2021二次函数（中考25题）-含答案

二次函数综合题

1.(2021•重庆A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=/+云+。经过3(4,1).直线AB交

x轴于点C,P是直线45下方抛物线上的一个动点.过点P作垂足为。，庄/八轴，交于

点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当ATOE的周长取得最大值时，求点P的坐标和APDE周长的最大值；

(3)把抛物线y=W+云+。平移，使得新抛物线的顶点为㈡)中求得的点p.M是新抛物线上一点，N

是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形的点M的

坐标，并把求其中一个点〃的坐标的过程写出来.

备用图

2.(2021・重庆8卷)如图，在平面直角坐标系中,抛物线＞=加+辰-4("0)与”轴交于点4(-1,0),8(4,0),

与y相交于点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线/为该抛物线的对称轴，点。与点C关于直线/对称，点P为直线4）下方抛物线上一动点，连接

PA,PD,求面积的最大值.

（3）在（2）的条件下，将抛物线了二公、区-4（。/0）沿射线4）平移4夜个单位，得到新的抛物线力,

点七为点尸的对应点，点尸为X的对称轴上任意一点，在,上确定一点G,使得以点£>,E,广，G为

顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程.

备用图

3.（2020•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线），=/+加与直线/W相交于A,B两点,

其中A（-3,T）,8（0,T）.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P为直线48下方抛物线上的任意一点，连接PA,PB,求4%8面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线），=。"+如+。3产0）,平移后的抛物线与原抛物线

相交于点C,点。为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点3,C,O,

石为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

4.（2020•重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=〃2+加+2（。工0）与y轴交于点C,与x轴

交于4,B两点（点A在点4的左侧），且4点坐标为（-应，0）,直线AC的解析式为y=-孝工+2.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A作4O//5C,交抛物线于点。，点E为直线3c上方抛物线上一动点，连接CE,EB,BD,

DC.求四边形面积的最大值及相应点石的坐标；

（3）将抛物线y=or2+bx+2（"0）向左平移&个单位，已知点M为抛物线），=泼+加+2（。/0）的对称

轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点.在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A,

E,M,N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

5.（2019•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=V-21-3与x轴交于点A,B（点A在点3

的左侧），交y轴于点C,点。为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.

（1）连接比），点M是线段Q匕一动点（点M不与端点3,。重合），过点〃作MM_L8D,交抛物线

于点、N（点N在对称轴的右侧），过点N作N〃_Lx釉，垂足为“，交皿）于点F,点夕是线段0c上一动

点，当MN取得最大值时，求〃产+的最小值；

（2）在（1）中，当MN取得最大值，“尸+尸尸+gpC取得最小值时，把点尸向上平移等个单位得到点Q,

连接4Q,把A4OQ绕点。顺时针旋转一定的角度。（0。＜。＜360。），得到△HO。，其中边交坐标轴

于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使得NO=NQ'OG?若存在，请直接写出所有满足条件的点Q

的坐标；若不存在，请说明理由.

抛物线），=-咚/+*%+2百与“轴交于儿8两点（点A

6.（2019•重庆B卷）在平面直角坐标系中,

在点3左侧），与y轴交于点C,顶点为O,对称轴与x轴交于点Q.

(1)如图1,连接AC,BC.若点尸为直线8C上方抛物线上一动点，过点尸作尸E//y釉交于点

作尸尸_LBC于点尸，过点8作BG〃AC交)，轴于点G.点〃，K分别在对称轴和y轴上运动，连接产〃，

HK.当APE厂的周长最大时，求PH+//K+立KG的最小值及点，的坐标.

2

(2)如图2,将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为

N为直线。。上一点，连接点。，C，N,△DCN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点

N的坐标；若不能，请说明理由.

7.(2018•重庆A卷)如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y二-丁+而上，且横坐标为1,点、B与

点A关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点C,点。为抛物线的顶点，点上的坐标为(1,1).

(1)求线段4?的长；

（2）点尸为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点尸作43的垂线交于点”，点尸为），轴上一点,

当AP8K的面积最大时，求尸〃+"十!”O的最小值：

2

（3）在（2）中，+“尸+4尸。取得最小值时，将AOH绕点C顺时针旋转60。后得到△CVTT,过点

2

P作CF的垂线与直线AB交于点。，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S,

使以点O,Q,R,S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由.

备用图

8.（2018•重庆B卷）抛物线y=-四V一亚％+遍与1轴交于点A,B（点4在点/的左边），与丁轴

63

交于点C,点。是该抛物线的顶点.

（1）如图1,连接C。，求线段8的长；

（2）如图2,点P是直线AC上方抛物线上一点，轴于点尸，P尸与线段AC交于点E；将线段08

沿X轴左右平移，线段QB的对应线段是«片，当?E+的值最大时，求四边形PQBC周长的最小值,

并求用对应的点Oi的坐标；

(3)如图3,点”是线段"的中点，连接CH,将AOBC沿直线CH翻折至△0员。的位置,再将△O2B2C

绕点与旋转一周，在旋转过程中，点O2,。的对应点分别是点O3,。，直线03G分别与直线AC,x轴

交于点M,N.那么，在2c的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使A的是以MN为腰的等

腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段的长；若不存在，请说明理由.

9.(2021•沙坪坝区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线)，=姒2+勿；+3的图象经过点(2,3),

与x轴分别交于点A、点8(-1,0),与)，轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图1,过点8作4M〃AC交抛物线于点M,点P是直线AC上方抛物线上一动点，连接P8交AC

于点N,连接尸M,NM,当SA-取得最大值时，求点尸的坐标和5人,最大值；

（3）如图2,将该抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线y与原抛物线相交于点点方为原抛物线上

对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q,使以尸、C、E.。为顶点的四边形为矩形，请直接

写出。点坐标.

10.（2021•渝中区校级模拟）如图，抛物线y=o^+bx—3（4>0）与x轴交于A、8两点，交），轴于点C,

08=3,抛物线经过点（2,5）.

（1）求该抛物线解析式；

（2）如图1,该抛物线顶点。，连接必、BC,点尸是线段班）下方抛物线上一点，过点尸作轴,

分别交线段%＞、BC于点F、E,过点P作PG_L8£＞于点G,求2名PG+E厂的最大值，及此时点尸的

坐标；

（3）如图2,在），轴左侧抛物线上有一动点M,在y轴上有一动点N,是否存在以4V为直角边的等腰直

角三角形AMN?若存在,请直接写出点”的坐标.

11.（2021•九龙坡区校级模拟）若直线y=-2x+4与），轴交于点A,与x轴交于点5,二次函数

），=加+3%+。的图象经过点A,交x轴于C、D两点,且抛物线的对称轴为直线x=2.

2

（1）求二次函数的解析式；

（2）过点。作直线CE//A5交），轴于点E,点尸是直线CE上一动点，点。是第一象限抛物线上一动点,

求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；

(3)在(2)的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G,直线EQ交、轴于点尸，在抛物线

的对称轴上是否存在一点M,使得NMFQ+NC4O=45。，求点M的坐标.

12.(2021•沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+bx+c(aH0)与x轴交于A,B两点

(A在8的左侧)，与y轴交于点C(0,6),其中AB=8,tanZC4B=3.

(1)求抛物线的表达式：

(2)点P是直线上方抛物线上一点，过点P作叨//AC交x轴于点。，交8C于点E,求而PE-N/JBE

的最大值及点尸的坐标.

(3)将该抛物线沿射线CA方向平移2，记个单位长度得到抛物线乂，平移后的抛物线与原抛物线相交于

点尸，点G为抛物线.片的顶点，点M为直线尸G上一点，点N为平面上一点.在(2)中，当MPE-OBE

的值最大时，是否存在以「、E、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不

13.(2021•沙坪坝区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=以2+公一2(〃>0)与*轴交于A(-2,0),

8(1,0)两点，与y轴交于点C.

图1图2

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点0是第三象限内抛物线上一个动点，连接AC,过点。作于点E,求线段DE最大值及

此时点。的坐标：

(3)将抛物线向右平移5个单位得到抛物线y，.抛物线,,与抛物线y交于点尸，连接。尸，若点尸是x轴

上一动点，是否存在这样的点尸，使得NPCH=NOCF,若存在，请更接写出点P的坐标；若不存在，请

说明理由.

14.(2021•沙坪坝区校级一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线G:)，=-」/+加+。的图象与坐标轴

4

交于4、B、C三点，其中点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(T,0),点。的坐标为(0,4).

（I）求该二次函数的表达式及点C的坐标；

（2）若点尸为该抛物线在第一象限内的一动点，求AF8面积的最大值;

（3）如图2,将抛物线G向右平移2个单，立，向下平移5个单位得到抛物线G，M为抛物线。2上一动点，

N为平面内一动点，问是否存在这样的点M、N,使得四边形OMCN为菱形，若存在，请直接写出点N的

坐标；若不存在，请说明理由.

15.（2021•九龙坡区校级模拟）己知，二次函数丁=一立/+3x+2G图象与x轴交于A、B两点,与）'轴

62

交于点C,连接AC、BC.

（1）如图1，请判断AABC的形状，并说明理由；

（2）如图2,O为线段AB上一动点，作£>P〃AC交抛物线于点P,过产作PEJLx轴，垂足为E,交BC

于点尸，过F作尸G_LPE,交.DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和。点坐标：

（3）如图3,将抛物线沿射线AC方向移动之6个单位得到新的抛物线了=加+云+c（"0）,是否在新

2

抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N,使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为

边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由.

16.（2021•坪山区模拟）如图,抛物线y=一2%+c与x轴相交于4一1,0）,8（3,0）两点.

（1）求抛物线的函数表达式;

（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将AA8C沿直线AC翻折得到△A&C,点夕恰好落

在抛物线的对称轴上.若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△4B'G面积最大时点G的横坐标；

(3)点尸是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点。使得MPQ为等边三角形,

请直接写出此时直线AP的函数表达式.

17.(2021•江岸区模拟)如图，抛物线)，=/+云+。交K轴于A、8两点(点A在点8的左侧)，交y轴

于点C(0,5),连接BC,其中OC=5Q4.

(1)求抛物线的解析式；

（2）如图1,将直线沿），轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于。、E两点,交y釉于点G,若点P

是抛物线上位于直线8c下方（不与4、3重合）的一个动点，过点P作尸轴交DE于点A7,交BC

于点H,过点M作于点M,求PM+M7的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2,当点尸满足（2）问条件时，将ACBP绕点C逆时针旋转。（0。＜。＜90。）得到a（78'尸，此时

点£恰好落到直线ED上，已知点尸是抛物线上的动点，在直线ED上是否存在一点Q,使得以点C、&、

尸、。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

图1图2

18.（2021•沙坪坝区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线），=，/-Z%+3与％轴交于4、8两点（点A

22

在点6的左侧），交y轴于点C.点O是抛物线上位于直线下方的一点.

（1）如图1,连接4）,CD,当点。的横坐标为5时，求几3；

(2)如图2,过点。作OE//AC交于点E,求。£长度的最大值及此时点。的坐标;

<3)如图3,将抛物线y=+3向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线

22

y=ar+Z)x+c.新抛物线与原抛物线的交点为点尸，G为新抛物线的对称轴上的一点，点〃是坐标平面

内一点，若以C,尸，G,“为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点H坐标.

图1图2

19.(2021•九龙坡区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线「=0?+法一2(。工0)交x轴于

4(-1,0),8(4,0),交y轴于点C.

(1)求该抛物线解析式；

(2)点P为第四象限内抛物线上一点，连接尸8,过C作CQ//BP交x轴于点Q,连接PQ,求AP8Q面

积的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线y=ax2+bx-2(a^0)向右平移经过点Q,得到新抛物线

y=q/+*v+q(qHO),点E在新抛物线的对称轴上，是否存在平面内一点尸，使得A,P,E,广为

顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

20.(2021•九龙坡区校级模拟)如图，抛物线丁=公2+加+黄。=0)与x轴交于点A、B(点A在点8的

左边)，与y轴交于点C,点A、C的坐标分别为(-3,0)、(0,2),对称轴为直线x=-2.

(1)求抛物线的解析式：

(2)如图，点。与点C关于抛物线的对称轴对称，连接AC,过点。作。石〃AC交抛物线于点E,交)，轴

于点M.点尸是直线AC下方抛物线上的一动点，连接"'交AC于点G,连接EG,求AEFG的面积的最

大值以及取得最大值时点F的坐标,

（3）在（2）的条件下，点?为平面内一点，在抛物线上是否存在一点Q,是以点尸、Q、尸、C为顶点

的四边形为矩形，如果存在，直接写出点P的坐标，如果不存在，说明理由.

21.（2021♦渝中区模拟）如图，已知抛物线y=a?+4x+c与直线相交于点4（0,1）和点B（3,4）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设C为直线48上方的抛物线上一点，当A46C的面积最大时，求点C的坐标;

（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y+如+。（。尸0）,

平移后的抛物线与原抛物线相交于点O,是否存在点石使得A4L陀是以AD为腰的等腰直角三角形？若存

在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（2021•万州区模拟）在平面直角坐标系X。），中，抛物线y=gx2-2x-6与x轴交于点A、B（点A在

点B左侧），与），轴交于点C,顶点为点。.

（1）求点5、。的坐标;

（2）如图1,点尸在直线下方抛物线上运动（不含端点5、D）,记APCA的面积为记的面

积为$2，求2S1-S2的最大值及此时点尸的坐标;

（3）如图2,将该抛物线沿直线08平移，设平移后的新抛物线的顶点为与。不重合），新抛物线与

直线08的另一个交点为点E,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点C、O'、E、尸为顶点的四边

形为矩形？若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

23.（2021•渝中区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线y=ad+加+3与），轴交于点C,与x轴交

于A,8两点（点4在点8的左侧），其中A（-2,0）,并且抛物线过点44,3）.

（1）求抛物线的解析式：

（2）如图1,点尸为直线C8上方抛物线上一点，过P作PE〃》轴交BC于点E,连接CP,PD,DE,

求四边形C灯把面积的最值及点P的坐标:

(3)如图2,将抛物线沿射线C4方向平移得新抛物线y=4/十"/十。(4工0),是否在新抛物线上存在点

M,在平面内存在点N,使得以A,C.M，N为顶点的四边形为正方形？若在，直接写出此时新抛物

线的顶点坐标，若不存在，请说明理由.

图2

24.(2021・沙坪坝区模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=$2+云+。与尤轴交于点4-1,0),3(3,0)

与y相交于点C.

(1)求该抛物线的函数表达式;

(2)点尸是直线3c下方抛物线上的任意一点，连接尸B,PC,以PB,PC为邻边作平行四边形CP4D,

求四边形c/有。面积的最大值;

（3）将该抛物线沿射线C6方向平移号个单位，平移后的抛物线与），轴交于点E,点M为直线4c,上的

一点，在平面直角坐标系中是否存在点Z,使以点C,E,M,N为顶点的四边形为矩形，若存在，请

直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

25.（2021•九龙坡区模拟）如图，已知抛物线y=or2+bx+2的图象与x轴交于A,8两点，与y轴交于点

C.-1,3是关于工的一元二次方程如2+加+2=0的两个根.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）过点A作交抛物线于点。，AD与y轴交于点E,P为直线BC上方抛物线上的一个动点,

连接帖交8c于点/，求SAPEF的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，点M为抛物线上一动点，在平面内找一点N,是否存在以点A,M,N,P为

顶点的四边形是以外为边的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

备用图

26.（2021•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=加7+。（。工0）与x轴交于A（-l,0）、B（3,0）

两点，直线AC与），轴交于点C,与抛物线交于点O,OA=OC.

（1）求该抛物线与直线AC的解析式；

（2）若点七是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE.求A4CE面积的最大值及此时点E的坐标；

(3)将原抛物线沿射线AD方向平移20个单位长度，得到新抛物线：yMqf+ax+qSwO),新抛物线

与原抛物线交于点广，在直线AD上是否存在点尸，使以点P、D、尸为顶点的三角形是等腰三角形？若

存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.X,

27.(2021•沙坪坝区校级模拟)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线)，=加+加+3与九轴交于4-3百，

0)、B(G,0)两点，交y轴于点C.连接4C、CB.

(1)求抛物线的解析式：

(2)若点尸是抛物线上第二象限上一点，过尸点作尸MJL4C于M,过P作PN//)，轴交AC于点N,当

APM7V周长有最大值时，求P点坐标及底长最大值.

(3)如图2,将抛物线向右平移36个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，M点在新

抛物线后的对称轴上，N点为平面内一点，使以8、C、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出N点

坐标.

图1图2

28.(2021•渝中区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线产;丁+6+c与x轴相交于46,0),

B(-2,0)两点,与y轴交于点C,。为抛物线顶点，连接AD.

图1图2图3

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2,P为直线AD下方抛物线上的一个动点（不与A、。重合），连接Q4,PD,求面积

的最大值及相应点尸的坐标；

（3）如图3,连接4C,将直线AC沿射线八4方向平移经5个单位得到直线/,直线/与抛物线的两个交

2

点分别为“，MM在N的左侧），在抛物线对称轴上是否存在点K,使ACMK是以KC为腰的等腰三角形？

若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

29.（2021•渝中区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线旷=-'/+3]+2与x轴相交于A,

22

8两点，与y轴交于点C.

（1）求8、。两点的坐标；

（2）点P为直线上方抛物线上的任意一点，过尸作尸尸〃x轴交直线BC于点尸，过户作轴交

直线8c于点E,求线段所的最大值及此时P点坐标：

（3）将该抛物线沿着射线AC方向平移与个单位得到新抛物线旷，N是新抛物线对称轴上一点，在平面

直角坐标系中是否存在点Q，使以点5、。、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点。点

的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

30.（2021•北倍区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线丁=加+云+3与y轴交于点C,与

x轴交于点A,B,连接BC.点A的坐标为（石，0）.tanZOBC=—.

4

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为线段BC下方的抛物线上一动点，过点尸作尸£)〃)，轴交BC于点D,过点。作轴，垂

足为点E,求尸。+立。E的最大值及此时点尸的坐标；

2

(3)将抛物线y=©2+历:+3沿射线C4方向平移36个单位长度，得到抛物线)LM为了对称轴上一动

点，在平面直角坐标系内是否存在一点A,使得以3、M、N、C四个点为顶点的四边形是菱形？若存

在，靖直接写出N点的坐标，若不存在，在请说明理由.

"一/

O*4\l,BX

备用图

二次函数(中考25题)参考答案

参考答案与试题解析

一.解答题(共30小题)

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=f+bx+c经过A(0,-1),8(4,1).直线A3

交x轴于点C,尸是直线A8下方抛物线上的一个动点.过点P作尸。_L4B,垂足为

PE〃x轴，交4B于点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当的周长取得最大值时，求点P的坐标和△0£>£：周长的最大值；

(3)把抛物线丁=?+灰+°平移，使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛

物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,历，N为顶点

备用图

【分析】(1)利用待定系数法洛A(0,-1),B(4,1)代入y=f+bx+c,即可求得答

案；

(2)先运用待定系数法求出A8的函数表达式，设P(f,P-lt-I),其中0V/V4,

2

根据点E在直线y=2x・l上，PE〃工轴，可得出PE=-2(r-2)2+8,再根据△产我：

2

s/XAOC,即可得到△「£>£：的周长/=-砺+1°(/-2)2+磔匹+8,运用二次函数最

55

值方法即可求出答案；

(3)分两种情况：①若是平行四边形的对角线，②若48是平行四边形的边，分别

进行讨论即可.

【解答】解：(1);抛物线y=』+&+c经过4(0,-1),8(4,1),

第31页(共142页)

.fc=-l

*(16+4b+c=l，

2

解得：2,

c=-l

，该抛物线的函数表达式为y=/■孑-1；

(2)如图I,设直线A8的函数表达式为y=H+〃,

V4(0,-1),B(4,1),

・,卜T,

l4k+n=l

解得：/2,

n=-l

.・.直线4?的函数表达式为尸步1,

令y=0,得工-1=0,

2

解得：x=2,

：.C(2,0),

设P(z,z2--/-1),其中0W4,

2

•・•点E在直线y=L・1上，PE〃x轴，

2

:・¥--t-1=—x-1,

22

：.x=2p-It,

：.E(2』・7r,r2--/-1),

2

：.PE=t-(2»-7r)=-2z2+8r=-2(/-2)2+8,

*：PDA.ABt

・・・N4OC=NPOE=90°，

又・・,PE〃x轴，

：.ZOCA=ZPED,

•••△PQESZ\AOC,

：AO=1,OC=2,

AAC=V5»

第32页(共142页)

•••△AOC的周长为3+港，

令△?/)£的周长为/,则世匡=幽_,

1PE

22

：・1=^^+5「2(r-2)2+8]=—W^+10(z.2)+^^+8,

555

，当f=2时，△尸OE周长取得最大值，最大值为丝在+8.

5

此时，点尸的坐标为(2,-4).

(3)如图2,满足条件的点朋坐标为(2,-4),(6,12),(-2.12).

由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y=/-4%,对称轴为直线x=2,

①若AB是平行四边形的对角线，

当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，

即MN经过A8的中点。(2,0),

•・•点N的横坐标为2,

，点M的横坐标为2,

・••点M的坐标为(2,-4),

②若人8是平行四边形的边，

I.当MN〃AB且MN=AB时，四边形ABNM是平行四边形，

VA(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2,

・••点M的横坐标为2-4=-2，

・••点M的坐标为(・2,⑵；

II.当且NM=AB时，四边形48MN是平行四边形，

VA(0,-1),8(4,1),点N的横坐标为2,

，点M的横坐标为2+4=6,

・••点M的坐标为(6,12)；

综上所述，点M的坐标为(2,-4)或(-2,12)或(6,12).

第33页(共142页)

图1

【点评】本题是二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函

数图象和性质，三角形周长，平行四边形性质等，熟练掌握待定系数法、二次函数图象

和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键.

2.如图，在平面直角坐标系中，勉物线-4(a#0)与x轴交于点A(-1,0),

B(4,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)直线/为该抛物线的对称轴，点。与点C关于直线/对称，点P为宜线4。下方抛

物线上一动点，连接以，PD,求△必。面积的最大值.

(3)在(2)的条件下，将抛物线(a#0)沿射线4。平移4加个单位，

得到新的抛物线W，点E为点P的对应点，点尸为》的对称轴上任意一点，在yi上确

定一点G,使得以点O,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的

点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程.

第34页(共142页)

【分析】(1)直接代入点4,3坐标即可；

(2)作尸E〃y轴交直线AD于"，通过铅垂高表示出△4PD的面积即可求出最大面积;

(3)通过平移距离为4加.转化为向右平移4个单位,再向下平移4个单位.得出平

移后的抛物线关系式和E的坐标，从而平行四边形中，已知线段DE,分£>E为边还是对

角线，通过点的平移得出G的横坐标即可.

【解答】解：(1)将A(・1,0),B(4,0)代入y=/+bx-4得

a-b-4=0

16a+4b-4=0

.a=l

b=-3

.*.y=x2-3x-4,

(2)当x=0时，y=-4,

・••点C(0,-4),

•・•点。与点。关于直线/对称，且对称轴为直线4=旦，

2

：.D(3,-4),

VA(-1,0),

・•・直线A。的函数关系式为：j=-X-1,

设尸(zn,“P-3m-4),

作PH//y轴交直线AD于H,

••H(m,-tn-1),

:.PH=-m-\-(zn2-3m-4)

=-〃r+2/〃+3,

第35页(共142页)

XPHX4=2（-序+2m+3）=-2m2+4w+6,

(3)•・•直线4。与％轴正方向夹角为45°,

，沿4。方向平移幺匹，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位,

VP(1,-6),

：.E(5,-10),

抛物线y=)?-3x-4平移后y\=j?-llx+20,

・•・抛物线yi的对称轴为：直线

2

当OE为平行四边形的边时：

若。平移到对称轴上尸点，则G的横坐标为至，

2

代入yi=/-lLv+20得y=-―,

若七平移到对称轴上尸点，则G的横坐标为工,

2

代入yi=/-Ilx+20得y=

4

,■,G(p冬

若OE为平行四边形的对角线时，

若七平移到对称轴上尸点，则G平移到。点，

・・・G的横坐标为与

2

第36页(共142页)

代入y\=j?-lLv+20得y=--,

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，铅垂高求三角形的

面积，以及平移的性质和平行四边形的性质和判定，解决问题的关键是沿4力平移®历转

化为右平移4个单位，再向下平移4个单位，属于中考压轴题.

3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线丁=/+公+。与直线48相交于A,8两点，其

中A(-3,-4),B(0,-1).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点尸为直线4B下方抛物线上的任意一点，连接附，PB,求△布B面积的最大值；

(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线从x+ci(⑶片。)，平移后的

抛物线与原抛物线相交于点G点。为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中

第37页(共142页)

是否存在点£使以点&C,D,七为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E

的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

【分析】(1)将点A、8的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

(2)△氏8面积S=2XP”X(XB-XA)=—(x-1-^-4A+1)X(0+3)=--?-

222

去，即可求解；

2

(3)分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可.

【解答】解：⑴将点A、8的坐标代入抛物线表达式得1-4=9-3b+c,解得(b=4,

故抛物线的表达式为：y=jp+4x-\；

(2)设直线45的表达式为:y=kx+t,则f-4=-3k+t,解得仆=1

lt=-llt=-l

故直线48的表达式为：y=x-1,

过点P作y轴的平行线交AB于点H,

设点P(x,/+4x-1),则Hix,x-1),

△以8面积S=』XP”X(XB-XA)=—(x-1-f-4x+l)X(0+3)=--x2-—x,

2222

第38页(共142页)

•••/■VO,故S有最大值，当x=-4时，S的最大值为三;

228

(3)抛物线的表达式为：>=A2+4X-1=(x+2)2-5,

则平移后的抛物线表达式为：)，=/-5,

联立上述两式并解得：产-1,故点C(・l,-4)；

ly=-4

>4

图2

设点D(-2,m)、点E(s,/),而点B、C的坐标分别为(0,7)、(-1,-4)；

①当8C为菱形的边时，

点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B,同样。(E)向右平移1个单位向上平

移3个单位得到E(D),

即・2+l=s且m+3=/®或-2・l=s且m-3=@,

当点。在E的下方时，则BE=BC,即/+(r+i)2=12+32@,

当点。在E的上方时，则即2?+(〃+1)2=i+32④，

联立①③并解得：s=-1,1=2或-4(舍去-4),故点七(-1,2)；

联立②④并解得：S=-3,t=~4±V6>故点七(-3,-4-+V6)或(-3,-4-V6)；

②当BC为菱形的的对角线时，

则由中点公式得：-l=s・2且-4-1=用+/⑤，

此时，BD=BE,即22+(m+1)2=s2+(r+1)2©,

联立⑤⑥并解得：s=l,£=-3,

故点E(l,-3),

综上，点E的坐标为：(・1,2)或(-3,-4+7^)或(-3,-4-%)或(1,-3).

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形

的平移、面积的计算等，其中(3),要注意分类求解，避免遗漏.

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+bx+2(aKO)与y轴交于点C,与x轴交于

第39页(共142页)

A,B两点(点A在点8的左侧)，且4点坐标为(-&，0),直线的解析式为y=

-返x+2.

3

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点4作AD〃BC,交抛物线于点。，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接

CE,EB,BD,DC.求四边形5ECO面积的最大值及相应点E的坐标；

(3)将抛物线y=ax1+bx+2(aWO)向左平移后个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2

QW0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点.在(2)中，当四边形

BECD的面积最大时，是否存在以A,E,M,N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，

直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

【分析】(1)利用直线BC的解析式求出点8、C的坐标，则y=a^+bx+2=a(x+V2)

(x-3V2)=ar-2y/~2ci-6a,即-6a=2,解得：a=--,即可求解；