2021版数学必修 第一册人教A版第四章指数函数与对数函数讲义

Chapter4

第四章指数函数与对数函数

4.1指数

4.1.1〃次方根与分数指数导

【学习目标】1.理解〃次方根、〃次根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简、求值.3.学会

根式与分数指数鼎之间的相互转化.

知识梳理梳理教材夯实基础

知识点一〃次方根、〃次根式

1.。的〃次方根的定义

一般地，如果那么x叫做a的〃次方根，其中〃>1,且〃WN”.

2.。的〃次方根的表示

〃的奇偶性。的〃次方根的表示符号Q的取值范围

〃为奇数赤

〃为偶数[0,+8)

3.根式

式子缶叫做根式，这里〃叫做根指数,〃叫做被开方数.

知识点二根式的性质

I.赤=Q（〃£N*,且〃>1）.

2.（缶）”=生伍20,〃£N',且〃>1）.

3.后=如为大于1的奇数）.

4.亚=间=「（〃为大于1的偶数）.

知识点三分数指数鬲的意义

正分数指数幕HL”

规定：a",〃，"EN’，且〃>1）

上11

分数指数辕规定：a"---------（。>0,〃?，,且〃>1）

负分数指数累HL>>_

a"

0的分数指数累0的正分数指数幕等于的负分数指数幕无意义

知识点四有理数指数幕的运算性质

整数指数幕的运算性质，可以推广到有理数指数累，即：

(\)ara!=ar+\a>0,r,s^Q)；

(2)(ar)s=ars(a>0,r,s£Q)：

(3)W=dW>0,b>0,r€Q).

「t思考辨析判断正误■-----------------------1

1.当〃£N*时，6p5)”都有意义.(X)

63

2.(-2)4=(-2)i.(X)

£

3.a2a2=«.(X)

tn

4.分数指数寐可以理解为々个。相乘.(X)

|题型探究------------------启迪思维探究重点

一、〃次方根的概念

例1(1)若81的平方根为小一8的立方根为4则。+力=.

答案7或一11

解析81的平方根为一9或9,

即a=~9或9,

—8的立方根为一2,即6=—2,

-11或7.

(2)若笈与有意义，求实数x的取值范围.

解三有意义，

.“一220,

・・・x22,

即X的取值范围是［2,+8）.

反思感悟（1）方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一

个.

（2）符号：根式力的符号由根指数日的奇偶性及被开方数。的符号共同确定.

①当〃为偶数，且白20时，赤为非负实数；

②当〃为奇数时，出的符号与。的符号一致.

跟踪训练1（1）已知/=8,则X等于（）

答案B

7

解析因为7为奇数，8的7次方根只有一个乖.

（2）若（2x+5有意义,则x的取值范围是；

5_____

若、2t+5有意义,则x的取值范围是.

答案［一|,+8）R

二、利用根式的性质化简或求值

例2化简：

（1^/（3—九）4；

（2而三九孙

（3）（后^^+血-4+而一犷

考点根式的化简

题点根据根式的意义进行化简

4______

解（1。（3—兀）4=|3—兀|=一一3.

（2）Va>b,.*.yl（a—b）2=\a—b\=a-b.

（3）由题意知a~120,即1.原式=。一1+|1—。|+1~a=a—1+〃-1+1~a=a—1.

反思感悟（1）〃为奇数时（缶>=如=出。为任意实数.

（2）〃为偶数时，。20,（缶）”才有意义，且（十）"=〃；

而a为任意实数时后均有意义，且亚=|a|.

跟踪训练2化简:

7_______

⑴址2)7；

(2R(3a—3)4(aWl)；

(3际+((I-)，.

考点根式的化简

题点根据根式的意义进行化简

解(1康-2)7=-2.

4_______

(2)・・ZW1,・・・叱34-3)4=|3〃一3|=3|4-1|=3-3%

3---------fh忘1,

⑶而十、(1—)4=a+|l—|=。।.

[2a—1,a>\.

三、根式与分数指数毫的互化

例3(1)下列根式与分数指数事的互化正确的是()

£

A.—y[x=(--V)2(x>0)

B*7P=6。<0)

c.x4=y(%>())

_13

D.x3=-yjx(x^O)

答案C

2

解析一《=一/(x>0)：

(IyI2)6=-y3(y<o)；

(2)将下列根式化成分数指数辕的形式(其中aX),b>0).

34

•/；

@(y[a)2-yfaP.

34LIZ.

解&y[ay[a=a3a4=a12;

,112

②原式=a'•a"•a"=«";

(1)2।373

③原式=cP•/•凉=瓜户.

反思感悟根式与分数指数系的互化

(1)根指数化为分数指数的分母，极开方数(式)的指数化为分数指数的分子.

(2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数解的形式，然后利用有理数

指数寐的运算性质解题.

跟踪训练3把下列根式表示为分数指数基的形式，把分数指数累表示为根式的形式：

5

(1)(«—加々[a>by(2>7(X-1);

1-

K-；(4)(a-Z?)7.

解4—

yj(a-b)3

5

(2=U-1)3;

(4)(a-bV

随堂演练基础巩固学以致用

1.已知，^二方=々-6,则()

A.a>bB.a》b

C.a<bD.aWb

答案B

2

解析yl(a—b)=\a—b\=a—bt

所以a-b20,所以°2瓦故选B

2.在①^/(一4户;虱(-4)叫③④如中，〃£N",a£R时各式子有意义的是()

A.①②B.®@

C.①②®®D.®®®

答案B

3.化简干的结果为()

A.—y/aB.—y[—aC.yj—aD.y/a

考点根式与分数指数哥的互化

题点根式化为分数指数基

答案A

解析显然々20.

4・©一1一4，（-2）、+（0°-9-5=.

19

答案T

解析原式=2—4X(—0+1一q

答案yja—\

解析要使原式有意义，则。一1>0.

Na—y,y旺=11_如3_］尸

=（«—1）（67-1）1户=yja—1

口课堂小结>

I.知识清单：

(|)〃次方根的概念、表示及性质.

⑵根式的性质.

(3)根式与分数指数寐的互化.

2.常见误区：

⑴根式中根指数要求心1且〃£N*.

(2)对于赤，当〃为偶数时，〃20.

课时对点练注重双基强化落实

----------------------------------N------------

g基础巩固

1.已知，/°=2,则相等于()

A.,V2B.-'^2C.pD.±'^2

考点〃次方根及根式概念

题点〃次方根及根式概念

答案D

解析V/n10=2,：.m是2的10次方根.

又・・・10是偶数，・・・2的10次方根有两个，且互为相反数.

10

・・・刀=±也.故选口.

_____4_____

2.若2<〃<3,化简*7(2—〃)2+d(3—a)，的结果是()

A.5—2。B.2。-5C.1D.一1

考点根式的化简

题点条件根式的化简

答案C

解析V2<«<3,・・・4-2>0,。一3<0,

________4________

・・・叱2-4)2+\(3-〃)4=|2-3+|3-a

=a-2+3—〃=1.

3.下列各式既符合分数指数基的定义，值又相等的是()

,121

A.(-1)3和(z-1)6B.0-2和02

C.2^和4；D.和-3

答案C

[2|3__2

解析选项A中，(一1户和(-1户均符合分数指数早的定义，但(-1月=尸=-1,(-1)6

=叱-1)2=1,故A不满足题意；

选项B中，0的负指数嘉没有意义，故B不满足题意;

3

选项D中，3虽符合分数指数嘉的定义，但值不相等，故D不满足题意;

1141

选项C中，22=啦，44=e=22=啦，满足题意.

故选C.

2

（分-（i-o.5-2）m

4J的值为（）

1cl^41

A.-3B3C3D3

答案D

原式=1一（1-22）1^）2=1_（_3）＞3=曰故选D.

解析

5.设。＞0,将表示成分数指数基的形式，其结果是（）

A.a

答案C

解析

6.若xWO,则|x|—\/P+

答案1

解析•.”"（），・••原式=国一国+8=1.

7.若山2+2^+1+.），+6），+9=0,则（W0,9}v=

答案一1

解析因为YW+Zr+l+7）2+6>+9=0,

所以4。+1）2+弋0+3）2=仅+”+。+3|=0,

所以x=—1,y=-3.

所以（f39＞、=［（_］严19［3=（一］尸=一］

8.、^—#|+讨毛的值为.

3

答案-

2

13

+--

解析原式22

9.计算下列各式的值.

(1；(2)2^3X^3

（3>^1一寸鸣+"125「；

丽（一8）3（小-2）r（2f）3.

考点根式的化简

题点根据根式的意义进行化尚

74

--

3-3

（4）原式=-8+|>/§-2|一（2一小）

=-8+2—小一2+小

=-8.

g综合运用

4______

11.已知二次函数式x）=a?+bx+0.1的图象如图所示，则一份4的值为（）

A.B.—(a+b)

C.a-bD.b-a

答案D

解析由题图知犬-l)=a—力+0.I<0,

.*.a-b<0.

12.若代数式7法一1+产G有意义,则。4f-4x+1+2「(X-2)4=

答案3

解析,；72x—l+、2—x有意义,

2%—120,

即(2

-NO,[a

_________4_____

一4x+1+2"-2)4

______4_____

元=Tp+2"—2>

=|2x—l|+2|x-2|=2x—1+2(2-/)=3.

13•计算：qqi-yi).(3，5+：、、J小)4一(小>

",他fl。

答案4

I—\f2lQ—4

解析原式=寸-,(3啦+3)+一厂

=(1一的(1+也)+5=4.

14.若业―1+45+产0,则x=_,yoi9+产02=

答案12

解析依题意有得x=l尸T，

x+y=0,

Ax20194.y2020=2

g拓广探究

15.设兀0=/^—4,若0<aWl,则fG+9=—■

考点根式的化简

题点条件根式的化简

答案沙

解析『十/-2

17i\"1

12=

因为OvaWl,所以

故,8汜一•

且a>Z>0,求舞*的值.

16.已知a,b是方程.F—6x+4=0的两根,

解因为a,b是方程f—6x+4=0的两根,

a+b=6,

所以

a6=4,

因为醇轩黑勰

6-2^421

=6+2皿=m=5'

所以

4.1.2无理数指数幕及其运算性质

【学习目标】1.掌握用有理数指数界的运算性质化简求值.2.了解无理数指数鼎的意义.

知识梳理梳理教材夯实基础

■■■■■■■■■■■■■■--------------------------\-------

知识点一无理数指数幕

一般地，无理数指数塞43>0,。为无理数)是一个确定的实数」有理数指数暴的运算性质同

样适用于无理数指数耗.

知识点二实数指数幕的运算性质

1.arat=ar+x(aX),r,$£R).

srs

2.((f}=a(d>Qtr,s£R).

3.(ahY=arbr(a>0,b>0,r€R).

预习小测自我检验

1.计算(—&)5=.

答案也

2.下列等式一定成立的是.(填序号)

1>5।।

①/a2=a;②a2a2=0；

2ii

③(油2=«9；④a*+凉=a^.

答案④

3.若100，=25,则1(尸=.

答案5

解析・・・100'=25,，(10炉=52,

AKr=5,10-x=(lQv)_,=5_|=1.

1

(1V

4.计算：n°+2-2X2-=______.

<4，

答案T

题型探究探究重点素养提升

------------------------------------N----------

一、运用指数募运算公式化简求值

例1计算下列各式(式中字母都是正数)：

⑴(M+图之嗡

⑶监2+64.

a6

解⑴(0.027)久信广一(2犷

=(-x/(X027)24-*^^—'\^^=0.09+1—^=0.09.

0

(J1XT

(2)原式=2^r-22

72

(30*3

=2丁=2万=2夜.

.5

43.a2

(3)原式=----『—+1=1+1=2.

齐

反思感悟一般地，进行指数球运算时，可将系数、同类字母归在一足，分别计算；化负指

数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简

的目的.

跟踪训练1计算下列各式的值(式中字母都是正数):

⑴仁)，(一0+80》X/+(%x小)6；

3_6

(2)2y[a^-r(4y[a-b)-3y[P.

(-i)x~/八己-I--

解(1)原式=8k3；xl+(23)4x24+23x32

I7

3+1

=2+2丁？+22X33=112.

2/3\

⑵原式=2庐+4〃丽•3层

Ij

=-a36b6.

31-

-a2b3.

2

二、分数指数零运算的综合应用

例2(1)已知〃"=4,/=3,求而不的值;

(2)已知=3,求下列各式的值.

①d②片+尸；③出+。2.

_(4丫_2

,J-夕

」/\_」丫

⑵①Va1+a~i=3,・•・/+G=9,

\/

即a+2+a1=9,*.a~\~a1=7.

②・・7+入=7,

・・・3+晨|)2=49,即/+2+/2=49.

:.a2+a-2=47.

3_3f1Yf

③。2+a2=a2+a2

\)\

(1

=+a(a-l+a-1)

=3X(7—1)=18.

延伸探究

在本例(2)的条件下，求^一。一2的值.

解设y二合一。一2,两边平方，

得y2=fl4+67-4—2=(fl2+t7-2)2—4=472—4=2205.

所以y=±21小，即〃2-〃一2=±21小.

反思感悟条件求值问题的解法

(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等),

寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法.

(2)利用整体代换法解决分数指数基的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.

11

2-y2

跟踪训练2已知x+y=12,町=9且求一Xj~，的值.

—+

=(x+y)-2⑶/①

x-y

•.X+y=l2,xy=9,②

・•・。一》)2=。+)严一4盯=122-4X9=108.

又Vx<j,x—y=-6>/5.③

将②③代入①，得毕J一/=—正.

随堂演练忠础巩固学以致用

1.化简［加工了y的结果为()

A.5B胞C.一小D.-5

答案B

____3「2］?I

解析［就-5)2了=(-5"=52=5/5.

(_2\(_5\

2.计算・(-3a")+4/宜得()

7

333-3

2^2b3

A?C--

222-

答案A

I

-

-4b33

42

析

式

解

原b

2-

3.若1伊=3与，16,=后,则102c=.

答案I

跖=3*

解析102c=(l0v)2：i(y=38

4.设a,0是方程5f+10x+l=0的两个根，则2见2"=,(23/=

答案125

解析由根与系数的关系得a+£=-2,ap=\.

11

则2a3=2a%=2-2=4，(2«/=2^=25.

5.化简[前7前•m"(ZH>0)=.

答案1

nic3nx3

解析原式=m244=w0=]

，课堂小结・

1.知识清单：

(1)有理数指数球的性质.

(2)无理数指数寐的性质.

2.方法归纳：根式的运算可先转化为寐的运算，最后再将结果转化为根式.

3.常见误区：在运用分数指数球的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数,

也不能既含有分母又含有负指数.

课时对点练注重双基强化落实

------------------------------------N------------

g基础巩固

1.下列等式能够成立的是()

A.I〃亍./"（加六小加#0）

B』［(-3)4=(—3)：

4_____3

C.^x3+y3=(x+y/(x20,怜0)

D47^=3，

答案D

解析因为鲁）7=方=〃7仍?7，所以A错；

因为即二斤=7下=3?工（—3）；所以B错;

4（_____13

因为“？+『=，+9）4£。+y）4,所以C错:

因为4诉=强=3%,所以D正确.

(2"")咱2"”

2.计算•（〃£N'）的结果为（)

4〃.82

A$B.2”

C2〃+6

答案D

2方+2.2-2“-121

解析原式=

(22)Z,-(23)2~22tl6

A.3B.6C.4D.15

答案A

解析原式=+(42p

=9-6=3.

4.若〃>0,且"=3,0丫=5,则。2等于（）

A.9+小B.yC.975D.6^5

答案C

解析=（a乎。'=32-5'=9^/5.

2_12.

5.设。2—。5=），则、一等于（）

A.m2—2B.2—nr

C.加+2D.nr

考点有理数指数鼎的运算性质

题点附加条件的幕的求值

答案C

\__i_（\_1\2

解析将。2一。^=用两边平方，得c^-a1=病,

即a—2+°」=，/,所以°+〃-1=^：2+2,

即。+5=〃尸+2,所以呼^=m2+2.

6.设a,4为方程2d+3x+l=0的两个根，

答案8

解析由根与系数的关系得a+%一摄

所以Q>+"=Q）G=Q-2）彳=23=8.

/•ft间---1————.

W2

答案1

J_攵

2垃.222夜

解析原式=—y—2=—V方2=F2y2=L

8T（23）T

8.a2=b4=m(a>0,b>0),且a+b=6,贝lj〃?=

答案16

解析因为，="=〃?3>0,比>0),

所以°=尻

由a+b=6得6=0,

解得b=2或b=—3(舍去).

所以m=24=16.

9.化简下列各式（式中字母都是正数）:

/2_3\8

(1)〃/”；

\7

1_!_11J.1

(2)(-3a^b))(4户片)+(-2。，网;

(3)(x4+y4)(x4-y4)(m+U).

<i_2yi_3o

解(1)加九，=(加4)8(〃*)8=〃户〃-3=张

\/

_L!1_12」

(2)原式=[_3x4+(—2)]•々丁5二厂丁丁3=6〃%。=6.

(3)原式=[(3)2—()，彳)2](9+$)

=(一一户乂山+正)

=3-6(而+6

=(/)2-附2

=Ly.

10.计算：

(2)0.008]々-[3X1X[s1-025+—10X0.027r

考点根式与分数指数耗的互化

题点根式与分数指数事的四则混合运算

1£_21II2I

解⑴原式=7Xy-3X3,X2-6X3飞+(3X=3,-6X37+y

l_2

=2X38-2X3X3§

1I

=2X3?-2X33=0.

(2)原式=[(得)4「一(3X1尸X-10X(0.33户

=0一」90+犷T0X0.3=号-93=0.

力综合运用

11.若10卅=5,10〃=2,则2aI〃等于（）

A.50B.12C.20D.1

答案D

解析V10（r=5,/.I02fl=5,

.・.]0〃+b=]02Mo匕=5X2=10,

・・・2a+b=l,故选D.

12.若a>l,b>0,0b+尸=2\区则等于（）

A.#B.2或一2

C.-2D.2

答案D

解析a>I,6>0,・••小>1,・•・〃-"=+,

W£（0,l）,・・・/—d>0,

・・—啦，.,•内+/劝=6,

（£?一〃一"）2=q劝+a一劝-2=4,

二小一a"=2.故选D.

13.若2，=8尸I9V=3=9,则1+,，=,

答案27

解析V2x=8y，,=（23>v，l=23y，3,

・・・x=3），+3,①

又・.・夕=3-9=（32旷=32）',

：.x-9=2yt②

x=21,

由①②得

了=6,

・・・x+y=27.

14.化简空口口严号

（〃>0,b>0）的值为.

考点根式与分数指数累的互化

题点根式与分数指数幕的乘除运算

I5

答案a6b6

2

2\_(_1Y3

h4标b2axb2

解析原式=—;―——

1

a2-b3、b-

--：。2”

a2b3I

2

2+1口―2Y3

=a32b23-ra%2

72

=a部Hab)

^-il-i

=a6b6

15

=a^b%.

口拓广探究

15.设。=^55，b=yj~l2,c=^6,则a,b,c的大小关系是(

A.a>b>cB.h>c>a

C.b>a>cD.a<b<c

答案D

31

初拓a^24(23X3)；2坂3%

解析b~3L~21

y[\2(22X3户2Jx35

321

2丁§2m©A

""「©<L

3343,2

又a>0,b>0,:.a<b,

3131

b返(22X3)323X33

c#111

(2X3)222x32

2,111

23226(2V

-11-1-.<1，

3H36⑼

又b>0,c>0,:・b<c,

综上有av/Kc,故选D.

16.已知。=3,求----j-+—二HJ--的值.

1111十。

1+出1一相1+。2

\-a21+M

4.2指数函数

4.2.1指数函数的概念

【学习目标】1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性2了解指数增长型和指

数衰减型在实际问题中的应用.

知识梳理梳理教材夯实基础

--------\--------

知识点一指数函数的定义

一般地，函数曰3>0,且〃K1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

思考为什么底数应满足。>0且

答案①当时，"可能无意义：②当。>0时，x可以取任何实数；③当。=1时，〃=1

（x^R）,无研究价值.因此规定y=a*中a>0,且

知识点二两类指数模型

1.y=ka\k>O）t当年L时为指数增长型函数模型.

2.y=ka\k>^当①L时为指数衰减型函数模型.

■思考辨析判断正误二

1.y=V（x>0）是指数函数.（X）

2.丁="+2（。>0且是指数函数.（x）

3.y=G｝是指数衰减型函数模型.（V）

4.若兀0="为指数函数，则。>L（X）

题型探究探究重点素养提升

--------------------------N-------

一、指数函数的概念

例1（1）下列函数中是指数函数的是.（填序号）

①y=2.（啦）x；②y=2j③尸（。；④），=3嗔;⑤），=/.

（2）若函数y=（〃2—3a+3>/是指数函数，则实数a=.

答案⑴③（2）2

解析（1）①中指数式（也）》的系数不为1,故不是指数函数；②中指数位置不是x,

故不是指数函数；④中指数不是此故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定

的值，故不是指数函数，故填③.

*-3a+3=1,

(2)由)，一(〃一3a+3)"是指数函物，可得解得a—2.

［。＞0且aWl,

反思感悟判断一个函数是否为指数函数的方法

(1)底数的值是否符合要求；

⑵炉前的系数是否为I：

(3)指数是否符合要求.

跟踪训练1(1)若函数y=/(2-a》是指数函数，则()

A.a=\或一1B.a=l

C.a=-\D.。＞0且。W1

答案C

解析因为函数丁=。2(2—。尸是指数函数，

2

a=lr

所以，2—。＞0,解得a=-1.

(2)若函数y=(2a—3尸是指数函数，则实数a的取值范围是

答案G，2JU(2,4-oo)

3

2«—3>0,-

解析由题意知L…2

2。一321,

二、求指数函数的解析式、函数值

例2(1)已知函数曲是指数函数，且/(一1)=恶则的=

答案125

解析设凡》="3＞0,且。#1),

a2=—=—=52,

2552

所以。=5,即兀0=5",所以,3)=53=125.

(2)已知函数y=«r),x£R,且40)=3,4^=1,4^=^,—＞g鳖口=；，二求函数y

\zJ、，J、J

=;&)的一个解析式.

解当“增加1时函数值都以3的衰减率衰减，

二函数Ar)为指数衰减型,

又大0)—3,・・・%—3,

・g)=3.®.

反思感悟解决此类问题的关键是观察出函数是指数增长型还是指数衰减型，然后用待定系

数法设出函数解析式，再代入已知条件求解.

跟踪训练2已知函数/)="+双aX),且〃W1)经过点(一1,5),(0,4),则人一2)的值为

答案7

a'+b=5,

解析由已知得解得

a°+b=4,

6=3,

所以贝X)=Q>+3,

所以火—2)=6)一2+3=4+3=7.

三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用

例3甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%,乙城

市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题：

(I)写出两城市的人口总数)，(万人)与年份x(年)的函数关系式；

(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；

(3)对两城市人口增长情况作出分析.

参考数据：(1+1.2%)1°*1.127,a+l.Z%)20*13%(1+1.2%严合1.430.

解(1)1年后甲城市人口总数为

y千=1OO+1OOX1.2%=100X(1+1.2%)；

2年后甲城市人口总数为

y100X(1+1.2%)+100X(H-1.2%)X1.2%=100X(1+1.2%)2；

3年后甲城市人口总数为

y甲=100X(1+1.2%户；

••••

9

工年后甲城市人口总数为y甲=100X(1+1.2%上

工年后乙城市人口总数为yz.—1004-1.3x.

(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.

10年后20年后30年后

甲112.7126.9143.0

乙113126139

（3）甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人

口增长缓慢，呈线性增长.从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.

反思感悟解决有关增长率问题的关键和措施

（1）解决这类问题的关键是理解增长（衰减）率的意义：增长（衰减）率是所研究的对象在“单位时

间”内比它在“前单位时间”内的增长（衰减）率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较.

（2）具体分析问题时，应严格计算并写出前3〜4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规

律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可.

（3）在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型

表示，通常可以表示为丁=%（1+〃巴其中N为基础数，〃为增长率，x为时间）的账式.

跟踪训练3中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到2020年全面建成小康

社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会提出了全面建

成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性,包容性、可持续性的

基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水

平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高.

设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长〃％.下面给出了依据“到2020年

城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于〃的四个关系式：

①（l+p%）X10=2；

②（1+〃％严=2；

③10（I+P%）=2；

@l+10Xp%=2.

其中正确的是（）

A.①R.②C.③D.④

答案B

解析已知从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.

则由到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番，可得：（1+p%严=2；

正确的关系式为②.

随堂演练基础巩固学以致用

1.下列函数：

@y=2-3x；©y=3x+l；③y=3"；④y=/.

其中，指数函数的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析①中，3K的系数是2,故①不是指数函数；

②中，y=3'”的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数函数；

③中，3K的系数是1,指数是自变量.*且只有3、一项，故③是指数函数;

④中，y=N中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.

所以只有③是指数函数.故选B.

2.若函数），=（标一加一1）•”是指数函数，则机等于（）

A.—1或2B.—1

C.2D.1

答案C

n^—m—1=1,

解析依题意，有

〃7>0且mW1,

解得帆=2（舍机=-1）,故选C.

3.如表给出函数值），随自变量入变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（）

X-2-10123

11

41664

y1641

A.一次函数模型B.二次函数模型

C.指数函数模型D.幕函数模型

答案C

解析观察数据可得y=4'.

4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂

工次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是（）

A.y=2xB.y=2x~1

C.y=yD.y=2x+l

答案D

解析分裂一次后由2个变成2X2=2?（个），分裂两次后变成4X2=23（个），…，分裂x次后

变成丁=2产1（个）.

5.凡r）为指数函数，若1工）过点（-2,4）,则欢—1））=.

答案i

解析设人工）=炉3>0且〃W1）,

所以八-2）=4,2=%解得。

所以汽幻=6）,

所以1-D=G）r=2,

所以欢—1））=式2）=（｝）2=；

-课堂小结・

1.知识清单：

（1）指数函数的定义.

（2）指数增长型和指数衰减型函数模型.

2.方法归纳：待定系数法.

3.常见误区：易忽视底数a的限制条件：。＞0且aWL

课时对点练注重双基强化落实

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▽基础巩固

1.下列函数中，指数函数的个数为（）

①尸0I;

®y=a\a＞Of且”W1）；

③y=1

④y=（护-1.

A.0B.IC.3D.4

答案B

解析由指数函数的定义可判定，只有②正确.

2.若函数外）=（%—3）加是指数函数，则的值为（）

A.2B.-2C.-2y[2D.2啦

答案D

解析因为函数儿0是指数函数，

所以5—3=1,所以。=8,

所以外）=8],/0=8，=2应

3.下列函数关系中，可以看作是指数型函数y=kf（2£R,加＞0且。工1）的模型的是（）

A.竖直向上发射的信号弹.，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系（不

计空气阻力）

B.我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系

C.如果某人，s内骑车行进了1km,那么此人骑车的平均速度。与时间，的函数关系

D.信件的邮资与其重量间的函数关系

答案B

解析A中的函数模型是二次函数；

B中的函数模型是指数型函数；

C中的函数模型是反比例函数；

D中的函数模型是一次函数.故选B.

4.据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按

此规律，设2019年的湖水量为m,从2019年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为（）

X

A.y=0.950

X

B.

X

C.y=0.9有机

D.y=（l-0.i50v>

答案C

解析方法一设每年的衰减率为q%,

则（q%严=0.9,

I

所以夕%=0.9石，

X

所以X年后的湖水量y=0.9而m.

方法二设每年的衰减率为g%,

1

则（1一9％）50—0.9,所以夕%—1一0.9而，

!x

所以（1—09°）『=0.950m.

5.下列函数图象中，有可能表示指数函数的是（）

答案C

解析A为一次函数；B为反比例函数；D为二次函数；选项C的图象呈指数衰减，是指数

衰减型函数模型，故选C.

2

6.已知函数人0=/37+3（。>0且。#1）,若y（l）=4,则/一1）=.

答案0

2

解析由贝1)=4得。=3.把工=一1代入人工)=#二7+3得到贝-1)=0.

7.若函数兀0=3?—2a+2)S+l)*是指数函数，贝.

答案1

力2——+2=1,

解析由指数函数的定义得<〃+1>0,解得。=1.

.〃+1卢1,

8.已知某种放射性物质经过100年剩余质量是原来质量的95.76%,设质量为1的这种物质,

经过x年后剩余质量为y,则居y之间的关系式是.

X

答案y=0.9576丽

解析设质量为1的物质1年后剩余质量为m

则小=0.9576.

1

所以〃=0.9576同，

所以y=〃=0.9576100.

5

-

9.已知函数/U)=2，+2"+〃,2b的值.

r5

二

-

由

意得

解

题<2

222°+2天

17=2=

k4

2-]=20十方

即+

2-2=2^bf

a-\-b=—\,1.

所以解得

2。+6=—2,b=0.

10.有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%,如果不

砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%,现有两种砍伐方案：

甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐.

乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次.

请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？

解设该种树的最初栽植量为Q,甲方案在10年后的木材产量为