2021-2022学年高中数学北师大版选修2-1课后巩固提升打包资料

第一章_常用逻辑用语

命题

课后篇巩固提升

L下列语句:①是无限循环小数;②A3x+=0;③当产4时,2x〉0;④把门关上.其中不是命题的是

()

B.②④C.®D.②®④

福B

2.下列命题是假命题的是()

A.若a-b=O(a#O,b#))JUJalb

B.若|a|二|b|,则a=b

C.若小>尻则a>b

D.5>3

蠲B

3.有下列四个命题：

①“若x+y=O,则对互为相反数”的逆命题；

②喏衿1,则/+右+夕=0有实根”的逆否命题；

③“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.

其中真命题为()

A.®@B.®®C.①③D.®®®

福A

4.“若sin则的否命题是()

A.若sinx〈，则x<

B.若元2,则sinx2

C若工〈，则sinx<

D.若sinxW,则xW

5.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,p的逆命题为，，则$是，的()

A.逆否命题B.逆命题

C.否命题D.原命题

ggc

6.已知p(x):f+2x-〃?>0,且爪1)是假命题,“⑵是真命题厕实数机的取值范围为.

磔13,8)

7.给定下列命题：

①“若。池则a+c>"c”的否命题;②“矩形的对角线相等”的逆命题;③喏不，=0,则中至少

有一个为0''的否命题.

其中真命题的序号是.

豳®®

8.写出命题，若(1-2)2+=0,则x=2且产-1”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.

网逆命题:若x=2且)，=・1,

则⑴2)2+=0,真命题.

否命题:若。-2）2+#），

则*2或归>1,真命题.

逆否命题:若在2或月-1,

则82）2+和,真命题.

9.判断命题喏心0厕x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.

敏方法一）V，〃>0,4/«>0,/.4w+l>0.

:.方程f+心m=0的判别式A=4/w+l>0.

:.方程^+A-m=0有实数根.

・•・原命题”若机>0,则小+心切=0有实数根”为真命题.又•・•原命题与它的逆否命题等价，

・•・“若〃?>0,则x2+『〃尸0有实数根”的逆否命题也为真.

（方法二）原命题“若小>0,则/+xw=0有实数根”的逆否命题为“若<+工-加=0无实数根,

则相£0”.・・・X2+此机=0无实数*艮，.*.A=4血+1<0,

・'・〃?v-W0.

.丁若12+长m=0无实数根，则加W0”为真.

§2充分条件与必要条件

课后篇巩固提升

A组

1.'〈0”是“11。+1）<0"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

^]B

2.设集合2={（x,y）|x£R,yWR}4={a,y）|2x-y+/n>0）,B={（xM|x+y-〃W0},那么点尸（2,3）。

[An（c〃）]的充要条件是（）

A.m>-1,«<5B.zw<-l,rt<5

C.m>-\,n>5D.w<-l,/i>5

量A

3.已知实系数一元二次方程加+尻+c=0（a和），下列结论中正确的是（）

①4二/凡物。）。是这个方程有实根的充分条件；

②A=/R4acN0是这个方程有实根的必要条件；

③△=〃.&7c=。是这个方程有实根的充分条件.

A.③

B.©@

C.®®®

D.@@

悟案匕

4.下面命题中是真命题的是（）

A/>2,且y>3是x+y>5的充要条件

B.4C国。是A^B的充分条件

C.b2-4ac<0是一元二次不等式ax^bx+c>0的解集为R的充要条件

D.一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形

量D

5.在△44C中，角A,氏。的对边分别为则“A=B”成立的必要不充分条件为（）

A.sinA=cos（R）

B.acosA-bcosB=0

C.bcosA=acosB

D.

量B

6.使得“2,喊立的一个充分条件是.

餐阑!」o〃<卜答案不唯一，合理即可）

7.下列各小题中/是q的充要条件的是.（填写正确命题的序号）

①p:/n<-2或m>6;<7：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点；

@p.—\网：）f>）是奇函数，

③p:cosa=cos夕;q:tana=tanp\

®p:AC\B=A;q:QuBQCuA.

翻①④

8.已知不等式|2什3|<1的解集为集合4不等式P（2a+2）x+/+2aW0的解集为集合8,设条件

〃:A,条件q:x£B,若q是p的必要不充分条件,求实数a的取值范围.

廨由/-（2a+2）x+a2+2^W0,得aWKa+2,

故B={x|aWxWq+2}.

解不等式|2x+3|vl,得-24v-1,

故A={x\-2<x<-\}.因为q是p的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件.

所以A呈民故解得-3WaW-2,故实数a的取值范围是[-3,-2].

9.求关于x的方程（・/也+3山-2=0的两根均大于1的充要条件.

网设方程的两根分别为即K2,则原方程有两个大于I的根的充要条件是

即又,•,加+12=旭/12=3/«-2,，

故所求的充要条件为{川〃?>6+2}.

B组

1.设U为全集A8是集合，则“存在集合C使得AQC,BQCuC^AC\B=0^（）

A.充分不必要的条件

B.必要不充分的条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件

gg]c

2.“。>3。」”是“。3”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

瓯A

3.函数凡¥)=f+〃a+1的图像关于直线对称的充要条件是()

A.//7=-2B./M=2

C.w=-1D.w=l

四A

4.设〃是g的充分不必要条件，是q的必要不充分条件,s是r的充要条件，则s是p的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

函B

5.方程加+您+1=0至少有一个负的实根的充要条件是()

A.OvaW1

B.avl

C.aWl

D.O<a〈l或«<0

6.王安石在《游褒禅山记》中写道:“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉,

故非有志者不能至也.”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的条件.(填“充

分，，“必要，，“充要，，中的一个)

疆必要

7.设为平面,肛",/为直线，则对于下列条件:①a_LAan4=/,〃?_U;②any=〃i,a_LAyJ_夕;③a

±7，y?±y,/w±a;@n±a,w±/?,/n±a.

其中为mlfi的充分条件的是.(将正确的序号都填上)

噩②④

8.已知集合｝；命题p：x£4,命题并且命题p是命题q的充分条件，求

实数机的取值范围.

网化简集合4,由产以x+1,

配方，得y=.

•,•・ymin=,ymax=2.

:.y6.工A=.

化简集合氏由工+m221,

得x21-m2,.*.B=｛x|x>I-w2).

■:命题p是命题q的充分条件,...AG8.

:.1-〃於号解得机力或〃忘.,•实数m的取值范围是.

9.两个数列｛%｝和｛儿｝,满足儿=(〃GN+).证明:｛儿｝为等差数列的充要条件是｛斯｝为等差数列.

丽必要性:

由已知得a1+2a2+3«3+,,,+naa=n(n+1)bn,①

于是有a\+2a2+3«3+,,,+(n-1=n(n-1)­②

①-②整理得%=(”+i)Mn-i)frnl(n22).

设｛b〃｝的公差为d,由已知得ai=bi,

所以

an=(n+i)[ai+(n-1)d]-(n-1)[ai+(n-2｝d]=[(n+\)a\+(n+1)(n-1)J-(n-1)a\-(n-1)｛n-2jd\=a\+(«-1)•,

故数列伍”｝是首项为公差为的等差数列.

充分性：

由已知得n(n+\)bn=67i+2«2+3«3+,•,+nan.(*)

设等差数列｛〃“｝的公差为4贴

0+2。2+3。3+…+〃。,尸。1+2(。1+-)+3(。1+2J)+…+川a+(〃-1刈

=«1(1+2+3+…+〃)+4(22-2+32-3+…+/・〃)

=«1•+</

再结合(*)式得〃尸〃[+(〃-1)4.故数列｛5｝是以a\为首项，以d为公差的等差数列.

综上，｛瓦,｝为等差数列的充要条件是｛小｝为等差数列.

63全称量词与存在量词

课后篇巩固提升

1.下列命题与其他命题不同的是()

A.有个平行四边形是矩形

B.任何一个平行四边形是矩形

C.某些平行四边形是矩形

D.有的平行四边形是矩形

^]B

2.下列命题不是特称命题的是()

A.有些实数没有平方根

B.能被5整除的数也能被2整除

C.存在｛x|x>3｝,使N-5x+6〈0

D.有7个肛使2-机与依卜3异号

3.命题“对任意的的否定是()

A.不存在R,使R-r+1<0

B.存在x£R，使3・f+1/0

C.存在R,使QN+1>0

D.对任意的>0

gUc

4.若命题p:Vx£,tanx>sinx,则命题的否定为()

A.BxEjanx<sinx

B.3i£,tanx>sinx

C.3x^,tanxWsinx

D.3x^,tanxWsinx

ggc

5.在下列特称命题中，假命题的个数是.

①有的实数是无限不循环小数；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有的菱形是正方形.

6.写出下列全称命题的否定.

(1)对任意x^R^+x+1>0:—.

(2)对任意x£Q炉十工十1是有理数:.

1)存在R,使/+X+1W0

(2)存在x£Q,使f+x+l不是有理数

7.写出下列特称命题的否定.

⑴存在使sin(a+4)=sin«+sinP,._;

(2)存在x,y£Z,使3x-2y=10:_.

屈第⑴对任意a/£R，有sin(Q+』)AinQ+sin/

(2)对任意x,y£Z,有3x-2月10

8.已知函数段)=心_2。+1.若命题“匕£(0,1)次x)和”是假命题,则实数a的取值范围是一

国更|口(1,+8)

9.写出下列命题的否定形式，并判断其真假.

⑴不论m取何实数，方程12+『用=0必有实数根；

(2)存在一个实数x,使得/+x+1W0;

(3)已知函数y(x)=cosx,则对任意x£R,都有fix)W1;

(4)对任意R,A2+2>0.

凰1)这一命题可以表述为“对所有的实数见方程有实数根，，其否定为，，存在实数

加,使得方程W+x-m=0没有实数根”.因为当A=l+4/n<0,即机<-时，一元二次方程没有实数根，

所以，命题的否定是真命题.

(2)这一命题的否定为“对任意实数x,都有/+.什1>0”.因为(+工+1=>0,所以它为真命题.

(3)这一命题的否定为“已知函数_/(x)=8Sx,则存在x£R,有段)>1”.因为危)£[//],所以

命题的否定为假命题.

(4)这一命题的否定为“存在xWRf+ZWO”.因为/+222,所以不存在x£R,使/+2W0.

即其否定为假命题.

10.若r(x):sinx+cosx>/",s(x):x2+"ir+1>0,如果对任意的x£R,r(x)为假命题且s(x)为真命题，求

实数机的取值范围.

网因为sinx+cos尸sin£[-],所以如果对任意的x£R,r(x)为假命题，即对任意的x£R,不等式

sinx+cosx>ni不恒成立，所以机2-.

又对任意的x£R,s(x)为真命起即对任意的x£R,不等式f+/心+1>0恒成立，所以方程

$+〃比+1=0的由I另”式AumZYco,即-2〈5〈2.

综上可知，如果对任意的％£R,r(x)为假命题且s(x)为真命题，则.《阳<2.故机的取值范围

为匕2).

§4逻辑联结词“且”“或”“非”

课后篇巩固提升

A组

1.若P是真命题可是假命题，则()

A.p且q是真命题B.p或夕是假命题

C.「p是真命题是真命题

答案|D

2.由下列各组命题构成的新命题“p或4”和“p且4”都为真命题的是()

A.p:4+4=9,q:7)4

B.p:a£{a力,c}，夕:{a}&{ahe}

C.p:15是质数q:8是12的约数

D.p:2是偶数q2不是质数

函B

3.已知p与q是两个命题，给出下列命题：

(1)只有当命题p与q同时为真时，命题"p或"'才能为真；

(2)只有当命题p与q同时为假时，命题“p或q”才能为假；

(3)只有当命题p与q同时为真时，命题“p且4”才能为真；

(4)只有当命题p与q同时为假时，命题“p且q”才能为假.

其中正确的命题是()

A.(l)和(3)B.(2)和(3)

C.⑵和(4)D.⑶和(4)

4已知全集若p:eu8),则“#〃”是()

A.eAB.GCsB

c.g(4ng)D.e[(CsA)n(CsB)j

fgD

5.已知命题p:存在x£R,使tanx=l,命题^:X2-3A:+2<0的解集是{x[l<x<2}.有下列结论：

①命题"p且是真命题;②命题且非夕"是假命题;③命题“非p或q”是真命题;④命题“非p

或非g”是假命题.

其中正确的是()

A.②③B.①@④

C.(D®@D.@@③④

福D

6.用适当的逻辑联结词填空(填“且”或“或”)：

⑴若a2+左=0,则a=06=0;

⑵若而=0,则fl=0^=0;

(3)平行四边形的一组对边平行______相等.

疆(1)且⑵或(3)且

7.如果命题“非〃或非g”是假命题，对于下列结论:①命题"p且q”是真命题;②命题“p且q”是假

命题;③命题“P或4”是真命题;④命题“p或g”是假命题.其中正确的是_____.(填序号)

gg|S<3)

8.命题p:l是集合{xl^va}中的元素；

命题q：2是集合{x*va}中的元素.

若“p且夕”是真命题，则a的取值范围为.

|答案|{a|a>4}

9.已知命题p:函数)，=1|1(〃/-4大+〃”的定义域为R,命题0任意的[1,10],函数y=x+>m恒成

立.

⑴若p为真命题,求实数机的取值范围；

(2)若(「p)Vg为真命题且LyOAq为假命题,求实数m的取值范围.

微I)当/n=0时,y=ln(-4x),定义域为(-8,0),不满足题意,舍去;当m对时，要使y=\n(inx2-4x+m)

的定义域为R,则解得〃>2.

综上,〃？的取值范围是(2,十8).

(2)当q为真命题时尸=4,当且仅当尸，即尸2时等号成立，

所以当“£[1,10]时Jmin=4,即皿*.

因为(Y)Vq为真命题且Qp)Ag为假命题，

所以rp,q一真一假，所以p,q真假相同，

当〃假4假时，此时m不存在，

当p真q真时，此时2cms4,

综上网的取值范围是(2,4].

B组

1.若命题"P或夕”与"p且夕”中一真一假，则可能是()

A.p真q假B.p真q真

C.非p真学假D.〃假非g真

量A

2.命题“原函数与反函数的图像关于直线yf对称”的否定是()

A.原函数与反函数的图像关于直线y=/对称

B.原函数不与反函数的图像关于直线yr对称

C.存在一个原函数与反函数的图像不关于直线y=x对称

D.存在原函数与反函数的图像关于直线y=x对称

SC

3.已知命题p:“x>2是炉>4的充要条件”，命题/“若，则4>以则()

A."p或g”为真B.“p且q”为真

C.p真q假D.p,q均为假

藐A

4.设命题p:函数y=cos2x的最小正周期为;命题夕:函数凡t)=sin的图像的一条对称轴是x=-,

则下列判断正确的是()

A.p为真B.非q为假

C.p且q为真D.p或夕为假

答案1

5.已知p:点P在直线产2x-3上,夕:点P在直线>'=-3x+2上，则使命题p且夕为真命题的一个点

PQJ)是.

|答案|(1,-1)

6.若匕£[2,5]或{x\x<\或x>4}”是假命题，则x的范围是.

礴[1,2)

7.已知函数①/(x)=|x+2|;②/(x)=(x・2)2;③/(x)=cos(x.2).现有命题〃於+2)是偶函数;命题q:j(x)

在(a,2)内是减函数，在(2,+8)内是增函数.则能使〃且g为真命题的所有函数的序号

是.

噩②

8.已知oWR,命题〃”彳£[1,2],@;命题q3x^Ry+2ax-(a-2)=0.

(1)若p是真命题，求。的最大值；

(2)若p\q是真命题,〃△,是假命题，求a的取值范围.

国(1)令心)=舄若命题p：Vx£[l,2],g2为真命题，则Y/(X)min,又以)min=L所以Cf<l.

所以。的最大值为1.

(2)因为p\/q是真命题,p△夕是假命题，

所以p与q一真一假.

当q是真命题时公=4/_4(2-。左0,

解得t?<-2或a>\.

当p是真命题,q是假命题时，有

解得

当p是假命题q是其命题时，有

解得々>1.

综上,a的取值范围为(-2/)U(1,+oo).

9.已知命题p:%i和12是方程f-〃?x-2=0的两个实根,不等式〃-5a-3Hm|对任意实数加£［-11］

恒成立;命题g：不等式0?+2^-1>0有解.若p且q是假命题，非p也是假命题.求实数a的取值

范围.

魁且q是假命题，非p是假命题,，命题p是真命题，命题q是假命题.是方程

/-mx-2=0的两个实根,J

***|-V|-X2|=.

・・・当，〃任［-1,1］时Ml-Mmax二3.

由不等式a2-5a-3Kx「X2|对任意实数切仁［-1,1］恒成立，可得a2-5a-3>3..\a>6或a<-l,

:,当命题p为真命题时,。之6或^<-1.

命题g:不等式0^+2^-1>0有解，

①当a>0时，显然有解；

②当«=0时,2x-l>0有解；

③当a<0Bt,Va?+2v-l>0,/.A=4+4«>0,

；・-l<avO.从而命题q:不等式办2+2^1>()有解时依>“.又命题q是假命题,.••妙/.

综上所述得=无-1.

・•・所求a的取值范围为(-oo,-“.

第二章_空间向量与立体几何

§1从平面向量到空间向量

课后篇巩固提升

1.下列命题中，假命题是()

A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小

B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C.只有零向量的模等于0

D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则不一定有m=p

SgD

2.在四边形48CO中，若，且||二||,则四边形A8C。为()

A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定

3.把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，则这些向量的终点所构成的图形是()

A.一个圆B.两个孤立的点

C.一个球面D.一，1、平面

ggc

4.在正三棱锥41CO中,£尸分别为梭4氏CO的中点，设<>=«<>=£,则a+p=()

A.B.C.D・

5.下列命题：

①两个相反向量必是共线向量；

②温度含有零上温度和零下温度，所以温度是向量；

③已知空间四边形ABCD则由四条线段AB,BC,CRD4分别确定的四个向量之和为零向量;

④不相等的两个空间向量的模必不相等.

其中，真命题的序号为.

①

6.如图，在正方体中£尸,6,“分别是ABAD,BC,CCi的中点，则

<>=.

7如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC-A山iG.

(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，找出与向量相等的向量;

(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，找出向量的相反向量；

(3)若E是的中点，找出与向量平行的向量.

凰1)由正三棱柱的结构特征知，与相等的向量只有向量.

(2)向量的相反向量为.

(3)取AAi的中点尸，连接BE

则都是与平行的向量.

8.如图，在正方体ABCO-A中，求：

(1)<>,<>,<>;

(2)<>,<>.

解(I)•・•ABCD-ABCD为正方体，

:,AB〃ABAD工DCAB〃CD：

A<>=0,<>=,<>=7c.

(2).・•在正方体ABCD-A'B'C'。'中AD//BC.

.・.<>=<>=.连接AC,

则△AC。'为等边三角形，

/.<>=.

9.

如图，在四棱锥P-ABCD中/Z)J_平面ABC。,底面ABCD为正方形闰PZ)=CDE尸分别是

PC,PB的中点.

(1)试求以尸为起点的直线DE的一个方向向量；

⑵试求以尸为起点的平面PBC的一个法向量.

1)如图，取A。的中点M连接MF,EF,

■:E、F分另U是PC,PB的中点,:.EF7BC.

^BCAD,：.EF\AD,

:・EF，DM,

・•・四边形OEFM是平行四边形,・•・"尸〃。瓦

二是以F为起点的直线DE的一个方向向量.

(2):PD_L平面ABCD,:.PD1BC.

又BC工CD,且PDC\DC=D,

・・・BC_L平面PCD.

•.•。年平面PCD,：.DE工BC.

大PD=CD,E为PC的中点，

：・DELPC.

又BCnPC=C,，OE_L平面PBC,

，是平面P8C的一个法向量，

由（1）,可知,・•・就是以F为起点的平面尸8c的一个法向量.

§2空间向量的运算

第1课时空间向量的加、减法及数乘运算

课后篇巩固提升

A组

1.如图，已知平行六面体是CC上的一点，下列结论错误的是（）

答案B

2.设a,b是两个不共线的向量,2/WR,若Aa+"b=O,则（）

A.a=b=OB.2=〃=0

C.2=0,b=0D."=O,a=O

答案|B

3.设空间四点0A8,P满足+。其中0<r<l,则有（）

A.点P在线段AB上

B.点尸在线段AB的延长线上

C.点P在线段BA的延长线上

D点P不一定在直线AB上

fgA

4.已知正方体48CD-A31G。的中心为0,有下列结论：

①是一对相反向量；

②是一对相反向量；

③是一对相反向量；

④是一对相反向量.

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

KG

/\D

/2・•

5.如图所示,在平行六面体48czM历G。中£尸分别在8山和。力上，且BE=BBi,DF=DDl.

若=3+丁+马贝ljx+y+z等于（）

6.在四面体4-8CO中,£F分别是AB,CD的中点，则的关系是（填平行、相等或相

反）.

露平行

7.若非零向量ei,.不共线，则使kei+ez与ei+ke?共线的攵值为.

藕B或-1

8.如图，在平行六面体ABCD-A]B]C]D\中,=2.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.

AB

圆如图，连接AN,S1])=)-)=c+(b-c)-(a+b)=-a+b+c.

B组

1.如图，在三棱柱A3CABQ中，。是CG的中点，尸是48的中点，且』+我,则（）

A.a=/=-l

B.a=-,/?=l

C.a=\,fl=-

D.a=-l/=

量A

2.已知空间向量满足||二||+||,则()

A.B.=-

C.同向D.同向

3.在空间四边形OABC中,G是的重心，若=a,二b尸c,则等于()

A.a+b+c

B.a+b+c

C.a+b+c

D.3a+3b+3c

答案B

4.如图，在三棱锥中，若△88是正三角形,E为其中心，则化简的结果为.

答案0

5.如图，已知正四棱锥P-ABCD点0是正方形ABCD的中心是CD的中点.

⑴若+x+y,求x,y的值；

⑵若=〃?+〃,求机,〃的值.

励1)因为尸，所以x=y=-.

(2)因为。为AC的中点,。为CD的中点，所以=2=2,所以=2=2,所以=22所以机=2,〃=2

BF

如图,在空间四边形ABCD中,E,H分别是边ABAD的中点,F,G分别是力CB,CD上的点，且.

求证:四边形E/G”是梯形.

庭国因为分别是边A8/O的中点，

所以)=)=)=.

所以，且||二|邦.

又因为点尸不在E”上，

所以四边形EFGH是梯形.

第2课时空间向量的数量积

课后篇巩固提升

A组

1.下列命题中正确的是()

A.(ab)2=a2b2

B.|ab|<|a||b|

C.(ab)c=a(bc)

D.若a_L(b-c),则ab=ac=O

前B

2.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点EF,G分别是484XOC的中点，则下

列向量的数量积等于〃的是()

A.2

B.2

C.2

D.2

如图，己知P4J•平面4〃C,NABC=120o,PA=AB=BC=l,51iJPC等于()

A.B.l

C.2D.4

Ige

4.已知a,b是两个非零向量，现给出以下命题：

①ab>O=va,b>£;

(2)a-b=0<=><a,b>=;

③a・b<O=<a,b>£;

@|ab|=|a||b|<=><a,b>=7t.

其中正确的命题有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.若|a|二|b|,且非零向量a.b不平行，则a+b与a-b所在直线所形成的角的大小是.

磔

6.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|二l,|c|=4,则ab+bc+ca的值为.

7.己知空间向星.m,n,设|m|二l,|n|=2,2m十n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,求

廨[、：(2m+n)±(m-3n),.*.(2m+n)-(m-3n)=0,

又|m|二l,|n|=2,:.mn=-2,

又・.・间==6,

|b|==3,

a-b=(4m-n)-(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+m-n=18,/.cos<a,b>==l,/.<a,b>=0°.

8.如图，在四面体A-BCD中/8=2,8。=3,8。=2,8=3,24瓦)=30。,/48。=60。,求A3与CO的

夹角的余弦值.

111|cos<>-111|cos<>=2x2xcos1500-2x3xcos120°=-6+3=-3,

：•cosv>-―

JAB与CO的夹角的余弦值为.

9.如图，在正三棱柱ABC-ABiG中,若侧面对角线A8i_L4G,求证：4CJ_4S.

怔明|由题意，设=a,=b,=c,|a|二|b|二叫c|=〃,

则ab=w2cos60°=,ac=bc=0.

*/AB\_LBCi,且=-a+c,=b+c,/.=(-a+c)-(b+c)

=-a-b+c2=n2-m2=0,ni2=2n1,

：•=(-a+c)-()

=(-a+c)(-c-a+b)=a2-c2-ab

=m2-n2-fti2=0,j41C_LAB].

B组

1.设a,b,c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：

①(a・b)-c-(c-a)b=0;

(2)|a|-|b|<|a-b|;

③(ba)c-(ac)b不与c垂直;

®(3a+2b)«(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.

其中正确的有()

A.®®B.®@C.③④D.@@

瓯D

2.平行六面体ABCD-A\B\C\D\中，8=14。=241产3,/84。=90。,/班4=/0"产60。,则

AG的长为()

A.B.C.D.

函B

3.己知空间向鼠a,b满足|a|二|b|二l,£La,b的夹角为。为空间直角坐标系的原点，点A,B满足

=2a+b,=3a-b,则△O4B的面积为()

A.B.C.D.

奉B

4.如图，在正方体A8CD-A出GO中，。为4c与5Q的交点。为CG的中点用向量法证明

_1_平面GBD.

怔明|设=a,=b,=c,则ab=0,b-c=0,a-c=0.而)=c+(a+b),=b-a,)+(a+b)-c,

所以-(b-a)

=c*(b-a)+(a+b)-(b-a)

=c-b-c-a+(|b|7-|a|?)

=(|b|2-|a|2)=O.

所以.所以40_L8D

同理可证，所以4O_LOG.又因为OGnBD=O,且403平面G8Q,所以4O_L平面GBD.

5.在平行六面体A8CO-A向中,NAiA5=N4iAO=NB4O=60°A4]=A8=A£>=.

⑴求II；

(2)求证:4G_L平面AiBO;

(3)求的夹角.

(1解令=a,=b,=c,如I=a+b+c,:.

||=|a+b+c|==(a2+b2+c2+2a-b+2b-c+2c-a=(3+3+3+2x+2x+2x=3.

(2画=a-c,/.=(a+b+c)-(a-c)=a2-a-c+ba-b-c+c-a-c2=0.

・・・，又二上《同理，

：.ACi垂直于平面48。内的两条相交直线41O4|8,・・・AC_L平面ABD

(3)|^-|cos<>=

==・.

・••的夹角为K-arccos.

6.如图，正方形ABCD与正方形ABEF的边长均为1,且平面A8CO_L平面ABE尸，点M在AC上

移动，点N在3尸上移动.若CM=BN=a(0<a<).

A

⑴求MN的长度；

(2)求当a为何值时,MN的长最小.

阚(I)由题意，得AC=,BF=,CM=BN=a,

=)+)

=)-(-)

A11=

=(0<a<).

(2)由⑴，知当〃=时,||有最小值为，即MR分别为AC,BF的中点时,MN的长最小，且最小值

为.

§3向量的坐标表示和空间向量基本定理

3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示

课后篇巩固提升

L在空间直角坐标系O-xyz中，下列说法正确的是()

A.向量的坐标与点B的坐标相同

B.向量的坐标与点4的坐标相同

C.向量的坐标与向量的坐标相同

D.向里的坐标与向量的坐标相同

量D

2.在空间直角坐标系中,所有点尸。,2017,2018)(X£2的集合表示()

A.一条直线

B.一个平行于xOz平面的平面

C.一个平行于xOz平面的平面

D.两条直线

3.点M(-1,3,4)在坐标平面xOy^yOz内的投影的坐标分别是()

A.(-l,3,0),(-lA-4),(0,3,-4)

B.(0,3,-4),(-lA-4),(0,3,-4)

C.(-l30),(-13~4),(03-4)

DW,0),(-1,0,0),(0,3,0)

量A

4.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),则下列叙述正确的个数是()

①点尸关于x轴对称的点的坐标是Pi(“y,z);

②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x,-y,-z);

③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x,-y,z);

④点P关于原点对称的点的坐标是尸4(-x,-y,-z).

A.3B.2

C.lD.O

答案上

5.已知ij,k为标准正交基,a=i+2j+3k,则a在i方向上的投影为()

A.lB.-1

C.D.-

丽A

6.如图，以长方体ABCD-AxBxCxDx的顶点D为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴,

建立空间直角坐标系，若的坐标为(5,4,3),则的坐标为.

答案|(5,4,-3)

7.已知|a|二,a与单位向量e的夹角为兀则a在e上的投影为.

重

8.已知A8CD-43Gd是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出

A,比CQA,Bi,G,Oi的坐标，并写出的坐标.

画4(1,0,0)网1,1,0),C(0,1,0),0(0,0。)A(1A1)3i(1,1,1),Ci(0,1,1),Di(O,0,1).

=(1,O,O),=(1,1,O),=(O,1,O),=(OJJ)=(OA1X=(LOJ),=(L1,1).

9.如图，三棱柱A3aAl81cl的底面是边长为4的正三角形A4|_L平面为AS

的中点.以O为原点，以的方向分另!为x轴、)，轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(其中O

为AB的中点)，试求向量的坐标.

圈依题意0(00,0)工(・2。0),8(2,0,0),C(0,2,0),M(0,0,2).

・•・=(0,2,-2)=(4,0,0).

10.如图，在长方体ABCD-A\B]C\D\中＜B=2,BC=1,CG=1,求:

⑴上的投影；

（2）上的投影.

凰1）由题易知平面ABCD,

所以上的投影为||cosN。㈤。=||二.

⑵由题易知DQ_L平面BCGBi,所以上的投影为||cosZD}BC}=\\=

3.2空间向量基本定理

课后篇巩固提升

A组

1.下列命题是真命题的有（）

①空间中的任何一个向量都可用a,b.c表示;②空间中的任何一个向量都可用基底a.b,c表示;

③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示;④平面内的任何一个向量都可用平

面内的两个向量表示.

A.4个B.3个C.2个D.1个

ggc

2.设命题p:a,b,c是三个非零向量;命题qab,c为空间的一个基底,则命题p是命题q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

轴B

3.已知a,b,c是不共面的三个向量则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是（）

A.2a,a-b,a+2bB.2b,b-a,b+2a

C.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c

4.已知向量a,b,c是空间的一个标准正交基，向量a+b.a-b,c是空间的另一个基底，若向量p在

基底a,b,c下的坐标为（3,2,1）,则它在{a+b,a-b,c}下的坐标为（）

A.B.

CD.

5.已知平行六面体OA8COA5c中尸a,=b,=c.若D是四边形OABC的中心，则（）

A.=-a+b+c

B.=-b+a+c

C.a-b-c

D.a+c-b

6.已知ei,e2,e3是空间的一个基底，若加1+"。2+比3=0,贝U22+//2+^=.

g®0

7.如图，己知四面体O-ABC,M是OA的中点,G是AABC的重心，用基底表示向量的表达式

为.

3

8.如图，已知ABCO-ABCTT是平行六面体，设M是底面ABCD的对角线的交点,N是侧面

8CC5对角线5c上的点，且分的比是3:1,设=Q+4+%则a,Ay的值分别

为,,.

/东奖二

9.如图，已知P4_L平面A8C。,四边形A8CO为正方形。为△PQC的重心尸i,=j,=k,试用基底

ij,k表示向量.

=)

=i+j-k.

==-i+j+k.

B组

1.在以下3个命题中，真命题的个数是（）

①三个非零向量a,b.c不能构成空间的一个基底，则a,b,c共面.

②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a,b共线.

③若a,b是两个不共线向量，而c=2a+4b（2/£R且〃邦）,则｛a,b,c｝构成空间的•个基底.

A

如图，设=a,=b,=c,若=2,则=（）

A.a+b-c

B.-a-b+c

C.a-b-c

D.-a+b+c

薪A

3.已知A-BCD是四面体,。为△BCD内一点，则）是0为ABCD的重心的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

D

4.如图，若P为平行四边形ABC。所在平面外的一点，且G为△PC。的重心，若=x+y+z,试求

x+y+z的值.

网取CD的中点从连接PH（图略）「JG为丛PCD的重心，

=)=

=)+)

.*.x=,y=,z=,*.x+y+z=.

5.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,N4C8=9(r,E4_L平面ABCD,EF//

AB、FG〃BC,EG〃ACAB=2EF.若M是线段AD的中点，求证:GM〃平面ABFE.

,

^^\EF//AB,FG//BCJEG//ACJZACB=90%

NEGF=900AABCsAEFG.

,：AB=2EFS-AC=2EG.

：M为A。的中点,JMA=DA.

・•・.又AFS平面平面ABFE,

；・GM〃千面ABFE.

6.

如图,在平行六面体ABCD-EFGH中，已知M,N,R分别是ABADAE上的点，且

人M"A"<N=NO/R=2RE,求平面MNR分对角线AG所得的线段AP4AG的比.

廨|设二〃］，由=2+3,得=2旭+3/儿

•；P,M,R,N臼点、共面,

2/w+m+3m=1,解得〃?二,即.

3.3空间向量运算的坐标表示

课后篇巩固提升

A组

1.若向量a=(l,l力,b=(l,2,l),c=(l,l,l),满足条件(c.a)・2b=-2,则x的值为()

A.-2B.2C.OD.-1

SgB

2.下列各组向量中，不平行的是()

A.a=(l,2,-2),b=(-2,-4,4)

B.c=(l,0,0),d=(-3,0,0)

C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)

D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)

答案|D

3已知向量a=(l,3,3),b=(5,0,l),则|a-b|等于()

A.7B.C.3D.

蠲B

4.若向量a=(l,；.,2),b=(-2,U),a,b夹角的余弦值为，则2=()

A.IB.-lC.±lD.2

H]A

5.已知三个力FI=(1,2,1)量2=(-1,-2,3)黑3=(2,2,-1),则这三个力的合力的坐标为()

A.(2,2,3)B.(0,0,0)

C.D.0

嬴A

6.已知点4(1,211),8(4,2,3),C(6,-1,4),则△A8C的形状是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

答案c

7.已知向量与b=(4,2-2肛2-2用)平行，则m的值等于.

僭案|1或3

8.已知空间向量a=(2,-l,3),b=(-4,4v),若a_Lb，则x=;若a〃b,则尸.

礴-6

9.已知向量a=(l,-3,2),b=(-2,l,l),点A(-3,-L4),5(-2,-2,2).

⑴求|2a+b|.

(2)在直线A8上是否存在一点瓦使_Lb(O为原点)?若存在，求出点E坐标;若不存在，说明理由.

额)・・,2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),

A|2a+b|==5.

⑵假设存在这样的点E,则+/=(-3,-1,4)+/(1,-1,-2)

=(-3+],・1“,42).

若J_b,则・b=0,即-2(-3+r)+(-l-f)+(42)=0,解得f=，故存在点瓦使_1_1),此时E点坐标为.

10.己知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a//b,b_Lc,求:

(1)a,b,c；

(2)a+c与b+c所成角的余弦值.

幽1)•・•a〃b,・•・，解得人=2j—4,

故a=(2,4,l),b=(-2,-4,-l).

又1)_1_<:,，1)<=0,即-6+8-2=0,解得z=2,

故c=(3,-2,2).

(2)由(1)可得a+c=(5,2,3),b+c=(l,-6J),

设向量a+c与b+c所成的角为夕，

则cos0==-.

B组

1.已知a=(l,2,3),b=(3,0,-l),c=,给出下列等式：

©|a+b+c|=|a-b-c|;@(a+b)-c=a-(b+c);@(a+b+c)2=a2+b2+c2;@(a-b)-c=a-1b-c).

其中正确的个数是()

A.lB.2C.3D.4

答案|D

2.已知@=(1,1,0)力二(-1,0,2),且布+1)与224>的夹角为钝角,则实数攵的取值范围为.

■(.2)U

3.已知向量a=(0,-1,1),b=(2,2,1),计算：

(l)|2a-b|;

(2)cosa,b;

(3)2a・b在a上的投影.

®l)Va=(0rl,l),b=(2,2,l),

・•・2a-b=2(0,-1,1)-(2,2,1)=(-2,-4,1),

A|2a-b|=.

(2)Va=(0,-l,D,b=(2,2,l),

.•・a-b=(0,-l,l)(2,2,l)=-2+l=-L

|a|=,|b|==3,

/.cosa,bn==-.

(3),・,(2a-b)a=(-2,-4J)(0,-l,l)=5,

••・2a・b在a上的投影为.

4.己知空间三点A(0,2,3),8(-2,l,6),C(l,-1,5),求以为邻边的平行四边形面积.

gvA(0,2,3),B(-2,l,6),C(l,-l,5),

・•・=(-2,1,6)-(0,2,3)=(-2,-1,3),

=(1,-1,5)-(0,2,3)=(1,-3,2).

・・・11二,

11=,

=(-2,-1,3),(1,-3,2)=-2+3+6=7.cos<