第01讲基本立体图形简单几何体的表面积与体积精讲（原卷版）-2023年高考数学一轮复习（新教材新高考）

第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：基本立体图形角度1：结构特征角度2：直观图角度3：展开图题型二：空间几何体的表面积与体积角度1：表面积和侧面积角度2：体积角度3：蚂蚁爬行最短问题题型三：空间几何体的外接球角度1：补形法角度2：对棱相等型角度3：借助三角形外心确定球心题型四：空间几何体的内切球第四部分：高考真题感悟第一部分：知第一部分：知识点精准记忆知识点一：空间几何体的结构特征1、多面体的结构特征1.1棱柱（1）棱柱的定义定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点（2）棱柱的图形（3）棱柱的分类及表示①按棱柱底面边数分类:②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱1.2棱锥（1）棱锥的定义定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥底面：多边形面侧面：有公共顶点的各三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点（2）棱锥的图形（3）棱锥的分类及表示按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥1.3棱台（1）棱台的定义定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：除上下底面以外的面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点（2）棱台的图形（3）棱台的分类及表示由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……用各顶点字母表示棱柱，如棱台2、旋转体的结构特征2.1圆柱（1）圆柱的定义以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边（2）圆柱的图形（3）圆柱的表示圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱2.2圆锥（1）圆锥的定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：棱锥和圆锥统称为锥体（2）圆锥的图形（3）圆锥的表示用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥2.3圆台（1）圆台的定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：棱台和圆台统称为台体（2）圆台的图形（3）圆台的表示用表示它的轴的字母表示，如图，圆台2.4球球的表面积和体积（1）球的表面积：（2）球的体积:知识点二：直观图1、空间几何体的直观图的绘制方法（1）画轴.在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点,画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点,且使”(或）,它们确定的平面表示水平面；（2）画底面.已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；（3）画侧棱.已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；（4）成图.连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.2、斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．知识点三：柱、锥、台、球的表面积和体积几何体表面积体积柱体（棱柱，圆柱）椎体（棱锥，圆锥）台体（棱台，圆台）球知识点四：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体圆柱圆锥圆台图示侧面积公式常用结论1.球的截面的性质(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(2)球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系为第二部分：课第二部分：课前自我评估测试1．（2022·河南商丘·高一期末）下列关于棱锥､棱台的说法正确的是（

）A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的D．棱台的各侧棱延长后必交于一点2．（2022·广东珠海·高一期末）正四棱台的上､下底面边长分别为，侧棱长为，则棱台的侧面积为（

）A． B． C． D．3．（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的（

）A．倍 B．4倍 C．倍 D．倍4．（2022·山东聊城·高一期末）某同学劳动课上制作了一个圆锥形礼品盒，其母线长为40cm，底面半径为10cm，从底面圆周上一点A处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A点，则所用金色彩线的最短长度为___________cm.5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）如图，是用斜二测画法得到的的直观图，其中，，则AB的长度为______.6．（2022·贵州黔西·高二期末（理））若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．第三部分：典第三部分：典型例题剖析题型一：基本立体图形角度1：结构特征典型例题例题1．（多选）（2022·江西上饶·高一期末）下列命题正确的是（

）A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面例题2．（2022·辽宁·东港市第二中学高一阶段练习）下列命题正确的是（

）A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形角度2：直观图典型例题例题1．（2022·广东广州·高一期末）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（

）A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的2倍C．B点的坐标为 D．的周长是例题2．（2022·广西贵港·高一期末）若一个平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，，则原图的面积为___________.角度3：展开图典型例题例题1．（2022·浙江·温州中学高二期末）若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥表面积与侧面积的比为（

）A． B． C． D．例题2．（2022·广东韶关·高二期末）已知圆锥的侧面展开图为一个半径是2的半圆，则该圆锥的高为（

）A．1 B． C． D．2题型归类练1．（2022·山西吕梁·高一期末）下列说法正确的是（

）A．三角形的直观图是三角形 B．直四棱柱是长方体C．平行六面体不是棱柱 D．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台2．(多选）（2022·广西梧州·高一期末）给出下列命题：①长方体是四棱柱；②直四棱柱是长方体；③底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥；④延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于一点．则正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④3．（2022·重庆·高一阶段练习）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边平行于轴，与平行于轴．已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为________．5．（2022·云南楚雄·高一期末）若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．6．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（理））已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该花盆的体积为（

）A． B．C． D．题型二：空间几何体的表面积与体积角度1：表面积和侧面积典型例题例题1．（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．例题2．（2022·河南驻马店·高一期末）已知三棱柱中，所有棱长均为6，且，则该三棱柱的侧面积等于（

）A． B． C． D．例题3．（2022·重庆市第七中学校高一期末）若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为______．角度2：体积典型例题例题1．（2022·上海·模拟预测）如图所示三棱锥，底面为等边，为边中点，且底面，(1)求三棱锥体积；例题2．（多选）（2022·江苏苏州·高一期中）圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（

）A． B． C． D．例题3．（2022·四川乐山·高二期末（文））成都天府广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的“半正多面体”（图1），半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱长为的正方体截出的半正多面体，则该半正多面体的体积为______．角度3：蚂蚁爬行最短问题典型例题例题1．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）在①；②四边形的面积为24；③四边形的周长为20；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答，如图，四边形是圆柱的一个轴截面，，且__________．(1)求该圆柱的体积：(2)若用一细绳从点绕圆柱一周后到达处（如图），求细绳的最短长度．例题2．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（文））如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的表面积为___________.题型归类练1．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）如图，四边形ABCD为直角梯形，，，该梯形绕AB旋转形成的几何体体积为，则该几何体的侧面积为___________．2．（2022·福建莆田·高一期末）已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为___．3．（2022·广东珠海·高一期末）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱冰块的侧面积的最大值为___________.4．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（

）A．π B．π C．2π D．4π5．（2022·湖南邵阳·高一期末）若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为_________．6．（2022·全国·高一）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（

）A．4 B． C． D．7．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）长方体中，，，，则一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是___________．8．（2022·全国·高一）如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，侧面积为，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为___________cm.题型三：空间几何体的外接球角度1：补形法典型例题例题1．（2022·四川成都·高一期末（文））三棱锥的顶点都在同一球面上，其中、、两两垂直，且，，，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．例题2．（2022·河南开封·高二期末（文））已知点，，，均在同一个球面上，且平面，，，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．角度2：对棱相等型典型例题例题1．（2022·江西·模拟预测（文））已知三棱锥中，，，则该三棱锥内切球的表面积为____________．例题2．（2022•罗湖区月考）已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为．角度3：借助三角形外心确定球心典型例题例题1．（2022·云南昆明·高二期中）已知四面体的每个顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积为（

）A． B． C． D．例题2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为6，在该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为（

）A． B． C． D．2例题3．（2022·陕西·长安一中三模（文））如图，是边长为6的正三角形的一条中位线，将沿直线翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为_____；过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________.题型归类练1．（2022·全国·高一阶段练习）已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．2．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏·高二）设P，A，B，C是球O表面上的四个点，若PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，且PA＝PB＝PC＝2，则球O的表面积为（

）A．48π B． C．12π D．4．（2022•三模拟）在四面体中，，，，则其外接球的表面积为．5．（2022·广西贺州·高一期末）已知△ABC的三个顶点都在球O上，，，且三棱锥，则球O的体积为（

）A． B． C． D．366．（2022·河南开封·高二期末（理））已知球为三棱锥的外接球，球的体积为，正三角形的外接圆半径为，则三棱锥的体积的最大值为______．7．（2022·安徽省宣城中学高二期末）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是___________.8．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）如图，是边长为4的正三角形的一条中位线，将沿直线翻折至，当三棱锥的体积最大时，过的中点M作该四棱锥的外接球的截面圆，则该截面圆的面积的最小值为___________.9．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.则三棱锥的体积为__________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为__________.题型四：空间几何体的内切球典型例题例题1．（2022·辽宁·高二阶段练习）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．例题2．（2022·湖南·高一期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.题型归类练1．（2022·四川广安·高一期末（理））若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的