2021-2022学年高中数学人教A版必修五课后巩固提升

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

课后篇巩固提升

基础巩固

1.在AABC中，若A：B：C=4；1；1,则a：b：c=（）

A.4/I：\B.2：\：\

C.：\：\D.：\：\

解析|由A'13!C=4/IZ1JLA十。十C=JI,得人二,8=,。二,所以sinA=,sinB=,sinC=,

又由q:bc=sinA'sinB/sinC,得a：b：c=/I/1.

2.在A48C中，若。=3/=4=，则角C的大小为（）

A.B.C.D.

廨薪|由正弦定理，得sin8=.因为。池所以4＞反所以8=,所以C=n~.

3.在"SC中，角A,C的对边分别为4c,024,cosA=,则的值为（）

A.2B.C.D.1

解析|由正弦定理，得=2cosA=2x.

4.在“8。中，已知5C=AC,BW,则侑4的取值范围为（）

A.B.

C.D.

解析：/C=AC,・：sinA=sinB.

丁吟」sin吟

.：sinA£，,:在ZkABC中,4£.

到D

5.已知AA8C外接圆的半径为1,则sin4：BC={）

A.l：1B.2：1C.1：2D.无法确定

廨薪|由正弦定理，得=2R=2,所以sinA：BC=\：2.

gUc

6.在"BC中，若，则该三角形一定是（）

A.等腰直角三角形

B.等腰三角形或直角三角形

C.等腰三角形但不是直角三角形

D.直角三角形但不是等腰三角形

丽根据正弦定理，得.

又,所以，

则sin8二costanB=l,则B=45°,

同理可得C=45°.所以A=180"-C-B=90".

故AABC为等腰直角三角形.

瓯A

7.在AABC中,，则的值为.

髭也由正弦定理，得+1=+1=+1=.

矗

8.在AABC中,8=45°,C=60°,c=l,则最短边的长等于.

隆明由三角形内角和定理，得A=75°.由三角形的边角关系，得8所对的边b为最短边.由正弦

定理，得b=.

9.在&ABC中,lg(sinA+sinQ=21gsinB-lg(sinC-sinA),判断"BC的形状.

网由题意，得(sinA+sinC)(sinC-sinA)=sirrB,

即-sin2A+sin2C=sin2R

由正弦定理，得一+，二尻即。。序二已

所以是直角二角膨.

10.在A4BC中，角A,8,C所对的边分别为a,瓦%且acosC+c=b.

(1)求角4的大小；

⑵若。=1/=，求c的值.

解(1)由acosC+c=b和正弦定理，得sinAcosC+sinC=sinB.

:'sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

.：sinC=cosAsinC.丁sinC^Q,.^cosA=.

**0<A<TC,ZA=.

(2)由正弦定理，得sinB=

；.B二.

①当8=时，由A=，得C=，•:c=2.

②当8=时，由A=，得C=,.*c=a=l.

综上可得,c=l或c=2.

能力提升

1.在“8。中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2cMe=60°,则8=()

A.450B.450或135°

C.30°D.30°或150°

^§在448。中，：ZRCMGO。，,：b二,

・：由正弦定理，得sinB=.

:为Vc,B为锐角，,：B=45°.故选A.

量A

2.在aABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=l,8=45°,cosA=，则力=()

A.B.C.D.

解析|因为cos4=,0<4<兀,所以sinA=，所以sinC=sin[180°-(A+B)]=sinG4+B)=sinAcos8+cos

AsinB=cos450+sin450=.

由正弦定理，得b=xsin45°=.

3.在aAAC中，角A,B,C的对边分别为ahe,若3AosC=c(l-3cos8),则=[)

A.B.C.3D.

解析已知3AcosC=c(l-3cosB),

由正弦定理，得3sinBcosC=sinC(1-3cos8),

化简可得sinC=3sin(B+C).

又4+B+C=?t,.：sinC=3sinA,

二二3.故堂.

4.(2020•全国/高考)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,。。1为AABC的外接圆.若。。]的

面积为47M3=8C=AC=001,则球O的表面积为()

A.64兀B.487cC.367cD.32兀

懈新由题意知。。1的半径片2.由正弦定理知二2匕

:XB=BC=4G.：ZUBC为等边三角形.

•\OO\=AB=2rsin600=2,

•:球。的半径R==4.

.:球O的表面积为4兀/？2=64兀

^]A

5.在AABC中力+c=12,A=60°,8=30°,则。=.

隆画由已知，得C=180°48=90°,

则.：4+c=12,・：b=4,c=8.

藕8

6.&.AABC中，内角A,B,C的对边分别为。力,c,已知，则=.

解析|由正弦定理及已知，得，即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB,整理可得

sin(A+B)=3sin(B+C).

所以sinC=3sinA,即.

7.在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为“力,c,且5sin=cosC+2.

⑴求tan(A+8)的值；

(2)若+1=,c=2,求a的值.

廨(1)由已知，得5sin=l-2sin2+2,^PZsirr2+5sin-3=0,解得sin或sin=-3(舍去).

国为0°<<90°，所以=30°，即C=60°,

于是tan(A+B)=tan(1800-C)=tan120°=-.

(2)由+1=及正弦定理，

得，

即，

因为sin(4+B)=sinC#),sin琼0,所以cosA=,

所以sinA=.

由正弦定理，得4=.

8.(选做题)在AABC中,406,COSB=,C=.

(1)求A5的长；

⑵求cos的值.

解1)因为cos8=,0<8<兀,所以sinB=.由正弦定理，得，所以A5==5.

(2)因为在〉ABC中,A+8+C=TI,

所以4=TT-(8+C),

于是cosA=-cos(B-t-C)=-cos=-cosBCOS+sin5sin,又cosB=,sinB=,

所以cosA=-=-.

因为所以sinA=.

故cos=cosAcos+sinAsin

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.2余弦定理

课后篇巩固提升

基础巩固

1.在“3。中，角ABC所对的边分别为。力c若。=力=34=60°,则c=（）

A.lB.2C.4D.6

解析|由余弦定理，得a2=o2+c2_2bc8sA,即13=9+d-3c，即＜?-304=0,解得c=4（负值舍去）.

2.在"BC中，角A,B,C的对边分别为。力c若决户二曲则疝c的值为（）

A.B.C.D.

丽由余弦定理的推论，得cosC=

因为。£（0,兀），

所以C二,sinC=.故选C.

ggc

3.在ZkABC中，角4,B,C的对边分别是边的,若〃=3,c=2/+C=,则b=（）

A.B.6C.7D.8

解析|7人+0,・：〃=几-（人+。=.：Z=3,c=2,・：由余弦定理可得b=.

故选A.

四A

4.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为〃力《,若8=60°则AABC一定是（）

A.直角三角形B.钝角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

解析|由余弦定理可得tr=a2+（r-2aecos化为（a-c）2=0,解潺a=c.又B=60",可得

△ABC是等边三角形，故选C.

ggc

5.（2020•全国加高考）在AABC中,COSC=4C=4,8C=3,则cosB=（）

A.B.C.D.

解析|：ZB2=4C2+Bd2ACBCcosC=16+9-24x=9,.：AB=3,

•:cosB=.

蠲A

6.AA^C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足护二%且c=2a则cos8=()

A.B.C.D.

解也由余弦定理的推论及已知可得cosB=.

H]B

7.在△ABC中，。力,c分别是角A,B,C的对边，若/七2二26,且sinB=6cosAsin。，则b的值为_.

暧画由正弦定理及余弦定理的推论，得sinB=6cosAsinC可化为力=6y化简得

/=3(〃+。2y2)

*/a2-ci=2b,JL厚0,

飙3

A

8.如图，在AABC中，已知点。在边BC上,AD_L4C于点A,sinNBAC=4B=3,4O=3〃JBD的长

为.

解析|因为sinN84C=,且AO_LAC,所以sin,所以cos/BAO=.

在△84。中，由余弦定理，得

矗

9.在"BC中，角人民C所对的边分别为〃力,c,已知〃=2,c=3,cosB=

(1)求匕的值；

⑵求sinC的值.

网(1)由余弦定理序=必陷.2480$8,得户=22+32-2X2X3X=10,."二.

(2)由余弦定理的推论及(1),得cosC=.

丁C是AABC的内角，•：sinC=

10.在AABC中,C=2A,〃+C=10,COSA=，求h.

随由正弦定理，得=2cosA=2x,：Z+c=10,•：a=4,c=6.

由余弦定理的推论，得，解得6=4或6=5.当6=4时，：Z=4,・：A=8.又C=2A,且4+8+。=兀

.：A=，与已知cosA=矛盾，不合题意，舍去.当b=5时，满足题意微b=5.

能力提升

1在&ABC中，角A,B,C所对的边分别为4力,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sinBsinC=0,则tanA的值

是()

A.B.-C,D.-

国明由已知利用正弦定理，得从+上/=.反.由余弦定理的推论，得cosA=二・.因为0<A<0所以

4二,lanA=tan=-，故选D.

量D

2.有一个内角为120。的三角形的三边长分别是桃仙+1。+2,则实数机的值为()

A.lB.C.2D.

隆明由已知利用余弦定理的推论可得cos120°=,

可得

化简可得2加-"3=0,解得加二或・1(舍去).故选B.

3.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=,cosA=,b=3,则边c的长为(

A.2B.2

C.2D.2

解析|:力二,cosA=,0=3,

•:sinA=,

由正弦定理，可得。==4,

由余弦定理4f2=b2+e2-2Z?c'COS4,

可得32=27+，-2x3xcx,

可得?-2c-5=0,

解得c=2-2(舍去).

^1B

4.在△ABC中,a,dc分别为角A,B,C的对边，若c,cosB=bcosC,且cos4=，则sinB=()

A.±B.

C.±D.

解析|由正弦定理和ucosB=bcosC得sinCeosB=sinBeesC,「sin(B-O=0,又

-180°<B-C<180°,/.B=Cy/.b=c.

^_ycosA=，由余弦定理可得4=2户2序>：a=b.由余弦定理的推论得cos8二，故sinB=.

答案|D

5.(2020全国/卷，理16)

如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中40148=4。=48_14。/3_14),/。4£>30°,则cos

NFCB=___________.

庭画由题意得BD=AB=,BC==2.

:力年严重合于一点P,

t

..AE=AD=,BF=BD=i.：hACE中，由余弦定理，得。炉二从d+人序一乂0斗七以^/

CAE=12+()2-2x1xcos300=1,

・：CE=CF=L

.:在ABC尸中，由余弦定理的推论，得

cosNFCB==-.

6.在△ABC中，角A,B.C的对边分别为a,b,c,若。=2力=3,G2A,则cosC的值为________.

解析|:Z=2,b=3,C=2A,

・：由正弦定理,可得，

可得cosA二,.：由余弦定理的推论可得cosA=，解得^=10,

.：可得cosC=.

7.在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cosC+(cosA-sinA)cos8=0.

(1)求角8的大小；

⑵若a+c=l,求b的取值范围.

^|(1)由己知，得・cos(A+6)十cosAcosB-sinAcos8=0,即sinAsinB-sinAcos5=0.

:‘sinA#),ZsinB-cosB=0,

由此，得tanB=.

又B£((U),.：B=.

(2)由⑴得cosB=，又a+c=\,

•沦2=。2+/-2。805B=3a2-3a+l=3(a-)2+.V0<a<1,

・：W3(a12+vl,即W)vl,

・：Wkl,・：b的取值范围是L).

第一章解三角形

1.2应用举例

第1课时距离和高度问题

课后篇巩固提升

1.如图，要测吊某湖泊两侧A出两点间的距离，若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点

间的距离的是（）

A.角A,B和边b

B.角A,B和边4

C.边4/和角C

D.边a力和角A

庭画根据正弦定理，可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得白的结果不一定唯一，

故选D.

函D

A

DB

2.如图,AC上三点在地面同一直线上，从地面上CQ两点望山顶A,测得它们的仰角分别为

45°和30°,已知CD=200米，点C位于BO上，则山高4B等于()

A.100米B.50(十1)米

C.100(+1)米D.200米

解析|设AB=h，在RSACB中,N4C8=45°,

所以BC=AB=h.

在RtZkAB。中,NO=30°,

所以BD=h.

又因为BD-BC=CD,即力-%=200,

解得/尸=100(+1).

ADR

3.如图，在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=\2m,借助测角仪测得/

CAZ;=45°,NCbA=60°,则C处河而宽CO为()

A.6(3+)mB.6(3-)m

C.6(3+2)mD.6(3-2)m

由=48=4。+8。=。。=12=。0=6(3-)111,故选B.

薄B

4.

如图所示，为了测量A,8两处岛屿间的距离,小明在。处观测工方分别在。处的北偏西15°,

北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向A在C处的北

偏西60°方向，则A,B两处岛屿间的距离为()

A.20海里B.10海里

C.10(1+)海里D.20海里

隆阴连接A比如图所示，

由题意可知CO=20,N4£)C=105°,NBQC=45°,NBCO=90°,ZACD=30°,.：Z

CAD=45°,ZADB=60°.

在AACD中，由正弦定理，得，

I

ZAD=10.

在RSBCO中，：28DC=45°,Z5CD=90",

.\BD=CD=20.

在△A8Q中，由余弦定理，得AB==10(海里).故选B.

g§B

5.如图，地平面上有一根旗杆。尸，为了测得它的高度〃，在地面上取一基线Aa"二20m,在A处

测得点P的仰角NOAP=30°,在B处测得点尸的仰角NO8P=45°,又测得乙4。8=60°,则旗

杆的高度为()

A.20()mB.m

C.mD.10()m

|解析|由已知，得40=卅80=力,则在4480中，由余弦定理，得AB2=AO1+BO2-2AOBOCOS60°,

即400=342+必/2,解得力=(m).

6.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,

且两条船与炮台底部的连线成30c角，则两条船之间的距离为m.

陵画设炮台顶部为4,两条船分别为8,C,炮台底部为Z)(如图)，

则N8AQ=45°,ZC4D=30°,ZBDC=30°/。=30m.

在RSA8D与RtAACD中,tan45°=,tan300=,

则。8=30m,DC=10m.

在&DBC中，由余弦定理，得BC2=DB2+DC2-2DBDCCOS30°，即fiC2=302+(10)2-2x30x!0,

解得BC=10(m).

答案|10

7.台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危

险区，城市8在A的正东40km处,8城市处于危险区内的持续时间为小时.

解析|设t小时时,B城市恰好处于危险区，则由余弦定理，得(20/)2+4()2-2X20，X40COS45°=30\

即4产・8f+7=0,•:t\+t2=2,trt2=.故|力"2I==L

舂］

A

D

R

8.如图，某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C处和。处，己知CD=6000m,Z

4c£>=45°,N4DC=75°,目标出现于地面B处,测得NBCD=30°,NBDC=15°,求炮兵阵地

与目标的距离.

圈由NACO=45°,N4OG75°,得NG4O=60°.

在AACD中，由正弦定理，得，则AO=CD在△BCD中，可得NC8O=135°,

由正弦定理，得8O=CD又乙4O8=NAOC+N3OC=750+15°=90°，连接A氏则在

△ABD中,A8=CO=x6000=1000(m).

故炮兵阵地与目标的距离为1000m.

如图,A,aC,。都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),民。为海岛二两座灯塔的塔顶.测

量船于A处测得点B和点O的仰侑分别为75°,30°,于。处测得点3和点D的仰角均为

60°AC=\km,求点B,D间的距离.

解法一|在"8中,NADC=60。-ZD4C=60°-30°=30°.由正弦定理，得AO=.

在AABC中,NABC=75°-60°=15°,ZACB=60°,

由正弦定理，得A8=.在ZUOB中,/加。=180°-75°-30°=75°,由余弦定理，得

二.即点8Q间的距离为km.

解法二|如图，过点。作DH垂直于水平线于点凡过点8作BE垂直于水平线于点E,记A。与

8C的交点为M.由已知，得NCO4=NOCH-NOAC=60°-30°=30°,

所以ND4C=NCOA=30°,

所以AOOC.

又易知NMCO=NMC4=60°,所以△AMCZADMC,

所以M为A。的中点，所以BA=BD.

又在AABC中,NA8C=75°-69°=15°,

所以48=,

所以BD=

所以点3Q间的距离为km.

第一章解三角形

1.2应用举例

第2课时角度问题

课后篇巩固提升

1.在静水中划船的速度是40m/min,水流的速度是20m/min,如果船从岸边4处出发，沿着与水

流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游，且与河岸垂直方向所成的角为

()

A.150B.30°C.45°D.60°

颤如图所示，

7sinZCAB=,.：ZG4S=30°.

量B

2.有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m,下底长为10m,高为2m,那么此拦水坝

斜坡的坡度和坡角分别为()

A.,60°B.,60°

C.,30°D.,30°

DC

解析如图所示，横断面是等腰梯形ABCDyAB=\Om,CD=6m,高DE=2m,则八£"==2(m),

「tanND4E=,・：ND4E=60°.

3.一艘船上午9:30在A处，测得灯省S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8nmile,之后

它继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方

向，则此船的航速是()

A.8()nmile/hB.8()nmile/h

C.16()nmile/hD.l6()nmile/h

暧画由题意，得在ASAB中,NBAS=30°,NS8A=180°-75°=105°,ZBSA=45°.

由正弦定理，得，

即，解得AB=8()(nmile),

故此船的航速为二16()(nmile/h).

4.如图所示，位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险，

在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的C处的乙船，现

乙船朝北偏东0的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos0等于（）

北

+东

解析|在&ABC中,A8=40nmile/C=20nmile,ZBAC=120°.

由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACCOS120°=2800,所以BC=20nmile.

由正弦定理，得

sinZ4CB=-sinZ^4C=.

由N8AC=120°,得/AC8为统角，故cosNACB=.

故cos®=cos(NACB+300)

=cosZACficos300-sin/ACBsin30°=.

答案B

如图所示，两座相距60m的建筑物AB,CO的高度分别为20m,50m,8O为水平面，则从建筑物

AB的顶端4看建筑物CD的视角NCA。等于（）

A.300B.45°

C.6O0D.750

丽|依题意可得AZ）==20（m）,

AC==30（m）.

义因为8=50m,所以在AACO中，由余弦定理的推论，得COSNC4D=.

又因为0°vNC4Dvl80°,所以NCAO=45°,所以从顶端A看建筑物CO的视角为45°.

答案B

6.已知甲船在岛B的正南方A处工B=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的岛B航

行,同时乙船自岛8出发以6nmile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最

近时,它们所航行的时间是h.

廨稿如图，设甲、乙两船距离最近时航行时间为/h,距离为snmile,此时甲船到达C处,则甲船

距离B岛（104）nmile,乙船距离8岛6,nmile,所以由余弦定理的推论，得cos1200==•，化简,

得SuZ^-ZOf+lOO,所以当勺时取最小值和当甲、乙两船距离最近时，它们所航行的时间

是h.

7.某人见一建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西700方向行

走了3km后到达C,则见A在其北偏东56c方向上乃在其北偏东740方向上，试求这两个建

筑物间的距离.

凰如图，在ABCO中，N8OC=70°-30°=40°,ZBCO=(180°-70°)-74°=36°

080=180°-40°-36°=104°.

roc=3km,由正弦定理，得，

则80=1<01.在44。0中,/40。=70°/040=56°,则/4。0=54°.由正弦定理,得,则

A0=km.在△ABO中，由余弦定理，得AB=R.630(km)=l630(m).

故这两个建筑物间的距离约为1630m.

8.平面内三个力Fi,F2F3作用于同•点，且处于平衡状态.已如Fi,F2的大小分别为1N,N,F,

与F2的夹角为45°,求F3的大小及F3与用的夹角的大小.

圈如图，设F］与F2的合力为F,则F3=-F.

：*ZBOC=45°，•:450=135°.

2

在AOBA中，由余弦定理，得|F|2=|FIF+|F2|2-2|FI|・|F21cos1350=l+-2xlxCos1350=4+2.

・：|F|=1+,即IF3Q+I.

又由正弦定理，得

sinZBOA=ZBOA=30°.ZBOD=150°.

故F3的大小为(+l)N,Fi与F3的夹角为150°.

9.某海上养殖基地A,接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20(+l)nmile的海面

上有一台风中心，影响半径为20nmile,正以1()nmile/h的速度沿某一方向匀速直线前进，预计

台风中心将从基地东北方向刮过且(+l)h后开始影响基地持续2h.求台风移动的方向.

平D

60W

南

魁如图，设预报时台风中心为3,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心

为。，则8,。,。在一条直线上，且4D=20nmile,AC=20nmile.由题意，得4B=20(+l)n

mile,DC=20nmile,8c=10+l)nmile.

在MOC中，VDC2=AD2+AC\

.：NDAC=90°,NAOC=45°.

在AABC中，由余弦定理的推论，得

cosN84C=..：NBAC=30°.

:超位于4的南偏东60°方向，且60°+30°+90°=180°,,：£)位于4的正北方向.

又NAZ)C=45°,,：台风移动的方向为向量的方向，即北偏西45°方向.

第一章解三角形

1.2应用举例

第3课时三角形中的几何计算

课后篇巩固提升

基础巩固

1.已知△ABC的面积5=，则角C的大小是()

A.B.C.D.

解析|由S=absinC=，得sinC==cosC.又因为C®(0,兀),所以C=.

四A

2.

z

^20mzzi^«*****>>>

某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这

种草皮的价格为〃元/nR则购买这种草皮需要()

A.450a元B.225a元C.150。元D.300a元

回明由已知可求得草皮的面积为S=x20x30sin150°=150(0?),则购买草皮的费用为150。元.

3.在AABC中，〃力，。分别为角A,B,C的对边，若2b=〃+c,B=30°^ABC的面积为，则b=()

A.1+B.C.D.2+

解析|由acsin30°二，得ac=6.由余弦定理，得b2=a2+(r-2accos30°=(。+，)2-2。。讹=4户12-6,得

b=+\.

轴A

4.在“8C中，若AC=BC,C=,SM8c=sin2A,则S^ABC=()

A.B.C.D.2

商|因为从82=8。2+38(72・2又8。乂8。乂=8。2,所以4=。二,所以5必阮=$山24=，故选A.

量A

5.已知AA8C的面积为/C=,NA8C=，则AABC的周长等于()

A.3+B.3

C.2+D.

解析|由已知得ABBCsini.\ABBC=2.

由余弦定理得，

AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSZABC=AB2+BC2-ABBC=(AB+BC)2-3ABBC=(AB+BC)2-6.^

AC=,・：AB+BC=3.

•：AB+BC+AC=3+.

宣A

6.已知“8。的三边分别为a,九c,且面积S=，则角。=.

在△A3C中,S”8C=,

而S△八BC=G加inC,•：〃力sinC.

由余弦定理，得C2=fl2+Z?2-2^COSC,

•：cosC=sinC,•:C=45°.

国45。

7.已知三角形的面积为，其外接圆面积为九则这个三角形的三边之积等于.

解析|设三角形的外接圆半径为R,则由兀网二兀，得R=1.由S=a加in。=，故abc=1.

Sgl

8.在"BC中，角A,B,C所对的边分别为。力,c,求证:二c.

证明由余弦定理的推论，得cosB二,

cos4=，代入等式右边，得

右边二c

==左边,故原式得证.

如图，在A4BC中出C=5,AC=4,cosNCAO=,且40=8。,求ZUBC的面积.

网设CO=x,则AD=BO=5-x

在△C4£＞中，由余弦定理，得

cosNCA。=，解得x=L

,：CD=1^\D=BD=4.

在ACAD中，由正弦定理，得，

则sinC==4.

/•S^ABC=AC-BC-sinC=x4x5x,故AABC的面积为.

10.若AABC的三边长分别为4,b,c,面积为S,且Sud-g-b)n,a+A=2,求面积S的最大值.

邸=/_(44)2=/-4242+2时=2"-(/+从-6?2).由余弦定理,得"+从_/=2aAosC,

.：d-S-b)?=2ab(1-cosC),

即S=2^(l・cosC).

丁S=a加inC,・：sinC=4(1-cosC).

又sin2C+cos2C=l,.^17COS2C-32COSC+15=0,

解得cos。=或cosC=l(舍去)..：sinC=,

•\S=absinC=a(2-a)=-(a-1)2+.

：Z+b=2,・：0＜。＜2,・：当时,Smax=.

能力提升

1.在钝角三角形ABC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,c=5,sinC=，则"BC的面

积等于（）

AJOB.C.D.

解析[在钝角三角形ABC中，7。=7,c=5,sinC=,.*A>C,C为锐角，且cosC=.由c2=cr+b2-2abcos

C,得从/6+24=0,解得b=3或8=8.当b=8时，角B是钝角,cosB=>0,・1=8舍去.同理验证可

知6=3符合条件..：S“8c=，bsinC=x7x3x.

|^1c

2.设MBC的内角A,B,C所对的边分别为a力,c,且3acosC=4csin4,若AWC的面积S=10力=4,

则。的值为（）

A.B.C.D.

解析|由3acosC=4csinA,得.又由正弦定理，得，•：tanC=，•:sinC=.又S=bcsinA=10,Z?=4,Zcsin

A=5.根据正弦定理，得a=，故选B.

量B

3.在^AbC中/C=乃C=2]=60°,则3c边上的高等于（）

A.B.C.D.

解析|设A8=c,由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSB,

即7=d+4-2x2xcx,即〃一203=0,

所以c=3或c=-l（负值舍去）.

设8。边上的高等于人

由三角形面积公式SAABC=ABBCSEB=8C九即x3x2xsin60°=x2x/?,解得力=.故选B.

^1B

4.在AABC中，内角4,B,C所对的边分别为a,6,c.已知AABC的面积为3Q-c=2,cosA=-，则a的

值为.

解析|rSAABC=bcs\nA=bc%x=3,・：bc=24.

又Z>-c=2,Z«2=Z>2+C2-2Z>CCOSA=（b-c）2+2bc-2bcx=4+2x24+x24=64.

Ya为A48C的边,.：a=8.

前8

5.

如图,四边形ABC。中,NB=NC=12004B=4,BC=CD=2.则该四边形的面积等于

解析|连接BO(图略)，在△48中,由余弦定理得SZ)2=22+22-2X2X2COS120°=12,则80=2.

rBC=CD=2,ZC=120°,

/.ZCBD=30°，.:NA8O=90°.

•:SB边"八"C£＞=S"8D+SA/?ci)=x4x2sin90°+x2x2xsin1200=5.

飙5

6.

D

A

BY----------

如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为A8=2,BC=6,CQ=OA=4,求四边形ABCD

的面积.

回连接80,则四边形ABCD的面积S=ShABD+S^cDB=ABADsinA+BCCDsinC.

:'A+C=180°,.：sinA=sinC,

・：S=(48AO+6CCO)sin4=(2x4+6x4)sinA=16sinA及zU8。中，由余弦定理，得

BD1=AB2+AD2-2ABADCOSA=22+42-2X2X4COSA=20-16COSA.

在△COB中，由余弦定理，得BD1=CB2+CD2-2CBCDCOSC=62+42-2«6X4COSC=52-48COS

C.

.：20-16cosA=52-48cosC.

:'cosC=-cosA,•：64cosA=-32,Zcos4=-.

又A£(0°,180°),.：A=120°,.：S=16sin120°=8.

7.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a力,c,且满足

2/?(sin2A-sin2C)=(a-b)sin8,求AABC面积的最大值.

解由正弦定理，得即/+从-/=时.由余弦定理的推论，得

cosC=.

rce(o,7t),zc=

•:S=a加inC=x2/?sin42RsinB-

=/?2sinAsinB=R2sinA

=/?2(sinAcosA+sin2A)=/?2Gin2A+)=/?2.

:小£.・：24-,

•：sin,二S£,

「△ABC面积的最大值为R2.

第二章数歹lj

2.1数列的概念与简单表示法

第1课时数列的概念与简单表示法

课后篇巩固提升

1.有下列命题：

①数列，…的一个通项公式是an=\

②数列的图象是一群孤立的点；

③数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列；

④数列，…,是递增数列.

其中正确命题的个数为()

A.lB.2C.3D.0

国画由通项公式知。尸,故①不正确;易知②正确;由于两数列中数的排列次序不同，因此不是

旦二色列,故③不正确;④中的数列为递减数列，所以④不正确.

宣A

2.已知数列-1”-,…它的第5项的值为()

A.B.-C.D.-

画I第5项为(-l)5x=-.

ggD

3.已知数列的通项公式为二则。2。3等于()

A.70B.28C.20D.8

丽|由叫二

得a2a3=2x10=20.故选C.

ggc

4.设4产+…+(〃£N*),则42=()

A.B.

CD.

解析|:%”=+…+(〃£1>1*),・：42=.故选C.

5.下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()

A.1”…B.sin,sin,sin,…

C.-1,…D.I,,…，

解近|A中数列是递减数列,B中数列不是单调数列,D中数列是有穷数列,C中数列符合条件.

^~|c

6.下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是()

Aa”=〃2.〃+iB.a”=

C.an=D.an=

国画从题图中可观察星星的构成规律，当n=\叶，有1个;当n=2时，有3个;当〃=3时，有6个;

当n=4时，有10个;....

•：a〃=5£N*).故选C.

|^1c

7.数列，…中，有序数对3,力可以是.

廨嗣由已知，各项可写为，…,

____可得a=3x5=15力=24+2=26,故数对3力)为(15,26).

客氮15,26)

8.数列-1,1,22,-3,3,…的一个通项公式为.

廨球主意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得a,尸

|答案卜产

9.写出以下各数列的一个通项公式.

⑴…；

(2)10,9,8,7,6,…；

(3)2,5,10,17,26,…;

(4),…；

(5)3,33,333,3333,-.

酿)5(/严；

⑵斯二11-〃；

(3)即=/?+1;

(4)%=;

(5)%

10.已知数列｛an｝,%=/-〃〃+q,且。尸0,。2=4

⑴求。5；

(2)判断150是不是该数列中的项?若是，是第几项？

幽1)由已知，得

解得所以小二〃2.7〃+6,

所以的二52-7x5+6=4

(2)令=〃2_7〃+6=150,解得w=16(/?=-9舍去)，所以150是该数列中的项，并且是第16项.

n.在数列｛%｝中,°n=.

(1)求数列的第7项；

⑵求证:此数列的各项都在区间(0』)内；

⑶区间内有没有数列中的项?若有，有几项？

⑴解(17

(2)证明|:，斯==1-,

.：0＜小＜1,故数列的各项都在区间(0,1)内.

⑶网令，则V〃2〈2,〃£N*,

故〃=1,即在区间内有且只有I项a\.

第二章数列

2.1数列的概念与简单表示法

第2课时数列的递推公式

课后篇巩固提升

基础巩固

1.数列，…的递推公式可以是()

A.a”=(〃£N*)B.a”=(〃£N*)

C.a“+i=〃“(〃£N")Dae=2a”(〃£N*)

解析数列从第2项起，后一项是前一项的，故递推公式为a〃+i="”(〃eN).

答案C

2.符合递推关系式斯=4,泊的数列是()

A.1,2,34…B.1”2,2，…

C.,2,2…D.0,,2,2,…

解析］B中从第2项起，后一项是前一项的倍,符合递推公式4尸斯

■B

3.在数列｛4〃｝中,0=2,以2=5,且为+产。〃+2+如,则〃6的值为()

A.-3B.-llC.-5D.19

解析|由题知,4〃+2=知+1S,

将=2/2=5代入得,。3=〃2-〃1=3,

。4=的-。2=-2,45=时的=-5,

46=的-。4=-3.

轴A

4.己知数列｛为｝的通项公式为a产〃・7+2,则此数列中数值最小的项是()

A.第10项B.第11项C.第12项D.第13项

隆粉因为m二小7+2=，所以易知当n=12时取得最小值，即此数列中数值最小的项是第12

项.故选C.

5.已知。产1,“=〃3”+1心)(〃£^1*),则数列｛4“｝的通项公式是()

A.2〃-lB.C.n2D.〃

丽解法一(构造法).

由已知整理，得(〃+1)小=〃。”+|,

•：,・：数列是常数列，

且二l,・：0i=〃.

解法二(累乘法).

当〃22时,，

两边分别相乘，得=〃.：'。产1,•"”二〃.

6.设函数於尸数列｛小｝满足小且数列｛小｝是递增数列,则实数a的取值范围是

()

A.(,3)B.［,3)

C.(I,3)D.(2,3)

曲由斯是递增数列可得再得2<a<3.

薪D

7.已知数列｛为｝的通项公式斯=〃-,则该数列是.(填“递增数歹广递减数列”“摆动数

列”或“常数列”)

解析［；=〃-=-,当〃增大时,〃+增大，-增大，所以该数列是递增数列.

疆递增数列

8.若数列｛4〃｝满足为+1=Mr1，且。8=16,则06=

解析|:Z”+1=2所1,•:678=2«7-1=16,

解得。7二,又〃7=2。6・1二，解得06=-

9.在数列｛〃〃｝中,0=2,斯+i=a“+ln,求an.

魁由题意，得an+i-an=ln,

.：a”-a,“=ln("22),a“T-a〃-2=】n,

«2-«i=ln,

•:当时,a”・ai=ln=ln〃,.：斯=2+ln〃(几22).

当n=l时,ai=2+ln1=2,符合上式，

•：a〃=2+ln

10.已知各项均不为0的数列｛斯｝满足。1=,4."-1=。"-1-。”(〃22,〃£1>0,求数列｛4”｝的通项公式.

凰S'altan.\=an.｝-an,且各项均不为0,

・：=1..：当“22时,+•••+

=2+=n+\.

・：二〃十1,.：当〃，2时,q=.

:Z尸也符合上式,・：斯=.

能力提升

1.已知数列｛〃"｝,0=2,02=1,。"+2