第8讲复数及其四则远算（知识点串讲）原卷版

第8讲复数及其四则远算(（沪教版2020必修二）【知识讲练】知识点一、理解复数的有关概念（1）虚数单位:它的平方等于1，即.（2）复数的定义与表示：形如的数叫复数，叫复数的实部，记作；叫复数的虚部，记作；全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示.复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.（3）复数的分类以及复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数，；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数0.（4）两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果、、、，那么【注意】【注意】一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数全是实数时才能比较大小.（5）复数集与其它数集之间的关系：.（6）共轭复数：实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数，也称这两个复数互相共轭.复数的共轭复数用表示，也就是当时，.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.【注意】【注意】共轭复数的几何与代数特征:（1）几何特征：非零复数互为共轭复数对应点（或对应向量，）关于实轴对称.（2）代数特征：①为纯虚数或零；②.（7）复数的模：复数在复平面内所对应的点到坐标原点的距离叫做复数的模，记作.由模的定义，可知.例1.【2020河南南阳一中期末】己知，其中为虚数单位，则（）A． B．1 C．3 D．【变式训练11】【2020·上海奉贤一中期中】已知z＝（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则a＝_____.【变式训练12】【2020·安徽亳州期末】已知i是虚数单位，复数，则（）A．1 B． C． D．2【变式训练13】【2020·山西晋城一中期末】复数的虚部为（）A． B． C．1 D．1【变式训练14】【2020·内蒙古包头期末】设复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（）．A． B．的虚部是C．在复平面内所对应的点为 D．【变式训练15】【2020·湖南郴州期末】若复数的实部与虚部相等，则实数等于（）A． B． C．1 D．3例2.（2020·上海高二课时练习）关于的方程有纯虚数根，则为（）．A．0 B．1 C．2 D．0或2【变式训练16】（2020·上海高二课时练习）已知为复数，满足，求的值．例3.【2020山西五台一中期中】（）A． B． C． D．【变式训练17】【2020·江苏专题练习】已知复数若为实数，则实数的值为_______．【变式训练18】（2018·上海市七宝中学高三期末）已知复数（是虚数单位）是虚数，且，则实数的值是______知识点二、理解复数的有关运算及性质（1）复数的四则运算：设，则①加减：；②乘法：；③除法：.（2）共轭复数的运算：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若z为纯虚数；⑧.例1．（2021·江苏苏州市·高一期中）(1)已知复数是关于x的方程的一个根，求的值；(2)已知复数，，，求．【变式训练21】（2021·上海高一课时练习）已知复数，，为纯虚数，求复数．【变式训练22】（2021·上海高一课时练习）若复数满足，试判断复数在复平面上对应的点的轨迹图形，并求使最大时的复数．【变式训练23】（2021·上海高一课时练习）设，．（1）求证：是纯虚数；（2）求的取值范围．【变式训练24】（2021·上海高一课时练习