《自动控制原理与应用》课件第2章

第2章控制系统的数学模型2.1控制系统的微分方程

2.2拉普拉斯变换及应用2.3传递函数

2.4控制系统的动态结构图

2.5典型环节的数学模型及阶跃响应

2.6自动控制系统的传递函数

2.7MATLAB中数学模型的表示2.1控制系统的微分方程

建立微分方程的一般步骤是：①分析系统和元件的工作原理，找出各物理量之间所遵循的物理规律，确定系统的输入量和输出量。②一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。③将各元件或环节的微分方程联立起来，消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。

④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项放在微分方程的右边，把与输出量有关的各项放在微分方程的左边，方程两边各阶导数按降幂排列，并将方程的系数化为具有一定物理意义的表示形式，

如时间常数等。

例1:

建立图2-1所示电路的微分方程。ur为输入量，uc为输出量。

.

解：

由基尔霍夫定律，

列写方程

联立以上各式，

消去中间变量得

将上式进行标准化处理，令T=RC，

则

式中：T称为该电路的时间常数。图2-1

RC无源网络

例2：建立图2-2所示电路的微分方程。ur为输入量，uc2为输出量。图2-2两级RC无源网络

解：由基尔霍夫定律，列写方程

联立以上各式，可得

将上式进行标准化处理，令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2,则

例3：建立图2-3所示直流电动机的微分方程。ud为输入量，n为输出量。

解：直流电动机各物理量之间的基本关系如下：图2-3直流电动机运动模型

式中：，为电枢电压；e为电枢电动势；id为电枢电流；Rd为电枢电阻；Td为电磁转矩；TL为摩擦和负载转矩；Φ为磁通；KT为电磁常数；Ke为电动势常数；n为转速；J为转动惯量；GD2为飞轮矩。联立以上各式得：

式中：τm为电动机的机电时间常数，；τd为电磁时间常数，

。

由上式可见，电动机的转速与电动机自身的固有参数τm、τd有关，与电动机的电枢电压ud、负载转矩TL以及负载转矩对时间的变化率有关。若不考虑电动机负载的影响，则2.2拉普拉斯变换及应用2.2.1拉普拉斯变换的定义设函数f(t)，t为实变量，s=σ+jω为复变量，其线性积分：如果存在，就称其为函数f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)，记作

拉氏变换是一种单值变换。f(t)和F(s)之间具有一一对应关系。通常称f(t)为原函数，F(s)为象函数。由拉氏变换的定义，可从已知的原函数求取对应的象函数，同样也可由象函数求取对应的原函数，表2-1是常用的原函数与象函数的对应表。表2-1原函数与象函数的对应表2.2.2拉普拉斯变换的几个基本定理

1.线性定理如果F1(s)=L［f1(t)］，F2(s)=L［f2(t)］，且a、b均为常数，则有

L［af1(t)±bf2(t)］=aL［f1(t)］±bL［f2(t)］=aF1(s)±bF2(s)

2.微分定理如果F(s)=L［f(t)］，则有当初始条件为零时，即式中f(t)及其各阶导数(最高阶为n－1阶)在t=0时的值都为零，则上式可以写为

3.积分定理

如果F(s)=L［f(t)］，则有

……

同样，当式中f(t)及其各重积分在t=0时的值都为零，则上式可以写为

4.位移定理

如果F(s)=L［f(t)］，则有实数域中位移定理

L［f(t－τ)］=e－τsF(s)

复域中的位移定理

L［e－αtf(t)］=F(s－α)

5.终值定理

6.初值定理

2.2.3拉普拉斯反变换

我们将拉普拉斯变换的逆运算

称为拉氏反变换。

上式为复变函数，很难直接计算。该式一般作为拉氏反变换的定义，而在实际应用中常采用下面的方法：先将F(s)分解为一些简单的有理分式函数之和，这些基本函数都是前面介绍的典型函数形式，然后由拉氏变换表查出其反变换函数，即得到了原函数。设F(s)的一般表达式为式中，a1、…、an－1、an以及b0、b1、…、bm－1、bm为实数系数，m、n为正，且m<n。

1.A(s)=0无重根其中各项系数可按下式求得

2.A(s)=0有重根上式中C1、…、Cr－1、Cr为重根之系数，可按下式求解Cr+1、…、Cn为不重根之系数，其求解方法与无重根时相同。故

例4

已知F(s)=，求其拉氏反变换。

解：由A(s)=s2+4s+3=0,得

s1=－1，s2=－3

C1=F(s)(s+1)|s=－1=2

C2=F(s)(s+3)|s=－3=－1故

对上式进行拉氏反变换得到

f(t)=2e－t－e－3t

例5

已知，求其拉氏反变换。解:由A(s)=s2(s+2)=0得

s1=s2=0，s3=－2

C1=F(s)s2|s=0=4

C2=［F(s)s2］′|s=0=－2

C3=F(s)(s+2)|s=－2=2故

对上式进行拉氏反变换得到

f(t)=4t2－2+2e－2t

2.2.4控制系统微分方程的求解用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤如下：①将微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的变换方程；②解出变换方程，即求出输出量的拉氏变换表达式；③将输出量的象函数展开成部分分式表达式；④对输出量的部分分式进行拉氏反变换，即可得微分方程的解。

例6

求图2-1所示电路中的uc。其中ur=1(t)，uc及各阶导数在t=0时的值为零。解：由例1知系统的微分方程为

在零初始条件下，对上式进行拉氏变换得到

TsUc(s)+Uc(s)=Ur(s)由于ur=1(t)的拉氏变换为

，则输出量的拉氏变换式为将上式展开成部分分式表达式

取拉氏反变换得微分方程的解为

例7

已知系统的微分方程为，y及各阶导数在t=0时的值为零。试求在x=1(t)时系统的输出y。解：对微分方程进行零初始条件下的拉氏变换

s2Y(s)+2sY(s)+Y(s)=X(s)由于x=1(t)的拉氏变换为,则输出量的拉氏变换式为将上式展开成部分分式表达式取拉氏反变换，得微分方程的解为

y=1－te－t－e－t

2.3传递函数

2.3.1传递函数的定义设描述系统或元件的微分方程的一般表示形式为

式中：r(t)为系统的输入量；c(t)为系统的输出量；为了便于分析系统，规定控制系统的初始状态为零，即在t=0-时系统的输出：

这表明，在外作用加于系统的瞬时(t=0)之前，系统是相对静止的，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。所以，

在初始条件为零时，

对微分方程的一般表示式两边进行拉氏变换

即

则有

令 ，称为系统或元件的传递函数，则可得传递函数的定义为：在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。

即

2.3.2传递函数的求取

1．直接计算法对于系统或元件，首先建立描述元件或系统的微分方程式，然后在零初始条件下，对方程式进行拉氏变换，即可按传递函数的定义求出系统的传递函数。

例8：试求取图2-3所示直流电动机的转速与输入电压之间的传递函数。

解：对求取的直流电动机的微分方程式进行拉氏变换后可得

根据传递函数的定义，则其传递函数为

2．阻抗法求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用阻抗法较为方便。电路中的电阻、电感、电容元件的复域模型电路如图2-4所示。

其传递函数分别为电阻元件

电感元件

电容元件

图2-4

R、L、C元件的复域模型

例9：试求图2-5(a)所示电路的传递函数，uo为输出量，ui为输入量。图2-5RLC串联电路

解：图2-5(a)所示电路的复域电路如图2-5(b)所示。由基尔霍夫定律得

经整理得到系统的传递函数

例10：试求取图2-6(a)所示电路的传递函数。uo为输出量，ui为输入量。图2-6积分调节器

解：图2-6(a)所示电路的复域电路如图2-6(b)所示。由电子技术知识可得

3．利用动态结构图求取传递函数对于较复杂的系统，应先求出元件的传递函数，再利用动态结构图和框图运算法则，可方便地求出系统的传递函数。该方法将在后面的内容中讨论。

2.3.3传递函数的性质

(1)传递函数是由微分方程变换得来的，它和微分方程之间存在着对应的关系。对于一个确定的系统(输入量与输出量也已经确定)，它的微分方程是惟一的，所以，其传递函数也是唯一的。

(2)传递函数是复变量s(s=σ+jω)的有理分式，s是复数，而分式中的各项系数an，an-1，…，a1，a0及bm，bm－1，…，b1，b0都是实数，它们是由组成系统的元件结构、参数决定的，而与输入量、扰动量等外部因素无关。因此传递函数代表了系统的固有特性，是一种用象函数来描述系统的数学模型，称为系统的复数域模型。

(3)传递函数是一种运算函数。由G(s)=C(s)/R(s)可得C(s)=G(s)R(s)。此式表明，若已知一个系统的传递函数G(s)，则对任何一个输入量r(t)，只要以R(s)乘以G(s)，即可得到输出量的象函数C(s)，再以拉氏反变换，就可得到输出量c(t)。由此可见，G(s)起着从输入到输出的传递作用，故名传递函数。

(4)传递函数的分母是它所对应的微分方程的特征方程多项式，即传递函数的分母是特征方程ansn+an－1sn－1

+…+a1s+a0=0的等号左边部分。而以后的分析表明：特征方程的根反映了系统的动态过程的性质，所以由传递函数可以研究系统的动态特性。特征方程的阶次n即为系统的阶次。

(5)传递函数的分子多项式的阶次总是低于分母多项式的阶次，即m≤n。这是由于系统总是含有惯性元件以及受到系统能源的限制的原因。2.4控制系统的动态结构图

2.4.1动态结构图的组成动态结构图一般由信号线、引出点、综合点和功能框等部分组成。它们的图形如图2－7所示。现分别介绍如下：

(1)信号线。信号线表示流通的途径和方向，用带箭头的直线表示。一般在线上标明该信号的拉氏变换式，如图2-7(a)所示。

(2)引出点。引出点又称为分离点，如图2-7(b)所示，它表示信号线由该点取出。从同一信号线上取出的信号，其大小和性质完全相同。

(3)综合点。综合点又称为比较点，完成两个以上信号的加减运算。“+”表示相加；“-”表示相减。通常“+”可省略不写。如图2-7(c)所示。

(4)功能框。功能框表示系统或元件，如图2-7(d)所示。框左边向内的箭头为输入量(拉氏变换式)，框右边向外箭头为输出量(拉氏变换式)。框图为系统中一个相对独立的单元的传递函数G(s)。它们之间的关系为C(s)=G(s)R(s)。图2-7结构图的基本元素

2.4.2控制系统动态结构图的建立建立系统动态结构图的一般步骤是：

(1)列写系统各元件的微分方程;

(2)对各元件的微分方程进行拉氏变换，求取其传递函数，标明输入量和输出量;

(3)按照系统中各量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，输入量置于左端，输出量置于右端，便得到系统的动态结构图。

例11：试绘出图2-1所示电路的动态结构图。解：以ur为输入量，uc为输出量。由基尔霍夫定律，列写方程对以上各式进行拉氏变换得

由上面各式可分别画出如图2-8(a)、(b)、(c)所示的结构图。

图2-8RC电路结构图的建立过程

图2-9RC电路结构图

根据系统中信号的传递关系及方向，可画出系统的动态结构图，如图2-9所示。例12：建立图2-2所示电路的动态结构图。ur为输入量，uc2为输出量。

解：由基尔霍夫定律，列写方程

对以上各式进行拉氏变换得

图2-10两级RC电路结构图的建立过程

2.4.3动态结构图的等效变换及化简

1.串联变换规则传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框,若G1(s)的输出量作为G2(s)输入量,则称G1(s)和G2(s)串联,如图2-11(a)所示。(注意：两个串联的方框所代表的元件之间无负载效应。)图2-11串联结构图的等效变换

由图2-11(a)有

则

式中:G(s)=G1(s)G2(s)，是串联方框的等效传递函数，可用图2-11(b)所示结构图表示。由此可知，当系统中有两个(或两个以上)环节串联时，其等效传递函数为各串联环节的传递函数的乘积。这个结论可推广到n个串联连接的方框。

2.并联变换规则传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框,若它们有相同的输入量，而输出量等于两个方框输出量的代数和时，则G1(s)和G2(s)为并联连接,如图2-12(a)所示。由图2-12(a)有

则

式中：G(s)=G1(s)±G2(s)，是并联方框的等效传递函数，可用图2-12(b)所示结构图表示。由此可知，当系统中两个(或两个以上)环节并联时，其等效传递函数为各并联环节的传递函数的代数和。这个结论可推广到n个并联连接的方框。图2-12并联结构图的等效变换

3.反馈联接变换规则若传递函数分别为G(s)和H(s)的两个方框,如图2-13(a)所示形式连接，则称为反馈连接。“+”为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加；“－”为负反馈，表示输入信号与反馈信号相减。由图2-13(a)有

图2-13反馈结构图的等效变换

则

或

式中：G(s)为前向通道传递函数;H(s)为反馈通道传递函数;Φ(s)为反馈联接的等效传递函数，一般称它为闭环传递函数。式中分母中的加号，对应于负反馈，减号对应于正反馈。

4.引出点和比较点的移动规则移动规则的出发点是等效原则，即移动前后的输入量和输出量保持不变。

1)引出点的移动①

引出点的前移,如图2-14所示。

图2-14引出点前移(a)移动前；

(b)

移动后

②

引出点的后移，

如图2-15所示。

图2-15引出点后移(a)移动前；(b)移动后③

相邻引出点之间互移，如图2-16所示。相邻的引出点之间互移引出量不变。

图2-16引出点之前的移动(a)移动前；

(b)移动后

2)综合点的移动①

综合点的前移，

如图2-17所示。

图2-17综合点前移(a)移动前；

(b)

移动后

②

综合点的后移，

如图2-18所示。

图2-18综合点后移(a)移动前；

(b)

移动后

③

综合点之间的互移，

如图2-19所示。

相邻的综合点之间可以互移。

图2-19综合点之前的移动(a)移动前；

(b)移动后

5.等效单位反馈若系统为反馈系统，可通过等效变换将其转换为单位反馈系统，

如图2-20所示。

图2-20等效单位反馈

例13：用结构图的等效变换，求图2-21(a)所示系统的传递函数 。

解：由于此系统有相互交叉的回路，所以先要通过引出点或综合点的移动来消除相互交叉的回路，然后再应用串、并联和反馈连接等变换规则求取其等效传递函数。化简过程如图2-21(b)、(c)、(d)所示。图2-21交叉多回路系统的化简

例14：用结构图的等效变换，求图2-22(a)所示系统的传递函数 。

解：化简过程如图2-22(b)、(c)、(d)、(e)、(f)所示。图2-22交叉多回路系统的化简

2.4.4用公式法求传递函数应用梅逊公式可直接写出系统的传递函数，这里只给出公式，不作证明。梅逊公式的一般表示形式为

式中：Φ(s)为系统等效传递函数；Δ为特征式，有

∑La为系统中所有回路的回路传递函数之和；

∑LaLb为系统中所有两个互不接触回路的回路传递函数乘积之和；∑LaLbLc为系统中所有三个互不接触的回路传递函数乘积之和；Pk是从输入端至输出端的第k条前向通路的传递函数；Δk是与第k条前向通路不接触部分的Δ值，称为第k条前向通路的余因子。回路传递函数是指反馈回路的前向通路和反馈通路的传递函数的乘积，并包含代表反馈极性的正、负号。例15：利用梅逊公式求图2-23所示系统的传递函数。

图2-23系统结构图

解：由图2-23可知，系统前向通路有两条，k=2。各前向通路传递函数分别为系统有5个反馈回路，各回路的传递函数分别为：

所以

系统的所有回路都相互接触，故特征式为

两条前向通路均与所有回路有接触，

故其余子式为

由梅逊公式得系统的传递函数为

例16：利用梅逊公式求图2-21所示系统的传递函数。

解：从图2-21可以看出，系统前向通路有一条，其前向通路的传递函数为

反馈回路有3个，各回路的传递函数分别为：

所以

而且，

回路Ⅰ与Ⅲ互不接触，所以

其特征式为

两个回路均与前向通道P1接触，故其余子式为

由梅逊公式得系统的传递函数：

2.5典型环节的数学模型及阶跃响应

2.5.1典型环节的数学模型

1.比例环节比例环节的特点是输出量与输入量成正比，

无失真和延时，

其微分方程为

比例环节是自动控制系统中遇到的最多的一种典型环节。例如电子放大器、杠杆机构、永磁式发电机、电位器等，如图2-24所示。

图2-24比例环节实例

2.积分环节积分环节的特点是输出量为输入量的积分，当输入量消失后，输出量具有记忆功能。其微分方程为

式中：T为积分时间常数。积分环节的特点是它的输出量为输入量对时间的积累。因此，凡是输出量对输入量有储存和积累特点的元件一般都含有积分环节。如电容的电量与电流等。积分环节也是自动控制系统中遇到最多的环节之一。图2-25所示为积分环节的例子。

图2-25积分环节实例

3.理想微分环节

微分环节的特点是输出量是输入量的微分，输出量能预示输入量的变化趋势。理想微分环节的微分方程为

式中：τ为微分时间常数。理想微分环节的输出量与输入量之间的关系恰好与积分环节相反，传递函数互为倒数，因此，积分环节(如图2-25所示)的实例的逆过程就是理想微分。如电感元件的电流与电压之间的关系即为一理想微分环节。

4.惯性环节惯性环节含有一个储能元件，因而对输入量不能立即响应，但输出量不发生振荡现象。其微分方程为

式中：T为惯性环节的时间常数。

惯性环节实例1：电阻、电容电路(RC网络)，如图2-26所示。

由基尔霍夫定律可得电路的微分方程为

则

式中：τ=RC。

图2-26RC无源网络

图2-27惯性调节器

因运算放大器的开环增益很大，输入阻抗很高，所以

于是有

经整理得

式中：，

惯性环节实例3：弹簧—阻尼系统,如图2-28所示。其中阻尼力 ，

式中B为粘性阻尼系数。

图2-28弹簧—阻尼系统分析系统所遵循的物理规律，得出系统的弹簧力为

由于系统的阻尼力与弹簧力两力相等，即f1=f2，于是有

经整理得

式中：

，k为弹性系数。

5.比例微分环节比例微分环节又称为一阶微分环节，

其微分方程为

式中，τ为微分时间常数。

如图2-29所示为一比例微分调节器。

图2-29比例微分调节器

由系统所遵循的物理规律，可列写出其微分方程为

于是有

经整理得

6．振荡环节振荡环节包含两个储能元件，能量在两个元件之间相互转换，因而其输出出现振荡现象。其微分方程为：

直流电动机的数学模型就是一个振荡环节，我们在前面已经作过介绍。在如图2-30所示的RLC串联电路中，其输入电压为ur，输出电压为uc。图2-30

RLC串联电路由基尔霍夫定律有

整理成标准形式后，

其微分方程为

7.延迟环节

延迟环节也是一个线性环节，其特点是输出量在延迟一定的时间后复现输入量。其微分关系为

式中：τ0为延迟时间。

如在晶闸管整流电路中，当控制角由α1变到α2时，若晶闸管已导通，则要等到下一个自然换相点以后才起作用。这样，晶闸管整流电路的输出电压较控制电压的改变延迟了一段时间。若延迟时间为τ0，触发整流电路的输入电压为ui(t)，整流器的输出电压为uo(t)，则2.5.2典型环节的传递函数及阶跃响应

1.比例环节

1)

微分方程

2)传递函数为：

其功能框如图2-31(a)所示。

3)动态响应当r(t)=1(t)时，c(t)=K1(t)，表明比例环节能立即成比例地响应输入量的变化。比例环节的阶跃响应曲线如图2-31(b)所示。图2-31比例环节2.积分环节1)

微分方程

式中：T为积分时间常数。

2)

传递函数

其功能框图如图2-32(a)所示。

图2-32积分环节(a)功能框图；

(b)阶跃响应

3)动态响应若r(t)=1(t)时，R(s)=1/s，则所以

其阶跃响应曲线如图2-32(b)所示。由图可见，输出量随着时间的增长而不断增加，

增长的斜率为1/T。

3.理想微分环节1)

微分方程

式中：τ为微分时间常数。

2)传递函数为

其功能框如图2-33(a)所示。

图2-33微分环节(a)功能框图；

(b)

阶跃响应

3)动态响应若r(t)=1(t)时，R(s)=1/s，则所以

δ(t)为单位脉冲函数,其阶跃响应曲线如图2-33(b)所示。

4.惯性环节1)

微分方程

2)

传递函数

其功能框图如图2-34(a)所示。

图2-34惯性环节(a)功能框图；

(b)阶跃响应

3)动态响应若r(t)=1(t)时，R(s)=1/s，

则

所以

惯性环节的阶跃响应曲线如图2-34(b)所示。由图可见，当输入信号发生突变时，输出量不能突变，只能按指数规律逐渐变化，这就反映了该环节具有惯性。

5.比例微分环节1)

微分方程

2)

传递函数

式中：τ为微分时间常数。比例微分环节的功能框图如图2-35(a)所示。

图2-35比例微分环节(a)功能框图；

(b)阶跃响应

3)动态响应比例微分环节的阶跃响应为比例与微分环节的阶跃响应的叠加，如图2-35(b)所示。

6.振荡环节1)

微分方程

2)

传递函数

式中：ωn=1/T，称为无阻尼自然振荡频率；ξ称为阻尼系数。振荡环节的功能框图如图2-36(a)

所示。

图2-36振荡环节(a)功能框图；

(b)阶跃响应

3)动态响应

当ξ=0时，c(t)为等幅振荡,其振荡频率为ωn。ωn称为无阻尼自然振荡频率。当0<ξ<1时，c(t)为减幅振荡，其振荡频率为ωd。ωd

称为阻尼振荡频率。式中：，。其阶跃响应，曲线如图2-36(b)所示。

7.延迟环节

1)

微分方程

式中：τ0为延迟时间。

2)传递函数由拉氏变换转换可得

若将按泰勒级数展开，

则

由于τ0很小，所以可只取前两项，，

于是有

3)动态响应延迟环节的阶跃响应如图2-37(b)所示。

图2-37延迟环节(a)功能框图；

(b)阶跃响应

2.6自动控制系统的传递函数

自动控制系统的典型框图如图2-38所示。系统的输入量包括给定信号和干扰信号。对于线性系统，可以分别求出给定信号和干扰信号单独作用下系统的传递函数。当两信号同时作用于系统时，可以应用叠加原理，求出系统的输出量。为了便于分析系统，下面我们给出系统的几种传递函数表示法。

图2-38自动控制系统的一般形式

1.闭环系统的开环传递函数我们定义闭环系统的开环传递函数为

注意:G0(s)为闭环系统的开环传递函数,这里是指断开主反馈通路(开环)而得到的传递函数，而不是开环系统的传递函数。

2.系统的闭环传递函数

1)在输入量R(s)作用下的闭环传递函数和系统的输出若仅考虑输入量R(s)作用，则可暂略去扰动量D(s)。则由图2-38可得输出量C(s)对输入量的闭环传递函数GR(s)为此时系统的输出量CR(s)为

2)在扰动量D(s)作用下的闭环传递函数和系统的输出若仅考虑扰动量D(s)作用，则可暂略去输入信号R(s)。图2-38可化简为如图2-39所示的形式。因此，得输出量C(s)对输入量的闭环传递函数GD(s)为此时系统的输出量CD(s)为

图2-39扰动量作用时的框图(a)仅考虑扰动量作用时的一般形式；(b)仅考虑扰动量作用时的等效框图

3)在R(s)和D(s)共同作用下，系统的总输出设此系统为线性系统，因此可以应用叠加定理：即当输入量和扰动量同时作用时，系统的输出可看成两个作用量分别作用的叠加。于是有

3.闭环控制系统的偏差传递函数在对自动控制系统的分析中，除了要了解输出量的变化规律外，还要关心误差的变化规律。控制误差的大小，也就达到了控制系统的精度的目的，而偏差与误差之间存在一一对应的关系，因此通过偏差可达到分析误差的目的。我们暂且规定，系统的偏差e(t)为被控量c(t)的测量信号b(t)和给定信号r(t)之差，即则

图2-40闭环系统的误差传递函数的一般形式

1)只有输入量R(s)作用下的偏差传递函数若求输入量R(s)作用下的偏差传递函数，则可暂略去扰动量D(s)的影响。如图2-41所示为在输入量R(s)作用下偏差的结构图。所以有

图2-41仅考虑输入量时的偏差传递函数框图

2)只有扰动量D(s)作用下的偏差传递函数若求在扰动量D(s)作用下的偏差传递函数，同理，可暂略去输入量R(s)的影响,如图2-42所示。所以

图2-42仅考虑扰动量作用时的误差传递函数框图(a)仅考虑扰动量作用时的框图；(b)仅考虑扰动量作用时的等效框图

3)R(s)和D(s)同时作用下的偏差若在R(s)和D(s)同时作用下，则其偏差就为两者偏差之和，即

2.7MATLAB中数学模型的表示在进行控制系统分析之前，首先要建立控制系统的数学模型。MATLAB命令中可以建立三种控制系统数学模型：传递函数模型（TF模型）、零点模型（ZPK模型）和状态模型（SS模型）。各模型之间要以由转换函数相互转换，以满足不同的使用需求。对结构图表示的系统可以用反馈函数、并联函数、串联函数实现系统数学模型的建立。2.7.1传递函数模型（FT模型）线性定常控制系统的传递函数一般可表示为式中,ai和bj均为常数。在MATLAB中可以用分子、分母系数向量num、den来表示传递函数G(s)，实现函数为tf（），其调用格式如下：

num=［b0，b1，…，bm－1，bm］

den=［a0，a1，…，an－1，an］

sys=tf(num，den)注意：构成分子、分母的向量应按降幂排列，缺项部分用0补齐。

例17

系统的传递函数为试用MATLAB中语句建立系统的传递函数模型。

解：MATLAB程序如下：

%example17

num=［1，2，3］；

den=［2，3，2，1］；

sys=tf(num，den)执行结果：

Transferfunction：

s^2+2s+3

--------------------------

2s^3+3s^2+2s+

例18

系统的传递函数为试在MATLAB中生成系统的传递函数模型。

解：MATLAB程序如下：

%example18

num=［10，10］；

den=conv(［1，0，0］，conv(［1，3］，［1，6，10］))；

sys=tf(num，den)执行结果：

Transferfunction：

10s+10

-------------------------------------

s^5+9s^4+28s^3+30s^22.7.2控制系统的零极点模型（ZPK模型）控制系统的数学表达式可表示为零极点形式：式中,Kg为根轨迹增益;zi（i=0，1，…，m）为系统的m零点;pj（j=0，1，…，n）为系统的n极点。在MATLAB中可以用Kg、zi、pj来表示传递函数G(s)，实现函数为zpk（），其调用格式如下：

sys=zpk(z，p，k)

例19

已知系统的数学模型为试用MATLAB语句建立系统的零极点模型。

解：MATLAB程序如下：

%example19

num=［2，18，40］；

den=［1，6，11，6］；

%传递函数模型转换为零极点模型［z，p，k］=tf2zp(num，den)；

sys=zpk(z，p，k)执行结果：

Zero/pole/gain：

2(s+5)(s+4)

---------------------

(s+3)(s+2)(s+1)上题也可以用下面程序（执行结果同上）：

%example2-19

num=［2，18，40］；

den=［1，6，11，6］；

%传递函数模型转换为零极点模型

sys=tf(num，den)；

syszpk=zpk(sys)2.7.3传递函数的特征根及零极点图

1.特征根函数roots（）特征方程的根是