新高考数学二轮培优大题优练11 导数恒成立问题（教师版）

导数恒成立问题导数恒成立问题大题优练11优选例题优选例题例1．已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）设函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）3．【解析】（1）由已知得SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入上式，得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为3．例2．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为自然对数的底数．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增．（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是单调增函数，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是单调增函数，∴SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是单调增函数，此时SKIPIF1<0符合题意．②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，∴SKIPIF1<0与恒成立不符，综上所述，SKIPIF1<0．例3．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若函数SKIPIF1<0没有极值点，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）若SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所满足的关系式，并求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0时，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0没有极值点，所以SKIPIF1<0无解或有重根，即SKIPIF1<0无解或有重根．①SKIPIF1<0时，不满足条件；②SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，综上可得，函数SKIPIF1<0没有极值点，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）依题意得：对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以对任意的SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，矛盾；②当SKIPIF1<0时，显然有SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的图象恒在函数SKIPIF1<0图象的上方，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线，下证：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0，综上所述：当SKIPIF1<0时，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立．

模拟优练模拟优练1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0的单调区间；（2）若SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，递减区间为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）解：SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．当x变化时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0变化如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<02SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0增极大值减极小值增所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，递减区间为SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．2．已知函数SKIPIF1<0．（1）求讨论函数SKIPIF1<0的单调性；（2）若函数SKIPIF1<0的图象恒在SKIPIF1<0的图象的下方，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不具有单调性；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是常数函数，不具有单调性；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，综上：当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不具有单调性；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．（2）函数SKIPIF1<0的图象恒在SKIPIF1<0的图象的下方等价于SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立；③当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．3．已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论函数SKIPIF1<0的单调性；（2）若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）依题意，定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增；若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．（2）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立．因为SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不合题意，舍去；②当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，符合题意；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0