2021-2022学年新教材人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用课时练习题含答案解析

第六章平面向量及其应用练习题

6.1平面向星.的概念......................................................1

6.2平面向量的运算......................................................6

1、向量的加法运算...................................................6

2、向量的减法运算..................................................10

3、向量的数乘运算..................................................14

4、向量的数量积....................................................18

6.3平面向量基本定理及坐标表示.........................................23

1、平面向量基本定理................................................23

2、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量加、减运算的坐标表示….…34

3、平面向量数乘运算的坐标表示.....................................37

4、平面向量数量积的坐标表示.......................................48

6.4平面向量的应用.....................................................61

1、平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例..................61

2、余弦定理........................................................74

3、正弦定理........................................................85

4、余弦定理、正弦定理应用举例一一距离问题.........................97

5、余弦定理、正弦定理应用举例一一高度、角度问题..................108

6.1平面向量的概念

基础练习

一、选择题（每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得3

分,有选错的得0分）

L下列说法中，正确的个数是1）

①时间、摩擦力、重力都是向量；

②向量的模是一个正实数；

③相等向量一定是平行向量；

④向量a与b不共线,则a与b都是非零向量.

A.1B.2C.3D.4

【解析】选B.对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错

误；对于②,零向量的模为0,故②错误;③正确，相等向量的方向相同，因此一定

是平行向量;④显然正确.

2.在四边形ABCD中，羸〃CD,|AB|^|CD|,则四边形ABCD是（）

A.梯形B.平行四边形

C.矩形D.正方形

【解析】选A.因为崩〃无，所以AB〃CD.

又因为|AB|丰|而所以AB=#CD.

所以四边形ABCD是梯形.

3.（多选题）设0是等边三角形ABC的外心,则OA,而，氏是（）

A.有相同起点的向量B.平行向量

C.相等向量D.模相等的向量

【解析】选AD.因为0是等边三角形ABC的外心，起点都是0,外心为各边垂直平

分线的交点，

所以|而|=|55|=|反I.

4.数轴上点A,B分别对应T,2,则向量族的长度是（）

A.-1B.2C.1D.3

【解析】选D.|族|=2-（-1）=3.

5.己知在边长为2的菱形ABCD中，NABC=60°,则|前|二（）

A.1B.V3C.2D.2A/3

1

【解析】选D.易知AC±BD,且NABD=30°，设AC与BD交干点0,贝"A0=-AB=l.在

2

RtAABO中，易得|的|=四,则丽|=2|丽|=26.

6.（多选题）有下列说法，其中正确的说法是（）

A.若aWb,则a一定不与b共线

B.若前二反,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点

C.在口ABCD中，一定有XB二反

D.若a=b,b=c,则a=c

【解析】选CD.对于A,两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所

以a与b有共线的可能，故A不正确；对于B,A,B,C,D四点可能在同一条直线上，

故B不正确；对于C,在口ABCD中，AD=|BC|,X5与反平行且方向相同，所以XB二床,

故C正确；

对于D,a=b,则于|二|b|,且a与b方向相同；b=c,则|b|二|c|,且b与c方向相同，

所以a与c方向相同且模相等，故a二c,故D正确.

二、填空题（每小题5分，共10分）

7.如图，已知正方形ABCD的边长为2,0为其中心,则|OA|=.

【解析】因为正方形的对角线长为2a,所以I:

答案:我

【补偿训练】

如果在一个边长为5的正AABC中,一个向量所对应的有向线段为通（其中D在边

BC上运动），则向量而长度的最小值为.

【解析】结合图形进行判断求解（图略），根据题意，在正4ABC中，有向线段AD长

5V3

度最小时,AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正AABC的高，为一.

2

_5V3

答案:---

2

8.已知A,B,C是不共线的三点，向量m与向量赢是平行向量,与反是共线向量,则

【解析】因为A,B,C不共线，所以赢与所不共线.又m与屈，正都共线，所以国二0.

答案：0

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10方米

到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.

⑴作出向量旗BC,CD;

⑵求向量而的模.

【解析】⑴作出向量而丽无，如图所示：

（2）由题意得，

△BCD是直角三角形，其中NBDC=90°,

BC二10方米，CD=10米，所以BD=10米.

△ABD是直角三角形，其中NABD=90°,AB=5米,BD=10米，所以

AD=A/52+102=5\/5（O.

所以|而|二5近米.

【补偿训练】

如图是4X3的矩形（每个小方格的边长都是1）,在起点和终点都在小方格的顶点

处的向量中，与向量赢平行且模为鱼的向量共有几个？与向量赢方向相同且模

为3点的向量共有几个?

D

【解析】(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其

相反向量都和泰平行且模为

因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个.

(2)易知与向量赢方向相同且模为3衣的向量共有2个.

10.如图所示,在四边形ABCD中，AB=DC,N,M分别是AD,BC上的点,且K二荻.

求证:DN=MB.

MB

【证明】因为所以I赢I二|反|且AB〃CD,

所以四边形ABCD是平行四边形，

所以|5Al二且DA〃CB.

同理可得，四边形CNAM是平行四边形，

所以CM=NA,

所以|CM|=|NA|,

所以IMB|=|DN|,

又冰与M后的方向相同，所以苏二而在

6.2平面向量的运算

1、向量的加法运算

一、选择题（每小题5分，共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3

分,有选错的得0分）

1.点0是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,则而+反+而等于（）

A.ABB.BCC.CDD.DA

【解析】选A.因为点0是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则

■■■■■.

AO+OC+CB=AC+CB=AB.

2.如图，四边形ABCD是梯形，AD〃BC,对角线AC与BD相交于点0,则

QA+BC+AB+D6=（）

/L____八D

A.CDB.DCC.DAD.DO

【解析】选B.

【补偿训练】

在矩形ABCD中，|崩|=4,|记二2,则向量崩+通+正的长度等于（）

A.25/5B.4V5

【解析】选B.因为AB+A2AC,

所以入Q+A6+后的长度为正的模的2倍.

又I衣1742+22=2北,

所以向量品+AMM的长度为4A/5.

3.已知P为4ABC所在平面内一点，当PA+而二代成立时，点P位于（）

A.AABC的AB边上B.AABC的BC边上

C.AABC的内部D.AABC的外部

【解析】选D.如图玩,则P在AABC的外部.

A_____________C

P口B

4.在平行四边形ABCD中,0是对角线的交点.下列结论正确的是（）

A.AB=CD,BC=AD

B.AD+OD=DA

C.AO+OD=AC+CD

D.AB+BC+CD=DA

【解析】选C.因为称5B=菽,AC+CD=AD,

所以泡痔石•无.

BC

5.如图,D,E,F分别是AABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式正确的是（）

C

XX

ZDB

A.FD+DA=FA

B.FD+DE+FE=O

C.DE+DA=EB

D.DA+DE=FD

【解析】选A.FD+DA=FA.

FADE+FE=FE+FE=AB,故B错；

DE+DA=DF^BE,故C,D错.

6.（多选题）向量a、b均为非零向量，下列说法中正确的是（）

A.向量a与b反向，且|a|>b，则向量a+b与a的方向相同

B.向量a与b反向，且a|〈b，则向量a+b与a的方向相同

C.向量a与b同向，则向量a+b与a的方向相同

D.向量a与b同向，则向量a+b与b的方向相同

【解析】选ACD.当a与b反句，且|a|<|b|时，向量a+b与b的方向相同，只有B

错误.ACD都正确.

二、填空题（每小题5分，共10分）

7.在菱形ABCD中，NDAB=60°/羸|=1,则|加+56|=________.

【解析】在菱形ABCD中，连接BD,

因为NDAB=60°，所以ABAD为等边三角形，

又因为|赢|=1,所以|BD|=1,

所以|M+而|二|BD|=1.

答案：1

【补偿训练】

若M为4ABC的重心,则下列各向量中与赢共线的是（）

A.AB+BC+ACB.AW+MB+BC

C.AM+BM+CMD.3AM+AC

【解析】选C.由三角形重心性质得欣+8立+。正0.

8.己知平行四边形ABCD,设赢+醇无+5X=a,且b是一非零向量,给出下列结论：

①^〃b;②a+b=a;③a+b=b;④a+b|<|a|+1b.

其中正确的是.

【解析】因为在平行四边形ABCD中，AB+CD=0,反+5人=0,所以a为零向量，因为

零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③

正确，②④错误.

答案：①③

【补偿训练】

当非零向量a,b满足_____时,a+b平分以a与b为邻边的平行四边形的

内角.

【解析】当|a|=|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量

a+b平分此菱形的内角.

答案：a|=|b

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.化简：（1）BC+AB;（2）DB+CD4-BC;（3）AB+DF+CD+BC+FA.

【角箪析］(1)BC1-AB=AB+BC=AC.

(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=O.

10.如图，己知D,E,F分别为aABC的三边BC,AC,AB的中点.

求证：AD+BE+CF=0.

【证明】由题意知：丽=狂+丽，前=丽+无，济US+BH

由平面几何可知，EF=CD,BF=FA.

所以XBi■前+虎（X6+U5）+（沅+/）+（热丽）=（菽+554■连+而）+（阮+函

=（AE+EC+CDH-CE+S）+0

=AE+C54-BF^AE+EF+FA=0,

所以而+靛+色0.

2、向量的减法运算

一、选择题（每小题5分，共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3

分,有选错的得0分）

1.下列式子不正确的是（）

A.a-0=aB.a-b=-（b-a）

■■....

C.AB-AB=0D.AC=DC+AB+BD

【解析】选C.A正确；B正确；因为向量线性运算的结果为向量，所以C不正确；根

据向量加法的三角形法则，D正确.

2.如图，在四边形ABCD中，设在a,而二b,立c,则反二（）

A.a-b+cB.b-(a+c)

C.a+b+cD.b-a+c

【角军析】iiA.DC=DA+AB4-BC=a-b+c.

3.0是四边形ABCD所在平面上任一点，族〃而，且I5X-丽=|及-丽I,则四边形

ABCD一定为（）

A.菱形B.任意四边形

C.矩形D.平行四边形

【解析】选D.由OA-OB|=反-而知I威|二|B£|,且赢〃无，故四边形ABCD是平

行四边形.

4.如图,P,Q是AABC的边BC上的两点,且萨无，则化简赢+*-泰-丽的结果为（）

A

BPQC

■..

A.0B.BPC.PQD.PC

【国单析】选A.AB+AC-AP-AQ=(AB-AP)+(AC-AQ)=PB+QC=O.

5.在平面上有A,B,C三点,设m二通+工,n=AB-BC,若m与n的长度恰好相等，则有

()

A.A,B,C三点必在一条直线上

B.AABC必为等腰三角形且NB为顶角

C.AABC必为直角三角形且NB为直角

D.ZXABC必为等腰直角三角形

【解析】选C.以就氏为邻边作平行四边形，则

m=AB+BC=AC,n=AB-BC=AB-AD=DB,由m,n的长度相等可知，两对角线相等，因此

平行四边彩一定是矩形，所以△ABC必为直角三角形且NR为直礼

6.(多选题)化简以下各式，结果为零向量的是()

A.AB+BC+CAB.AB-AC+BD-CD

C.OA-OD+ADD.NQ+QP+MN-MP

［解析］选ABCD.AB+BC+CA=AC+CA=AC-AC=O；AB-AC+BD-CD=(AB+BD)-(AC+CD)

=AD-AD=O；OA-OD+AD=(OA+AD)-0D=OD-OD=0；NQ+QP+MN-MP=NP+PM+MN=

NM-NM=0.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.己知口ABCD的对角线AC和BD相交于0,且苏二a,诬二b,贝I］而=,

BC=.(用a,b表示)

【角箪析】々口图，DC=AB=OB-OA=b-a,BC=oc-OB=-OA-OB=-a-b.

答案:b-a-a-b

【补偿训练】

已知如图,在正六边形ABCDEF中，与胡-反+而相等的向量有—

①而;②X6；③5X；④靛;⑤员+反；

@CA-CD；@AB+AE.

【角单析】OA-OC+CD=CA+CD=CF;

CE+BC=BC+CE=BE7^CF;

CA-CD=DA^CF;AB+AE=AD^CF.

答案:①

8.AOAB中，5X=a,而△，且|a|二|b二|a-bI,判断△OAB的形状是，则a与

a+b所在直线的夹角是.

【解析】a-b=BA,

因为|a|二|b|二|a-b|,所以|二|OB|=|BA|,

所以AOAB是等边三角形，所以NB0A=60°.

因为66=a+b,且在菱形OACB中，对角线0C平分NB0A.所以a与a+b所在直线的

夹角为30°.

答案：等边三角形30°

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.如图所示，已知OA=a,OB=b.OC=c,OE=e,OD=d,OF=f,试用a,b,c,d,e,f表示

AC,AD,AD-AB,AB4-CF,BF-BD,DF+FE+ED.

［解析】AC=OC-OA=c-a,AD=OD-OA=d-a,

.■■■■■■■■■.

AD-AB=BD=OD-OB=d-b,AB+CF=OB-0A+OF-OC=b-a+f-C,

・・♦・・・・,•...■

BF-BD=DF=OF-OD=f-d,DF+FE+ED=O.

10.如图所示,°ABCD中，AB=a,AD=b.

⑴用a,b表示M,DB；

(2)当a,b满足什么条件时,a-b与a-b所在直线互相垂直?

AaB

【角箪析】(1)AC=AEH-Afeb+a,DB=AB-AD=a-b.

(2)由(1)知a+b=AC,a-b=DB.

因为a+b与a-b所在直线垂直，

所以AC_LBD.又因为四边形ABCD为平行四边形，

所以四边形ABCD为菱形，所鼠|a|二|b|.

所以当|a|二|b|时,a+b与a-b所在直线互相垂直.

3、向量的数乘运算

一、选择题（每小题5分，共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3

分,有选错的得0分）

1.下列各式计算正确的个数是（）

①（-7）•6a=-42a;②a-2b+2（a+b）=3a;

③a+b-（a+b）=0.

A.OB.1C.2D.3

【解析】选C.根据向量数乘的运算律可验证①②正确;③错误，因为向量的和、

差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数.

2.下列说法正确的是（）

A.2aWaB.|2a|>|a|

C.2a〃aD.|2a|Wl

【解析】选C.当a=0时,2a=a=0,A,B不正确；

当lai」1时，|2a|=1,D不正确.

2

3.己知0是AABC所在平面内一点,D为BC的中点,且2QA+OB+OC=Q,则（）

■...

A.AO=2ODB.AO=OD

C.AO=3ODD.2A6=OD

［解析］选B.因为D为BC的中点，

所以5S+56=2而，

所以2OA+2OD=O,所以苏二一丽,所以正而

【补偿训练】

已知向量a,b满足：|a二3,|b|=5,且a=入b,则实数人二（）

3535

A.-B.-C.±-D.±-

5353

【解析】选C.因为|a|二3,|b|=5,a=入b,所以|a|二|入||b|,即3=51人所以

4.设a,b为不共线的两个非零向量，已知向量前二a-kb,C§=2a+b,CD=3a-b,若

A,B,D三点共线,则实数k的值等于（）

A.10B.-10C.2D.-2

【解析】选C.因为A,B,D三点共线，所以族二人BD=X（而-诬），所以a-kb=

X（3a-b-2a-b）=X（a—2b）,所以X=l,k=2.

【补偿训练】

已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A,C）,则

A?=（）

A.X(AB+BC),X£(0,1)

B.X(AB+BC),XG(0,马

C.X(AB-BC),XE(0,1)

D.X(AB-BC),Xe(0,y)

【解析】选A.由已知，得A记XAC,XG(0,1),而於崩+前,所以A记X(AB+BC),

入e(0,1).

5.在4ABC中，若靠+於2而，贝IJ还等于()

1一3-1一3一

A.一AB+-ACB.-AB——AC

2222

1111_

C.一AB—ACD.一-AB+-AC

2222

X5+衣=2而得而二三（屁+M）,所以

【解析】选C.由

2

2

6.（多选题）点P是△ABC所在平面内一点,若注入FA+或其中入£R,则点P不

可能在（）

A.AABC内部B.AC边所在的直线上

C.AB边上D.ZXABC外部

［解析］选ACD.因为诬=入PA+PB,

所以55-丽=入PA,所以而=入PA.

所以P,A,C三点共线.所以点P一定在AC边所在的直线上.

所以点P不可能在4ABC内部与外部，也不可能在AB边上.

【补偿训练】

己知aABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,fiPA+PB+PC=AB,则（）

A.P在4ABC内部

B.P在4ABC外部

C.P在AB边上或其延长线上

D.P在AC边上

【解析】选D.PA+PR4-PC=PB-PA,

所以而=-2或，所以P在AC边上.

二、填空题（每小题5分，共10分）

7.若3（x+a）+2（x-2a）-4（x-a+b）=0,则x=.

【解析】由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,

所以x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.

答案:4b-3a

8.设a,b是两个不共线的向量.若向量ka+2b与8a+kb的方向相反，则

k=.

【解析】因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反，

所以ka+2b=K（8a+kb）nk二8入，2=入k=>k=-4（因为方向相反，所以入<0=>k<0）.

答案:-4

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.已知e,f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足葡二e+2f,BC=-4e-f,

CD=-5e-3f.

⑴用e,f表示通；

⑵证明：四边形ABCD为梯形.

【解析】

⑴AD=AB+BC+CD=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.

⑵因为AD=-8e-2f=2(-4e-f)二2反,所以而与前方向相同，且A$的长度为了的长

度的2倍，即在四边形ABCD中，AD〃BC,且AD手BC,所以四边形ABCD是梯形.

10.已知两个非零向量a与b不共线，OA=2a-b,ofca+3b,OC=ka+5b.

(1)若2就而+56=0,求k的值；

(2)若A,B,C三点共线,求k的值.

【解析】(1)因为2OA-OB+oc=2(2a-b)-a-3b+ka+5b=(k+3)a=0,所以k=-3.

(2)AB=OB-OA=-a+4b,AC=OC-OA=(k-2)a+6b,又A,B,C三点共线，则存在入£R,

Jr—2——Qi

J解得k=-.

(6=4A,2

4、向量的数量积

一、选择题(每小题5分，共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3

分,有选错的得0分)

1.若|a|二4,|b|=6,a与b的夹角为135。，则a•(~b)等于()

A.12B.-12C.12V2D.-12V2

【解析】选C.因为a•(-b)=~a•b

=-|a||b|cos1350=-4X6X

【补偿训练】

1.ABC中，BC=5,AC=8,ZC=60°，则瓦•法二()

A.20B.-20C.20V3D.-2oV3

【解析】选B.阮*CA=|BCCACOS120°=5X8X

2.己知AABC中，AB=a,AC=b,若a-b<0,则AABC是()

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.任意三角形

【解析】选A.由a•b<0易知向量a与b的夹角为钝角.

2.己知非零向量a,b满足|a|=21b|,且(a'b)，b,则a与b的夹角为()

22

【解析】选B.设夹角为8,因为(a—b)±b,所以(a—b)・b=a*b-b=Qf所以a*b=b,

a,b_I"j

所以COS0』"IT"2"|2=一,又ee[o,n]，所以a与b的夹角为F.

23

3.已知平面向量a,b满足a•(a+b)=3且|a|=2,|b向1,则向量a与b的夹角为

)

nn27r57r

A.-B.-C.—D.—

6336

1

【角尾析】选C.因为a•(a+b)=a?+a•b=4+2cos<a,b>=3,所以cos<a,b>=一一,又因为

2

27T

<a,b>£[0,n],所EZ,<a,b>=—.

3

4.己知|a二|b|=l,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值

为（）

A._6B.6C.3D.-3

【解析】选B.因为c•d=0,所以（2a+3b）•（ka-4b）=0,所以2ka?-8a,b+3ka,b

72b2=0,所以2k=12,所以k=6.

5.如图所示,AABC是顶角为120。的等腰三角形，且AB=1,则崩•瓦等于（）

A

BC

吟

【解析】选C.因为aABC是顶角为120°的等腰三角形，且ABR,所以BC二禽，所

以崩・BC=1XV3Xcos150°

2

6.(多选题)已知a,b,c为非零向量，下列说法不正确的是()

A.若|a•b|=|a||b|,则a〃b

B.若a•c二b•c,则a=b

C.若|a|二|bI,则Ia•c|=Ib•c|

D.(a•b)IcI-1a(b•c)

【解析】选BCD.|a-b|=||a||b|cos0|二|a||b|,

所以cose二±1,即9二0°或180°，此时a〃b；A正确；

选项B中，设a与c的夹角为8i,b与c的夹角为/，因为a・c=b•c,

所以Ia11c|cos9i=|b||c|cos02,

即|a|cos0i=|b|cos82,B不一定正确；

C项中，a与c的夹角和bmc的夹角不相等时，结论不成立；

D项中，a与b的夹角，b与c的夹角不一定相等，所以不一定成立.

【补偿训练】

对于向量a、b、c和实数入，下列命题中真命题是（）

A若a・b=0,则a=0或b=0

B.若入a=0,则入=0或a=0

C.若az=b2,则a=b或a=-b

D.若a・b二a•c,贝！Jb二c

【解析】选B.A中，若a-b=0,则a=O或b=O或a±b,故A错;C中，若a2=b2,贝I

|a|二|b|,C错;D中，若a・b二a•c,则可能有a±b,a_Lc,但bHc,故只有选项B正

确.

二、填空题（每小题5分，共10分）

7.在四边形ABCD中，AD〃BC,AB=2«,AD=5,NA=30°,点E在线段CB的延长线上,

且AE=BE,贝ijBD-AE=.

［解析】如图，过点B作AE的平行线交AD于F,

因为AD〃BC,所以四边形AEBF为平行四边形，

因为AE二BE,故四边形AEBF为菱形.

因为NBAD=3（T,AB=2V3,

一2一

所以AF=2,即AF=-AD.

5

因为AE=FB=AB-AF=AB--AD,

S

所以前■谶=（而•赢）■碗一意可二

7—.—.—.2—.7不V3

-AB・AD-AB2—AD2=-X2V3X5X-----12-10=-1.

5552

答案:T

8.已知e1、e＞是夹角为三"的两个单位向量,a=e-2e2,b=kei+e2,若k=l,则a•b=

______;若a・b=0,则实数k的值为______.

【解析】当k=1时a・b=(e-2e2)•(ei+e?)

二•二-3.

由a•b=0得(e「，e2)•(ket+e0)=0.

27T5

整理,得k-2+(1-2k)cos—=0,解得k=-

34

研工15

合案：一--

24

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知：如图,两个长度为1的平面向量流和它们的夹角为弓，点C是以0为

圆心的劣弧AB的中点.求:

(1)凉+的的值.

⑵AB-M的值.

【解析】⑴因为OA和5s的长度为1,夹南为一,

3

27r1

所以OA•OB—|OA||OB|COS——,

32

所以IOA+OB|=V(OA+OB)2

=V0AJ+2OA•OB+OB2=1.

⑵因为点C是以0为圆心的劣弧靠的中点,

71

所以NA0C二NB0C二一,

3

所以6X・OC=OB・反二一,

2

所以靛・AC=(OB-OA)•(?)C-OA)

=OB-OC-OB-OA-OA・OC+OA-OA

斗幻卫

2k2/22

【补偿训练】

已知|a|=10,|b|=12,a与b的夹角为120°,求：⑴a-b;⑵13a)・(《b)；

(3)(3b-2a)•(4a+b).

【解析】(1)a•b=|a||b|cos0=1OX12Xcos120°=-60.

(2)(3a)•(~^b)=-(a•b)=-X(-60)=-36.

x5755

(3)(3b-2a)・(4a+b)=12b・a+3b-8a-2a・b=10a-b+3|b|2-8|a|2=10X(-60)+3

X12-8X10--968.

10.己知la=2b=2,e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的

投影向量为-e.

(1)求a与b的夹角0;

(2)求(a-2b)•b;

⑶当人为何值时，向量入a+b与向量a-3b互相垂直？

【解析】(1)由题意知a|=2,b=1.又a在b方向上的投影向量为

a|cos0e=-e,

1_27r

所以cos9=一一,又8£[0,n],所以6=—.

23

⑵易知a•b二|a|・|b|cos0=-1,则（a-2b）•b=a,b-2b2=-1-2=-3.

（3）因为入a+b与a-3b互相垂直，所以（入a+b）・（a—3b）二入a2-3入a-b+b-a-3b2=4

入+3入7-3=7人-4二0,

4

所以入二一.

7

6.3平面向量基本定理及坐标表示

1、平面向量基本定理

基础练习

一、选择题（每小题5分，共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3

分,有选错的得0分）

1.（多选题）如果Me?是平面a内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，可以

作为平面内所有向量的一个基底的是（）

A.ei与ei+e2B.e-2e2与ei+2e2

_

C.ei+也与eie2D.e】+3e2与6e2+2ei

【解析】选ABC.选项A中，设ei+e2=xe„则匕一—无解；选项B中，设

11=0

U=1,

e-2e2=A（ei+2e2）,则Jn。无解；选项C中，设e+色二人（e-e2）,则

（一2二2A

A=1,1

〃，无解；选项D中，e,+3e=-（6e+2e）,所以两向量是共线向量.

1=~A2221

2.如图,在aOAB中,P为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB,且而-2刀,则()

2112

A.x=-y=-B.x二一,,7"3

333

1331

C.x=-y=-D.x=-y=-

4444

_._._.____._.2_._2_._.

【解析】选A.由题意知5?=0后+而，＞1BP=2PA,0P=OB+-BA=0B+-(0A-0B)=

33

2一1-21

-OA+-OB,所以x二;y二二

3333

3.在矩形ABCD中,0是对角线的交点,若反=巳，DC=e2,则氏-()

11

A.-(e)+eo)B.~(e-e2)

22

11

-

C.-(2e2ei)D.-(e2-ei)

22

【解析】选A.因为0是矩形ABCD对角线的交点，BC=e„DC=e2,所以

oc=-(BC+DC)=-(e,+e),故选A.

222

4.平行四边形ABCD中,M是BC的中点,若无=入AM+uBD,则X+u=()

9155

B.2C.—D.-

483

【解析】选D.因为记=正菽,

1一

AM=AB+BM=AB+-AD,BD=AD-AB.

2

所以AC=XAM4-pBD

A+A6

=\(®T)+U(AD-AB),

5

则

入+=-

3

5.设点0为面积为4的4ABC内部一点，且有良+丽+25c=0,则AAOC的面积为

)

11

A.2B.1c.-D.-

23

【解析】选B.如图，以方，53为邻边作口OADB,则OD=OA+OB,结合条件

OA+OB+2OC=0知,

OD=-2OC,

设0D交AB于M,贝"OD=2OM,所以OM=-OC,故。为CM的中点，所以

2

11

—Sz\A8C=_X4=1.

44

3

6.如图所示,在4ABC中，点M,N分别在AB,AC上,HAM=2MB,AN=-AC,线段CM与

BN相交于点P,且泰=a,AC=b,则泰用a和b表示为（）

-41.42

A.AP=-a+—bB.AP=-a+-b

9393

24一43

C.AP=-a+-bD.AP=-a+-b

9377

,一2一a_3-2

【解析】选A.由于AM二一MB=-,AN=-b,NC=-b,则

3355

一A(ft—^-a)一一

...A2rt.0,V3Z■.

MC=AC-AM=b--a,BN=AN-AB=—b-a.设MP二入MC=\37,BP=pBN=

35

h~a\由丽一加二麻，得入,2

得

3

一"+〃二:

A=-

解得

5-^rb—a)41

因立匕AP=AB+BP=a+9'5/二一a+-b.

93

二、填空题（每小题5分，共10分）

7.如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点0,E为线段A0的中点，若

BE=XBA+uBD(X,u£R),则入+u=____________.

■,,，一一一1一一1—.一一一1一]一1

【解析】因为BE=BO+OE=-B什EA二一BAE什BA,所以BE-BA+-BD,所以入二一，11

22242

13

7i7

3

答案:一

4

8.如图所示,在4ABC中，点。是BC的中点,过点0的直线分别交直线AB,AC于不

同的两点M,N,若AB=mA疝AOnAN,则mn的最大值为

【解析】因为点。是BC的中点,

一1一一

所以AO=-（A»AC）.

2

又因为AC=nAN,

一m一n一

所以AO=—AJVH-—AN.

22

mn

又因为M,0,N三点共线，所以一+Y1,

22

即m+rFZ,所以mnW（;~+—J=1,当且仅当m=n=1时取等号，故mn的最大值为

1.

答案：1

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.在平行四边形ABCD中，点E是AD边的中点,BE与AC相交于点F,若神田凝+n通

(m,n€R),求一的值.

n

【解析】方法一：根据题意可知△AFEsaCFB,