《信号与系统分析》课件第7章

第7章系统的信号流图及模拟

7.1系统的信号流图7.2系统的信号流图模拟7.1系统的信号流图

对于系统的描述方法，在前面章节中已经讨论过了。连续系统和离散系统都可以用模拟框图来描述，即由一些模拟器件组成，如加法器、乘法器、积分器、延迟单元等。在研究了系统的复频域和z域分析之后，系统的模拟框图除了时域形式之外，还有复频域的框图(连续系统)和z域框图(离散系统)。图7-1所示为s域和z域中的模拟器件模型，图7-2是s域和z域的系统模拟框图的例子。由模拟框图可以写出这两个系统的系统函数来。图7-1

s域和z域模拟器件模型图7-2

s域和z域的系统模拟框图对图7-2(a)所示连续系统，设中间变量X(s),则有s2X(s)=F(s)-2sX(s)-X(s)Y(s)=2sX(s)+X(s)联立两式可得对图7-2(a)所示连续系统，设中间变量X(s),则有s2X(s)=F(s)-2sX(s)-X(s)Y(s)=2sX(s)+X(s)联立两式可得对图7-2(b)所示离散系统，设中间变量X1(z)和X2(z),则有X1(z)=F(z)-3Y(z)X2(z)=2X1(z)+X1(z)·H1(z)=[2+H1(z)]X1(z)Y(z)=X2(z)·H2(z)联立三者可得可见,s域或z域的模拟框图完全可以描述一个系统的系统函数，即可描述一个系统。这里也可看出，s域和z域有对偶的关系。不过当一个系统比较复杂时，如含多个子系统(如图7-2(b)所示)并包含多个加法器，绘制模拟框图及从模拟框图写出系统函数就会变得很复杂。为了简化模拟框图，出现了线性系统的信号流图(signalflowgraphs)表示与分析方法。信号流图是由美国麻省理工学院的梅森(Mason)于20世纪50年代提出的，它在系统的分析与设计中得到广泛应用。与模拟框图相比，信号流图方法更加简明清楚，系统函数的计算过程明显简化。此外，借助信号流图研究系统的状态变量分析也显示出许多优点，这将在本章的后续部分介绍。系统的信号流图实际上是对s域或z域模拟框图的简化，用有方向的线段表示信号的传输路径，有向线段的起始点表示系统中变量或信号，将起点信号与终点信号之间的转移关系标注在有向线段箭头的上方。将加法器省略掉并用一个节点表示。我们将图7-2所示的连续系统和离散系统的模拟框图转化为对应的信号流图，如图7-3所示。图7-3系统的信号流图为了更好地研究信号流图，先给出以下一些术语以方便使用。节点：表示信号或变量的点，同时具有加法器的功能。源点：只有信号输出的节点，对应输入信号。阱点：只有信号输入的节点，对应输出信号。混合节点：既有信号输入，又有信号输出的节点。支路：节点之间的有向线段，支路上的标注称为支路增益或转移函数。通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径，不允许逆箭头方向。开通路：与任一节点相交不多于一次的通路。前向通路：从源点到阱点方向的开通路。环路：通路的终点就是起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的闭合通路。不接触环路：两环路之间没有任何公共节点。前向通路增益：在前向通路中，各支路增益的乘积。环路增益：在环路中各支路增益的乘积。由图7-3可以总结几点信号流图的特性：

(1)节点有加法器功能，并把和信号传送到所有输出支路。

(2)支路表示了一个信号与另一个信号的函数关系，信号只能沿箭头方向流过。

(3)给定一个系统，其信号流图形式不唯一。

(4)连续系统的信号流图表示的分析方法同离散系统的完全一致，只是连续系统在s域中，积分器的增益用s-1表示，系统函数用H(s)表示；而离散系统在z域中，延迟单元的增益用z-1表示，系统函数用H(z)表示。所以下面所叙述的信号流图的相关内容均适用于连续和离散两种系统。

我们知道，有了模拟框图，就可以求出系统的系统函数。那么有了信号流图，同样可以求出系统的系统函数，这个过程可以用前面所用到的方法(称为方程法)，但当系统复杂时，这种方法比较麻烦。下面介绍用梅森公式求系统函数的方法。梅森公式的形式为(7-1)式中字符含义说明如下：

(1)H可以是H(s),也可以是H(z),所以只用H表示。

(2)Δ称为信号流图的特征行列式，其定义为(7-2)

(3)k表示第k条前向通路的标号。

(4)gk为第k条前向通路增益。

(5)Δk为第k条前向通路特征行列式的余子式。它是除去与第k条前向通路相接触的环路外，余下信号流图的特征行列式。这里不对梅森公式进行证明，仅举出应用实例。【例7-1】求图7-4所示系统的系统函数。图7-4

【例7-1】信号流图解设信号流图中各个节点为λ1~λ5,如图7-4中所标注。利用梅森公式计算如下：

(1)求流图的特征行列式：环路L1=(λ1→λ2→λ1)=-H2G2

L2=(λ3→λ4→λ3)=-H3G3

L3=(λ4→λ5→λ4)=-H4G4

L4=(λ1→λ2→λ3→λ4→λ5→λ1)=-H2H3H4G1

其中L1和L2，L1和L3是不接触环路，所以

Δ=1+(H2G2+H3G3+H4G4+H2H3H4G1)+(H2G2H3G3+H2G2H4G4)

(2)前向通路及增益：前向通路只有一条，其增益为g1=H1H2H3H4,相应的余子式为Δ1=1。

(3)按梅森公式即得系统函数【例7-2】求图7-5信号流图的系统函数。图7-5

【例7-2】的信号流图解为了利用梅森公式求系统函数，先求出有关参数。

(1)求Δ。求所有环路增益。从信号流图中可以看出，共有四条环路，分别用L1,L2,L3,L4表示：

L1=(λ3→λ4→λ3)=-H4G1

L2=(λ2→λ5→λ1→λ2)=-H7G2H2

L3=(λ1→λ3→λ4→λ5→λ1)=-H6H4H5G2

L4=(λ1→λ2→λ3→λ4→λ5→λ1)=-H2H3H4H5G2

求两两不接触环路增益的乘积:只有L1和L2是不接触的环路，即L1L2=H2H4H7G1G2,由此得

Δ=1+(H4G1+H2H7G2+H4H5H6G2+H2H3H4H5G2)+H2H4H7G1G2

(2)前向通路共三条：第一条：λ→λ1→λ2→λ3→λ4→λ5

g1=H1H2H3H4H5没有与第一条通路不接触的环路，所以Δ1=1。第二条：λ→λ1→λ3→λ4→λ5g2=H1H6H4H5没有与第二条通路不接触的环路，所以Δ2=1。第三条：λ→λ1→λ2→λ5g3=H1H2H7与第三条通路不接触的环路L1,所以Δ3=1+H4G1。最后得到系统函数为7.2系统的信号流图模拟

7.2.1直接形式(卡尔曼形式)若系统函数

则可以表示为根据梅森规则，从H(s)的分母可得,系统有两个环路，增益分别是-a1s-1和-a0s-2，且是接触环路，也即系统的特征行列式Δ=1+a1s-1+a0s-2；若从源点F(s)到阱点Y(s)有两条均与环路接触的前向通路，增益分别为g1=s-1,g2=b0s-2,那么该系统的系统函数正是H(s)。按照这样的思路就可以画出该系统的直接形式模拟图，如图7-6(a)或(b)所示。图7-6系统的直接形式模拟图7.2.2串联形式(级联形式)设分别画出和的模拟图，再将二者串联起来，就得到系统的串联形式模拟图，如图7-7(a)、(b)、(c)所示。图7-7的串联形式模拟图可见，串联形式是将H(s)表示为H(s)=H1(s)H2(s)…Hn(s)，分别画出各子系统的直接模拟图，再串联起来就是串联形式模拟图。7.2.3并联形式设，因为分别画两个子系统和的信号流图,然后再并联起来得到H(s)的并联形式模拟图，如图7-8所示。图7-8的并联形式模拟图可见，将H(s)用部分分式展开为H(s)=H1(s)+H2(s)+…+Hn(s)，分别画各子系统的信号流图，然后再并联起来得到H(s)的并联形式模拟图。【例7-3】已知某系统的，试画出系统的信号流图。解(1)直接形式：根据梅森公式，可令

Δ=1-(-7s-1-16s-2-12s-3)

g1=2s-3，Δ1=1

g2=3s-4，Δ2=1由此得信号流图如图7-9所示。图7-9

【例7-3】的直接形式信号流图(2)串联形式。将H(s)改写为如下形式故串