>q=Ab^a2=x/?2,6z3=Ab3；

4_LbnqZ?i+a2b2+q4=0.

（2）设A（x，y,zJ,B（X2，^2,Z2）,则48=08_。4=（工2_耳，％_凹，22_4）・

这就是说，•个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.

（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.

=（4M2M3），b=（A也也），则忖=7?=y/a2+a2+a2

①已知4t23

卜卜店=Jb：+b；+b；；

ab=+a2b2+/4；

afy+帖2+ab

cos33

J.：+出2+%2折+]：+42

②已知A(x，y,zj,B(A^,y2,z2),则|同=J(XI一々)2+(y_%)2+(Z|_z?)2,

或者d(A8)=pB|.其中d(A8)表示A与3两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.

向量〃在向量b上的射影为Wcos(〃,b)

[4)

(5)设〃(〃工0)是平面M的一个法向量，AB,CO是M内的两条相交直线，则〃・AB=0,由此

可求出一个法向量〃(向量AB及。。已知).

16)利用空间向量证明线面平行：设"是平面的一个法向量，/为直线/的方向向量，证明/•〃二0,

(如图8-155所示).已知直线/(/<za),平面a的法向量〃，若/•〃=(),则///a.

：7)利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线中各取一个方向向量。，力，只要证明〃_L/?,

即。•方=0.

即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.

：9)证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.

110)空间角公式.

①异面直线所成角公式：设4,匕分别为异面直线4,，2上的方向向量，。为异面直线所成角的大小,

ab

贝ijcos6=cos《,j

②线面角公式：设/为平面。的斜线，〃为/的方向向量，〃为平面a的法向量，。为

/\an

/与a所成角的大小,则sin6=cos(a,=—n--.

③二面角公式：

设〃I，4分别为平面。，£的法向量，二面角的大小为2则夕=(“,%)或万一(外,%)(需要根据

4•%

具体情况判断相等或互补)，其中|cosJ|=—.

飞晒

\AB-n\

(11)点A到平面a的距离为d,Bea,〃为平面a的法向量，则4二一^.

忖

空间向量及其运算

思路提示

空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向

量的运算法则.

一、空间向量的加法、减法、数乘运算

例8.41如图8-156所示，已知空间四边形OABC,点M,N分别为04,8C的中点，且0A=。，08=b,

0C=c,用。，b,c表示MN,则MN=.

B

图8-156

变式1如图8-157所示，已知空间四边形O48C,其对角线为08,AC,M和N分别是对边0A和

的中点，点G在线段MN上，且MG=2GA,现用基向量OA,OB,0c表示向量0G,设

0G=xOAk-yORz(,则覆y,z的值分别是()

11

Ax=i，y=：7，z=

33

11

B.x=-,y=-,z=

33

11

C.x=-,y=-,z=

3o

图8-157

变式2如图8-158所示，在四面体O-4BC中，OA=a,OB=b,OC=c,。为8C的中点，E为A。

的中点，则。£=（用。，b,c表示）.

变式3在空间四边形ABC。中，连接对角线4c,8。，若MCD是正三角形,且E为其重心，则

13

。一己OE—A。的化简结果为

22

变式4如图8-159所示，在平行六面体4BCO-A旦G"中，M为AG与印鼻的交点，若

AD=h,然=。，则下列向量中与3M相等的向量是（）

B.—a+—b+c

22

11,

Dn.-a—b+c

22

图8-159

二、空间共线向量定理的应用

空间共线向量定理：a//b^b^^<=>a=Ab.

利用此定理可解决立体几何中的平行问题.

例&42已知m=3〃-2b-4c/0,〃=(x+l)a+8Z?+2yc,且瓦c不共面，若加//〃，求的值.

二、空间向量的数量积运算

=MWcos(a,b)=

abXW+yM+z-；

求模长时，可根据忖=\[a~=Qx；+yj+zj；

ab

求空间向量夹角时,可先求其余弦值cos(a,b).要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数

a\\h

量积是否为0,即。为=00。J_h.

(。肉为锐角=。力>0；《，”为读角=。力<0.由此，通常通过计算。力的值来判断两向量夹角

是锐角还是钝角.

例8.43已知空间四边形ABCO的每条边和对角线的长都等于。，点瓦尸分别是BC,4。的中点，AE-

AF的值为().

Aa2B.B.-crC.-crD.—a2

244

变式1如图8-161所示，已知平行六面体ABC。—A&GA中，ZA.AD=ZAiAB=ZDAB=60°,且

A,A=AB=AD=\f则AG=,

图8-161

变式2如图8-162所示，设A,及CO是空间不共面的4个点，且满足AB-AC=0,ADAC=0,

ADAB=（）,则MS的形状是（）.

A钝角三角形8.直角三角形

C.锐角三角形。.无法确定

例8.44如图8-163所示，在45。的二面角。一/一方的棱上有两点AB,点CD分别在a/内，且

AC1AB,ZABD=45°,AC=BD=AB=\,则CO的长度为.

变式1己知二面角。一/一夕为60。，动点P,Q分别在面a,/7内，P到夕的距离为G，。到a的距离

为26，则P,Q两点之间距离的最小值为（）.

A.42B2C.2GDA

变式2在直角坐标系中，设A（3,2）,8（-2,-3）,沿y轴把坐标平面折成120。的二面角后，A8的长为

（）.

B.4五C.2y/3D2VH

np

例8.45如图8-164所示,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-ABGD1的对角线8。上，记上上=4.

D}B

当4PC为钝角时，求；I的取值范围.

变式1已知正方体48co-4g的楂长为1,点、P在线段BD,±,当4PC最大时，三棱锥P-ABC

的体积为（）.

1

D.

A卷立

例8.46如图8-166所示，在四棱锥尸-ABC。中，侧面24。为正三角形，底面ABCQ为正方形，侧面

Q4Z>_L底面43CO,M为底面A3CO内的一个动点，且满足MP=MC,则点M在正方形43co内的

轨迹为().

图8-166

变式1到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

().

A直线A椭圆。.抛物线D双曲线

变式2空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到

这个平面的距离，已知平面a,。,y两两互相垂直，点Awa,点A到/，7的距离都是3,点尸是a上

的动点，满足尸到£的距离是点尸到点4距离的2倍,则点P的轨迹上的点到y的距离的最小值是

().

A3-68.3-26C.6-V3。.石

1.(2017・黄冈模拟)已知向量o=(2根+1,3,w-1),〜=(2,小，一M，且a〃4则实数力的

值等于()

A垓B.-2C.OD/1或一2

Ei-,2〃?+13"1-1一0

斛析**CL//=7Z=，解付机=-2.

by/.52m—m

答案B

2.（2017•海南模拟）在正方体A8CD-A向Ci。】中,M,N分别为棱441和3止的中点,则sin

〈e而，加v〉的值为（）

A」B"

a.9”•9J9

解析如图，设正方体棱长为2,则易得加=（2,-2,1）,由V=（2,2,

CMD]N

-1),cos<CM,D^N)=*=_1.・.sin〈诙，疝)=

\CM\\DtN\?

4小

9-

答案B

3.空间四边形ABC。的各边和对角线均相等，E是5c的中点，那么（）

A.AE-BC<AE-CD

B.AE-BC=AE-CD

C.AE-BC>AE•CD

D.AE・比与施・加的大小不能比较

解析取3。的中点E连接EF,贝星CO,因为〈丽，EF）=〈循，CD>>90°,

因为施•心=0,:.AE•cb<o,所以丽•反?

答案C

4.已知向量。=（1,1,0）,）=（—1,0,2）,且kr+〃与2°—。互相垂直，则左的值是（）

457

B-C-D-

A.-335

解析由题意得，ka-\-b=(k—1,k,2),2a-b=(392,-2).所以(hr+b>(2〃一方)=3(左一1)

+22-2X2=52—7=0,解得攵=,

答案D

5.己知空间四边形4BCO的每条边和对角线的长都等于如点日尸分别是BC,AO的中点,

则危•B的值为（）

A./B.%C.(〃2D.乎A?

解析如图，设筋=a,AC=/F,AD=C,/f\i;

则|Q|=|例=|c|=a,且Q,by。三向量两两夹角为60°.

一1।一1

AE=/(a+。)，AF=~jCyc

——1।1

••AE・A尸=](a+b)•呼

=4(ac+6c)=z(a2cos6004-tz2cos60°)=^2.

答案C

二、填空题

6.已知2a+£»=(0,—5,10),c=(l,-2,-2),ae=4,向=12,则以b,。为方向向量的

两直线的夹角为.

解析由题意得，(2a+A)・c=0+10—20——10.

即加•c+〃,c=—10,又:.b，c=118,

,,,、____________T8_1

••cos\bc/।ri।I/"与

瓦|c|12XW+4+42

・•・<瓦c>=120。，・••两直线的夹角为60。.

答案60°

7.正四面体A8CO的棱长为2,E,尸分别为BC,4。中点，则痔的长为.

解析|函2=(反•+⑶+两2

=反〕2+⑸2+炉+2(反:・CD^-EC・DF+CD•DF)

=12+22+12+2(1X2XCOS120°+0+2X1Xcos120°)

=2,

：.\EF]=y[2t.・・EF的长为也.

答案V2

8.(2017・南昌调研)已知空间四边形OABC,其对角线为03,AC,M，N分别是04,的中

点，点G在线段MN上，且俄=2砺，现用基底｛次，OB,无｝表示向量而，有肉=工宓

+yOB+zOCt贝y,z的值分别为.

解析\'dG=dM+MG=^dA-\-^MN

殖+,g(OB+OC)-；晶］

=ToOA4-5TOB3+zdC,

._1_1_1

9•x~6ry~yz~y

iii

答案6,3

三、解答题

9.已知空间中三点八(一2,0,2),8(—1,1,2),。(一3,0,4),设。一油，b~AC.

(1)若|c|=3,且c〃脏，求向量c

(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.

解(I)：。〃比，病=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),

c=mBC=/n(—2,—1,2)=(-2m,—m,2tn),

/.\c\=yl(—2m)2+(—m)2+(2/n)2=3|/n|=3,

/.7?z=±l..,.c=(—2,—1,2)或(2,1,—2).

(2)Va=(l,1,0),b=(-\f0,2),；.a・b=(l,1,0)-(-1,0,2)=-l,

又・,・同""百可"=啦，\b\=yl(-1)2+02+22=^5,

a-b-1Vio

cos(a,b)=丽=而=-10'

yio

即向量。与向量力的夹角的余弦值为-io'

10.如图，在棱长为。的正方体。43C—QA山Cl中，E,尸分别是棱48,

BC上的动点，且AE=5F=x,其中OWxWo,以O为原点建立空间直角

坐标系Oxyz.

(1)写出点E,产的坐标；

(2)求证：4E1GE；

(3)若4,E,F,G四点共面，求证：

(1)解E(afx,0),F(a—x,a,0).

(2)证明・.・Ai(a,0,a),Ci(0,a,a),

-►-►

/./4iF=(—x,m-〃)，CiE=(a,x-a,—a),

,,A\F•G*fe=—4)+Q2=O,

：.MFLC^E,：.A\F±C\E.

(3)证明VAi,E,F,G四点共面，

*»AiEtA\C\,AiF共面.

选与A7%为在平面ACE上的一组基向量，则存在唯一实数对(为，”，使4>=加痴匕+

hA\Ei

即(一x,a,—a)=4i(—a,a,0)+/2(0,x,-a)

=(—a2i,。41+以2,一以2),

-x=-aX]f

・，・彳a=ak\+以2,

、一。=­ahf

解得.==42=1.于是4片=1而+人为.

11.在空间四边形ABC。中，AB-CD+AC•DB+AD-BC=()

A.-lB.OC.lD.不确定

解析如图，令筋=a,AC=b,AD=c,则筋・Cb+Xt•协+病•病A

=a・(c—b)+b・(0—c)+c*(b—a)/\

-----4D

=ac—ab-\-ba—bc-\-cb—ca=^./

答案B,

12.若｛a,b,c｝是空间的一个基底，且向量p=xa+)力+zc,则(x,y,z)叫向量p在基底｛〃，

b,c｝下的坐标.

已知｛a,b,c｝是空间的一个基底，｛Q+〃，a-byc｝是空间的另一个基底，一向量p在基底

[a,b,c｝下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底｛a+b,a-b,c｝下的坐标是()

A.(4,0,3)B.(3,1,3)

C.(h2,3)D.(2,1,3)

解析设p在基底｛a+5，a—b,c｝下的坐标为x,y,z.则

p=x(a+b)+y(a—力)+zc=(x-\-y)a+(x-y)b+zr,①

因为p在｛a,b,c｝下的坐标为(4,2,3),

「.p=4a+25+3c,②

x+y=4,pc=3,

x-y=2,：.<y=l,

｛z=3,lz=3,

即p在｛a+b,a-b,c｝下的坐标为(3,1,3).

答案B

13.(2017•郑州调研)已知。点为空间直角坐标系的原点，向量殖=[1,2,3),05=(2,1,

2),OP=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动，当3•而取得最小值时，丽的坐标是

解析・・,点。在直线OP上，.••设点。(九A,22),

则QA=(1—2,2—z,3—22),QB=(2—2,1—A,2—22),

、

QA•2^=(1-2)(2-2)+(2-/l)(l-A)4-(3-2A)(2-2A)=6/l2-167l-F10=6U-1j2一|.即当2

=g时，豆•诙取得最小值_|.此时诙=售，

、

答案(金443,38)

二、利用空间向量求夹角

>一、求直线与直线的夹角

两异面直线所成角的求法

⑴定义法：过空间中任一点，分别作两异面直线的平行线，则这两条相交直线所成的锐角或

直角等于两异面直

线所成的角.定义法求解的实质就是将空间中两异面直线所成的角转化为平面三角形的内角

进行求解.

⑵向量法：设异面直线〃的方向向量分别为〃，b,则异面直线Q,5所成角的余弦值等于

|cos(afh)|.

⑴异面直线所成角的求法

从两异面直线上分别取与之共线的两向量小,

1〃1・敢1

如图①’83小|・|改|

例1：在长方体ABCD-ABCQi中，A8=8C=2AA，则直线与B£所成角的余弦值为

【答案】Y

【解析】在长方体—中，AB=BC=2AA],

以短为原点，D4为刀轴，0c为y轴，0A为z轴，建立空间直角坐标系,

设A8=BC=2AA=2,则4(2,0,0),C；(0,2/)，5,(2,2,1),C(0,2,0),

AC,=(-2,2,1),4。=(一2,0,-1).

\ACi-BiC\_3_>/5

设直线4G与BC所成角为氏则8s夕二

lACJIBC「囱•石一丁

直线AC）与B}C所成角的余弦值为日

2、已知直三棱柱ABC-AiBtCi中，ZABC=120°，AB=2fBC=CCi=lf则异面直线ABi

与8G所成角的余弦值为

所以A8i=(0,-2,1),BG=俘，-1,1)

0X乎+(-2)。(-9+(X1

„.ABi•BC\VTo

所以〈

cosABi,BCi)=-------------51

\ABiWBCil4。+(-2)2+rx

所以异面直线与BG所成角的余弦值为坐2

14.如图所示，已知空间四边形48co的每条边和对角线长都等于1,点E,F,

G分别是A3,A。，CO的中点，计算:

⑴曲•法；（2）EG的长;

（3）异面直线AG与CE所成用的余弦值.

解设篇=a,AC=b,AD=c.

则|。|=|)|=|c|=1,〈a,b)=(b,c)=〈c,a}=60°,

⑴酝=；防=$一%，BA=~afDC=b-Cy

EF*旗=(gc-・(-a)=^a2—^a-c=^

(2)EG=EB+BC+CG=1a+b—a一/一于

=一呼1+.于1,+.呼1，

|的|2=102+/2+*一夕山+段办.。—£c・a=£,

则|两=坐

(3)AG=1zi+1c,CE=C4+AE=-/>+|a,

/方,击、AG•CE2

cos<AG,CE)--------——彳，

\AG\\CE]

由于异面直线所成角的范围是b，y,

2

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为生

A二、求直线与平面的夹角

向量法求直线和平面所成的角

设0为直线/与平面a所成的角，°为直线/的方向向量V与平面a的法向量〃之间的夹角,

则有°=]-0（如图1）或0=1+。（如图2）,所以有sin^=|cos^|=|cos<v,n）l=Rj2特别地，

户=0时,夕=，，Z±a;9=，时,。=0,Zua或/〃a.

图1

⑵线面角的求法

设〃是平面a的法向量，油是直线/的方向向量，如图②，则直线/与平面。所成的角满

|力・/7

足sin0=

|加・|人

例2:正三棱柱A8C-44G的侧棱与底面边长相等，则AG与平面8片GC的夹角的余弦值为

【答案】乎

4

【解析】设AB=BBi=l,以8为原点，建立空间直角坐标系坐标系如图,

则£(0,1,1),A,AC=

伴252。1tI*」

又平面BB©C的一个法向量w=(1,0,0),设AG与平面BB©C的夹角为。,

IAC；

则sin0=|cos<n,AC}>|=

4

故cos0-A/1-sin23=

4

2、(2018•高考全国卷I)如图，四边形A8CD为正方形，E,尸分别为

AO,3C的中点，以为折痕把△D/C折起，使点C到达点尸的位

置，且PPJLBR

(1)证明：PEF±Y®ABFD；

⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

【解】(1)证明：由已知可得，BFLPF,BF1.EF,所以3凡L平面PEF.

z

又3尸u平面ABFD,\p

所以平面PE7LL平面43户D.「

(2)作尸""LE凡垂足为”.由⑴得，PH_L平面"尸。.彳篇％---y

AXB

-A-►%

以"为坐标原点，“尸的方向为y轴正方向，酒川为单位长，建立如

图所示的空间直角坐标系H-xyz.

由(1)可得，。及1_尸艮又。尸=2,DE=1,所以又PF=1,EF=2t故PEJLPF.可得

尸”=乎,

EH=r

则”(0,0,0),电，0,从一L—0),OP=(1,1,"P=b，0,坐j为平面

ABFD的法向量.

设OP与平面48五。所成角为。，则sin0=

所以&尸与平面ABFD所成角的正弦值为坐.

>三、求平面与平面的夹角

向量法求二面角

设二面角“・//的平面角为仅OWOWTO,小，肛分别为平面”，少的法向量，向量〃1,小的夹

角为①，则有。+◎="(如图1)或0=以如图2),其中cos/=]7MTi.

图1图2

①如图①，AB.C0分别是二面角。-/一4的两个面内与/垂直的异面直线，则二面角的平面角

AB•CD

0满足cos0=

②②设川，〃2分别是二面角的两个面处。的法向量，在图②中二面角的平面角〃满足

n.•n2

③在图③中二面角a-/-。的平面角。满足cos。=

I讣同

2求直线与平面所成角的方法

(1)先作出该角，再利用求角余弦公式来求。

(2)改求直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角，如图8—194所示，设直角/的方向向量为乙，

平面c的法向量为〃，直线/和平面a所成角为。，则或=匹，因为9的取值范围

22

是［0白，所以sin6=|8SV〃>|=用㈣©

2|/|11«1

例8.56如图8—195所示，四棱锥S/8CD中，底面48co为平行四边形，侧面SBCJ■底面48CD,已

知N4BC=45°,8c=2及，AB=2,SA=SB=5求直线S。与平面面S48所成角的正弦值。

变式1如图8-197所示，在四棱锥P-48CD中，?。_1_底面488,

底面48CD为正方形，PD=DC,E,F分别是A8,P8的中点，求D8与平面DEF所成角的正弦值。

图8-197

变式2如图8-198所示，在四棱锥P-48CD中，底面48CD是矩形，以J_底面A8CD,PA=AD=4,AB=2,以AC

的中点。为球心，以AC为直径的球面交PD于点M,求直线C。与平面4cM所成角的正弦值。

图8-198

变式3,如图8-199所示，四棱锥S-ABCD中，AB//CD,BC1CD,侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2,CD=SD=1.

求AB与平面SBC所成角的正弦值

图8-199

3求平面与平面所成角的方法

（1）在平面a内，aLl,在平面B内，bl!（/是交线/的方向向量），其方向如图8-200所示，则二

面角a-/-P的平面角的余弦值为巴2。

\a\b\

⑵设小，叼是二面角a-/-B的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内恻，另一个指向二面角的外侧,

则二面角a-1-B的余弦值为"的

1%1的1

例8.57如图8-201所示，已知四棱锥P-48CD,底面ABCD为菱形,%底面ABCD,%=48=2,ZABC=60°,

£F分别为8C,PC的中点，求二面角E-4F-C的余弦值。

图8-201图8-202

变式1如图8203所示，己知四极锥PABCD,PB±ADf侧面PAD是边长等于2的正三角形，底面ABCD

为棱形，侧面外。与底面48CD所成二面角为120°,求平面APB与平面CP8所成二面角的余弦值。

图8-203

变式2如图8-204所示，四棱锥S/8CD中，5。_L底面488,AB//DC,AD1DC,AB=AD=1,DC=SD=2,

E为棱S8上一点，平面EDC_L平面S8C,求二面角4DE-C的大小。

图8-204

变式3如图8-205所示，直三棱柱ABC-ASG中，N4C8=90°,AC=1,CB=叵

,侧棱e=1,侧面A4|818的两条对角线的交点为D,用弓的中点为M，求平面用8。与平面CDM所成二

面角的正弦值。

图8-205

例3:正方体—中，二面角4一3。一片的大小是

__._2兀

【答案】—

【解析】设正方体ABC。-AqGA的棱长为1,以。为原点建立空间直角坐标系。一孙Z,

41,0,0),8(1,1,0),D,(0,0,1),4(1/,1),BA=(O,-1,O),,BBX=(0,0,1),

BA-n=-y=0

设平面43。的法向量〃=(%,)，,z),贝1卜

RR-n=-x—y+z=0

取x=l,得〃=(1,0,1),

BB[mc=0

设平面B/R的法向量m=(a,),c),贝i卜

BD、-m

取4=1,得〃2=(10),

设二面角A—82一4的平面角为。，cos^=-1cos<m,n>\=--,

••・二面角A—8R一用的大小为吃,

2、(2018•沈阳教学质量监测(一))如图，在四棱锥中，平面R1O_L平面A3CD,底面

ABCD是正方形,且P4=PD,ZAPD=90°.

(1)证明：平面R1B_L平面尸CD；

⑵(一题多解)求二面角A•PB-C的余弦值.

解：取AO的中点为0,8C的中点为Q,连接尸。，0Q

易得PO_L底面ABC。，OQA.AD,

以。为原点，OA,0Q,。〃的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如

图，不妨设正方形A3CO的边长为2,

可得A(L0,0),5(1,2,0),C(-l,2,0),P(0,0,1).

设平面AM的法向量为〃i=(xi,以，zi),

而Rl=(l,0,-1),PB=(lf2,-1).

ni•PA=Qfxi-zi=0,

Ai+2yi-zi=0,

、〃i•尸3=0,

则8=0,取xi=L得川=(L0,1)为平面AP3的一个法向量.

设平面3cp的法向量为〃2=(必，力，Z2)，

而尸6=(1,2,-1),PC=(-1,2,-1),

H2•尸5=0,(X2+2J2—Z2=0,

则3

f1一刈+2力—Z2=0,

Jl2•PC=0,

则X2=0,取x=l,得〃2=(0,1,2)为平面8cp的一个法向量.

•〃21X0+0X1+1X2__2__迎

所以COS51,〃2〉-

|ni|•\n2\~yJlXyfs一画一5

由图易知二面角A・P3・C为钝角，

故一面角A.PB.C的余弦值为一手.

3、(2018•高考全国卷H)如图，在三棱锥尸中，AB=BC=2小,PA

=PB=PC=AC=4f。为AC的中点.

(1)证明：PO_L平面ABC；

⑵若点M在棱BC上，且二面角M.RVC为30°,求尸C与平面E4M所

成角的正弦值.

解：(2)如图，以。为坐标原点，。/5的方向为x轴正方向，建立空间直

角坐标系。一孙z.

由已知得。(0,0,0),5(2,0,0),4(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,

25AP=(0,2,2回取平面/4C的一个法向量。8=(2,0,0).

设M(a,2-af0)(0VGW2),则AM=(a,4~a,0).

设平面P4M的法向量为〃=(x,j,z).

由A尸•〃=(),AM・〃=0得

2y+2bz=0,厂r

1i.、八可取〃=(小(a—4)，y[3a-a)

ax-r(4—。)j=0,9

/、2A/3(a-4),.、S

所以cos〈03,n)=/V/、.由已知可得|cos(OB,〃〉|=4~,

2\3(a—4)T~3a~十a~L

所以;hJ呼X2上2=乎，解得“=一4(舍去)，a=1,

2弋3(。-4)2+3a2+a223

所以〃=(—单，唾，一?.

V00。,

又PC=(O,2,一2小),所以cos(PC,n)=乎.

所以PC与平面所成角的正弦值为半.

一、选择题

1.(2016・长沙模拟)在正方体4B1CQ-ABC。中，AC与办。所成的角的大小为()

HJTJT

A不

TB.彳C.D-5"

解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1,则A(0,0,

0),0(1,1,0),B1(1,0,1),。(0,1,0).

・,•危=(1,1,0),助=(—1,1,-1),

VAC-1X(-1)4-1XI+0X(-1)=0,

9

..AC-LBiDf

与BiO所成的角为仁•.

答案D

2.(2017•郑州调研)在正方体ABCD-A\B\C\D\中,BBy与平面AC"所成角的正弦值为()

A坐B坐

解析设正方体的棱长为1,以。为坐标原点，OA,DC,所在直线分

别为x轴、)，轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(l,1,0),Bi(l,

1,1),41,0,0),C(0,1,0),Di(0,0,1),

所以防1=(0,0,1),AC=(-1,1,0),A5|=(-1,0,1).

令平面ACD1的法向量为〃=a，y,z),则〃•危=—x+y=0,小4万=—x+z=0,令x=l,

可得w=(l,1,1),

1_二近

所以sin0—|cos〈〃，BB\}|=

V3X1-3，

答案B

3.在正方体A8CO—中，点E为区囱的中点，则平面4助与平面ABCO所成的锐

二面角的余弦值为（）

B.|

A2c坐D.等

解析以A为原点建立如图所示的空间直