（4）平面向量-2024年高考数学真题模拟试题专项汇编含答案

（4）平面向量

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编一、选择题1．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知向量，，若，则()A.-2 B.-1 C.1 D.22．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知向量a，b满足，，且，则()A. B. C. D.13．[2024届·黑龙江牡丹江·模拟考试]已知,,为不共线的平面向量,,若,则在方向上的投影向量为()A. B. C. D.4．[2024届·云南曲靖·模拟考试]已知O是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.5．[2024届·江西·模拟考试]已知,,为非零的平面向量,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．[2024届·山东威海·二模]已知向量a，b满足，，且对，，则=()A.-2 B.-1 C.1 D.27．[2024届·山西长治·一模校考]如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则()A.-8 B.-4 C.0 D.48．[2024届·湖南师大附中·模拟考试]若,为单位向量,在方向上的投影向量为,则()A. B. C. D.9．[2024届·河北衡水·二模联考]若，，，则实数()A.6 B. C.3 D.10．[2024届·海南·模拟考试校考]设平面向量,,且,则()A.1 B.14 C. D.11．[2024届·江苏省前黄高级中学·一模]已知向量,满足,,且,则与的夹角为()A. B. C. D.12．[2024届·湖南·一模]已知平面内的三个单位向量,,,且,,则()A.0 B. C. D.或013．[2024届·河北·模拟考试]已知,为平面向量,其中,,,则()A.1 B.2 C. D.4二、填空题14．[2024届·湖北·模拟考试联考]已知向量,，若,则实数______.15．[2024届·福建泉州·模拟考试校考]已知,,且,则在上投影向量为__________.

参考答案1．答案：D解析：解法一：因为，所以，即.因为，，所以，，得，所以，解得，故选D.解法二：因为，，所以.因为，所以，所以，所以，解得，故选D.2．答案：B解析：由，得，所以.将的两边同时平方，得，即，解得，所以，故选B.3．答案：D解析：由可得,又,如图所示,由平行四边形法则可得四边形为菱形,故,互相垂直平分,所以在方向上的投影向量为,故选：D.4．答案：C解析：由，所以O是的中点，又O是的外心，则，再由，又，则为正三角形，则，角度一：如图，过点A作，垂足为D，则，，所以向量在向量上的投影向量等于.角度二：设，则，所以，所以向量在向量上的投影向量等于.故选：C.5．答案：B解析：若,则,在方向上的投影向量相等,但与不一定相等;若,则,所以“”是“”的必要不充分条件.故选B6．答案：C解析：因为，所以，所以，因为对，，所以，所以，所以.故选：C.7．答案：A解析：如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，，故选:A.8．答案：D解析：在方向上的投影向量为,得.由于,为单位向量,因此,于是.选D.9．答案：B解析：因为，所以，即，所以，因为，，所以，所以，解得.故选：B.10．答案：B解析：因为,所以又,则所以,则,故选：B.11．答案：D解析：因为,所以,即,又,,所以,解得,又,则与的夹角为.故选:D.12．答案：D解析：如图,,,（或）,由得,又,所以,由得,又,所以,(或,又,所以)所以,夹角为或,所以或0.13．答案：B解析：结合题意可得：因为,,.故选：B.14．答案：-1解析：，，，则，解得.故答案为：-115．答案：解析：设,由可知①,而,,所以由可得②,由①②可得,解得,则,所以或者,又,向量在上的投影向量是.故答案为：.（5）数列

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编一、选择题1．[2024届·重庆市第八中学·模拟考试]已知数列的前n项和为，设甲：是等差数列，乙：，则甲是乙的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．[2024届·长沙市第一中学·模拟考试]定义：在数列中，，其中d为常数，则称数列为“等比差”数列.已知“等比差”数列中，，则()A.1763 B.1935 C.2125 D.23033．[2024届·浙江温州·二模]已知等差数列的前n项和为，公差为d，且单调递增.若，则()A. B. C. D.4．[2024届·合肥一六八中学·模拟考试]数列中，，，则()A.210 B.190 C.170 D.1505．[2024届·辽宁省实验中学·模拟考试]设数列满足，，若，且数列的前n项和为，则()A. B. C. D.二、多项选择题6．[2024届·辽宁省实验中学·模拟考试]等差数列中，，则下列命题正确的是()A.若，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，则，7．[2024届·江苏省前黄高级中学·一模]已知等差数列的前n项和为，的公差为d，则()A. B.C.若为等差数列，则 D.若为等差数列，则8．[2024届·山东临沂·二模]已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是()A.若，，则B.若，则C.若，则D.若和都为递增数列，则三、填空题9．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]记为等差数列的前n项和.若，，则__________.10．[2024届·河南许昌·模拟考试校考]抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率为，记n次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为，则数列的通项公式____________.11．[2024届·河北衡水·二模联考]已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前n项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，则以下1003个方程中，有实数解的方程至少有_________个.四、双空题12．[2024届·河北·模拟考试]已知数列满足，且，则______________；令，若的前n项和为，则________________.五、解答题13．[2024届·辽宁省实验中学·模拟考试]已知正项数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，的前n项和为，求.14．[2024届·山西长治·一模校考]已知正项等比数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，设其前n项和为，求证：.15．[2024届·湖北·模拟考试联考]记为公比不为1的等比数列的前n项和.（1）求；（2）设，由与的公共顶从小到大组成数列，求的前n项和.

参考答案1．答案：C2．答案：B解析：因为数列是“等比差”数列，所以，因为，所以，所以有，累和，得，因此有，累积，得，所以，3．答案：A4．答案：C解析：由知数列是公差为的等差数列，所以.故选：C.5．答案：D解析：由可得，，，则可得数列为常数列0，即，，，.故选：D.6．答案：ACD解析：等差数列中，，对于A，，，A正确；对于B，，则，，则，，因此，即，B错误；对于C，，则，C正确；对于D，设的公差为d，由，得，解得，则，，D正确.故选：ACD7．答案：BD解析：A选项，，而不一定相等，A不正确；B选项，因为，，所以，故B正确；C选项，因为，若为等差数列，则，要想为常数，则，故C不正确；D选项，由题可知，若为等差数列，则为关于的一次函数，所以，即，故D正确.故选：BD8．答案：BC解析：9．答案：95解析：解法一：设的公差为d，由，，解得，，则.解法二：设的公差为d，由，，得，，故，，则.10．答案：解析：根据题意有：抛掷n次偶数次正面向上的情况由抛掷次偶数次正面向上的情况下第n次反面向上，或抛掷次奇数次正面向上的情况下第n次正面向上组成，可得递推关系为，构造数列，所以，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，又抛一次硬币，偶数次正面向上为0次，此时，所以，所以，故答案为：.11．答案：解析：由题意得，，又因为，，代入得，要使方程有实数解，则，显然第个方程有解，设方程与方程的判别式分别为，，则，即，等号成立的条件，所以，中至少一个成立，同理可得，中至少一个成立，…，，中至少一个成立，且，综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少个，故答案为：.12．答案：；解析：由，可得，即，两边取以4为底的对数得，又，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，所以；由，得，则，得，故，所以.故答案为：；13．答案：(1)(2)解析：（1）①②①-②整理得数列是正项数列，当时，数列是以2为首项，4为公差的等差数列，；（2）由题意知，，故.14．答案：(1)(2)证明见解