《机械设计基础 》课件第5章

第5章剪切和挤压5.1剪切

5.2挤压思考与练习题

5.1.1剪切的概念

剪切变形是工程中常见的四种基本变形之一。我们常用的联接件，如螺栓、铆钉、键等，都是构件承受剪切变形的工程实例。现以铆钉联接为例来说明剪切变形的概念及其受力特点和变形特点。5.1剪切在如图5-1(a)所示的铆钉联接中，钢板所受的外力将传递到铆钉，而使铆钉的右上侧面和左下侧面受力(如图5-1(b)所示)，当力F增大时，铆钉的上、下两部分有沿着m—m截面发生相对错动(如图5-1(c)所示)的趋势，甚至将会使铆钉被剪断(如图5-1(d)所示)。这种截面间发生相对错动的变形称为剪切变形。剪切的受力特点是：构件受到一对大小相等，方向相反，作用线平行且相距很近的外力作用。剪切的变形特点是：在一对外力作用线之间的截面发生相对错动。

图5-1铆钉联接时的受力和变形

图5-2双剪构件承受剪切变形时，发生相对错动的截面(如m—m)称为剪切面。剪切面平行于外力的作用线，且在两个反向外力作用线之间。构件中只有一个剪切面的剪切称为单剪，如图51(b)所示；构件中有两个剪切面的剪切称为双剪(如图5-2中的m—m和n—n截面)。5.1.2剪切时的内力、应力和剪切强度条件

1.剪力

现运用截面法来分析螺栓(如图5-3(a)所示)剪切面上的内力。假想沿螺栓剪切面m—m，将其分为上、下两段(如图5-3(b)所示)，任取一段为研究对象。由平衡条件可知，剪切面内必有与外力F大小相等，方向相反的内力存在，且内力的作用线与外力平行，沿截面作用。这个沿截面作用的内力称为剪力，常用FQ表示。剪力是剪切面上分布内力的合力。

图5-3螺栓剪切

2.切应力

由于剪力FQ的存在，剪切面上也必然存在切应力τ(如图5-3(c)所示)。切应力在剪切面上的实际分布规律比较复杂，工程上通常采用建立在实验基础上的“实用计算法”。“实用计算法”假定切应力在剪切面上是均匀分布的，由此切应力可按下式计算：

(5-1)

式中：FQ为剪切面上的剪力，单位为N；A为剪切面面积，单位为mm2：τ为剪切应力，单位为MPa。

3.剪切变形的强度条件

为了保证剪切变形构件在工作时安全可靠，必须使构件的工作切应力小于或等于材料的许用切应力，即剪切的强度条件为

(5-2)

式中：［τ］为材料的许用切应力，其大小等于材料的剪切强度极限τb除以安全系数。剪切强度极限由试验测定。试验时试件的受力情况与剪切变形构件的实际情况相似。安全系数则是根据实践经验并针对具体情况来确定的。虽然剪切强度条件是采用“实用计算法”的假定计算，但在试验时试件与构件的实际承载情况相似，使得到的结果比较符合实际情况，且强度计算时根据安全系数又预留了一定的强度储备，所以“实用计算法”是可靠的，在工程上得到广泛的应用。工程上常用材料的许用切应力［τ］，可从有关手册中查得。一般情况下，也可按下列近似的经验公式确定：

塑性材料 ［τ］＝(0.6~0.8)［σl］

脆性材料 ［τ］＝(0.8~1.0)［σl］

与轴向拉伸和压缩的强度计算一样，应用剪切强度条件也可以解决剪切变形的三类强度问题：校核强度、设计截面和确定许可载荷。

5.2.1挤压的概念

一般情况下，构件发生剪切变形的同时，往往还伴随着挤压变形(如图5-4所示)。在两构件传递压力的接触面上，由于局部承受较大的压力，而出现压陷、起皱等塑性变形的现象称为挤压。如图5-4(b)所示为铆钉和钢板受到的挤压。5.2挤压

图5-4挤压构件相互挤压的接触面称为挤压面。挤压面上的压力称为挤压力，常用符号Fjy表示。挤压力与挤压面相互垂直。

必须注意：挤压与压缩是两个截然不同的概念，挤压是发生在构件两个相互接触的表面，而压缩则是发生在整个构件上。在挤压面上，由挤压力引起的应力称为挤压应力，用σjy表示。挤压应力在挤压面上的分布规律也是比较复杂的，同剪切计算一样，工程上也采用“实用计算法”，即认为挤压应力在挤压面上的分布是均匀的。故挤压应力为

(5-3)

式中：Fjy为挤压力，单位为N；Ajy为挤压面积，单位为mm2；σjy为挤压应力，单位为MPa。需要指出的是，若接触面为平面，则挤压面积为实际的接触面积，如键联接；若接触面为半圆柱面，其挤压应力的分布情况如图5-4(c)所示，最大挤压应力在半圆弧的中点处。如果用挤压面的正投影面积作为挤压面积(如图5-4(d)中的阴影部分所示)来计算挤压应力，则其与理论分析所得的最大挤压应力值相近。因此，对接触面为半圆柱面的挤压实用计算，挤压面积为挤压面的正投影面积。如铆钉、销等圆柱形联接件，Ajy＝td，d为圆柱形联接件的直径，t为它们与孔壁的接触长度。5.2.2挤压变形的强度条件

在工程实际中，挤压力过大会使构件发生挤压破坏，最终导致构件不能正常工作。因此，当构件发生剪切变形时，不仅要进行剪切强度计算，还要进行挤压强度计算。

为了保证在工作时构件不发生局部挤压塑性变形，必须使构件的工作挤压应力小于或等于材料的许用挤压应力，即挤压的强度条件为

(5-4)

式中：［σjy］是材料的许用挤压应力，其值根据试验确定。使用时可从有关手册中查取。根据试验积累的数据，许用挤压应力与许用拉应力存在着下述近似关系：

塑性材料 ［σjy］＝(1.5~2.5)［σl］

脆性材料 ［σjy］＝(0.9~1.5)［σl］

挤压强度条件也可解决三类强度问题：校核强度、设计截面和确定许可载荷。当联接件与被联接件的材料不同时，应对许用挤压应力低的材料进行挤压强度计算。

例5-1

两块钢板用螺栓联接(如图5-3(a)所示)，每块钢板厚度t＝10mm，螺栓的许用切应力［τ］＝80MPa，许用挤压应力［σjy］＝200MPa，螺栓直径d＝18mm。求螺栓所能承受的许可载荷。

解

(1)变形分析。由图5-3分析可知，螺栓沿m—m截面发生剪切变形，其剪切面积A＝π×d2/4；与孔壁接触处发生挤压变形，其挤压面积Ajy＝td。因此，要对螺栓进行剪切和挤压强度计算。

(2)按螺栓的剪切强度条件确定许可载荷F1。根据式(5-2)得

因为F1＝FQ，所以F1＝20.3kN。

(3)按螺栓的挤压强度条件确定许可载荷F2。根据式(5-4)得

Fjy≤［sjy］Ajy＝［sjy］td＝200×10×18

＝36000N≈36kN

故由F2＝Fjy得F2＝36kN。

因F1<F2，故F＝F1＝20.3kN。

例5-2

某车床传动轴与齿轮用平键联接。已知轴的直径d＝62mm，键的尺寸b×h×l＝18×11×70(如图5-5所示)，传递的力矩M＝2kN·m。键的许用切应力［τ］＝60MPa，许用挤压应力［σjy］＝100MPa。试求校核键联接的强度。

解

(1)外力分析。取轴和键整体为研究对象，其受力图如图5-5(a)所示。

由∑MO(F)＝0得 ，故

图5-5平键连接(2)变形分析。由图5-5(b)和图5-5(c)可知，键沿m—m截面发生剪切变形，其剪切面积A＝bl；与键槽接触处发生挤压变形，其挤压面积Ajy＝hl/2。因此，对键要进行剪切和挤压强度计算。

(3)校核键的剪切强度。根据式(5-2)，因FQ＝F，所以

即键的剪切强度足够。

(4)校核键的挤压强度。根据式(5-4)，因Fjy＝F，所以

即键的挤压强度不足。

由上述计算得知，键联接的强度不足。

图5-6冲床

例5-3

如图5-6所示，冲床的最大冲力F＝320kN，冲头材料的许用压应力［σ］＝440MPa，钢板的剪切强度极限τb＝360MPa。求冲床能冲剪的最小孔径d及钢板最大厚度t。

解

(1)确定最小孔径。冲头能冲剪的最小孔径d也就是冲头的最小直径。保证冲头正常工作，必须满足冲头的压缩强度条件，即

故该冲头能冲剪的最小孔径为30mm。

(2)确定钢板最大厚度δ。冲头冲剪钢板时，钢板的剪切面为圆柱面，剪切面面积A＝πdt，剪力为FQ＝F。为了能冲出圆孔，必须满足条件：τ＝FQ/A≥τb，因FQ＝F，得

F≥pdttb

则

所以，该冲头能冲剪钢板最大厚度为9.4mm。

5-1为什么剪切和挤压的强度计算要采用“实用计算法”？

5-2挤压与压缩有什么不同？试分析如图5-7所示的两物体的变形情况及要进行哪种强度计算。

5-3在拉杆和木材之间放一个金属垫圈(如图5-8所示)，试说明垫圈所起的作用。思考与练习题

图5-7图5-8

5-4分析如图5-9所示结构中各零件的剪切面和挤压面。

5-5螺栓受拉力F作用(如图5-10所示)，其材料的许用切应力［τ］和许用拉应力［σl］的关系为［τ］＝0.6［σl］。试求螺栓直径d和螺栓头高度h的合理比例。

5-6如图5-11所示，拖车的挂钩靠插销联接，拖车的拉力F＝18kN，挂钩厚度t＝10mm，销的许用切应力［τ］＝60MPa，许用挤压应力［σjy］＝100MPa。试确定插销的直径d。

图5-9图5-10

图5-11

5-7参看