643余弦定理正弦定理（第2课时）（导学案）原卷版-2021-2022学年高一数学(人教A版2019)

班级：姓名：日期：《余弦定理、正弦定理》第2课时正弦定理导学案地位：本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用学习目标：1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理，培养数学抽象的核心素养；2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养。学习重难点：1.重点：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题。2.难点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明。自主预习：本节所处教材的第页.复习——余弦定理：三角形的形状：预习——正弦定理：变形公式：新课导学学习探究（一）新知导入1.创设情境，生成问题古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？2.探索交流，解决问题【问题1】如图，在Rt△ABC中，eq\f(a,sinA)，eq\f(b,sinB)，eq\f(c,sinC)各自等于什么？【问题2】在一般的△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)还成立吗？课本是如何说明的？你还有其他方法吗？（二）正弦定理1.正弦定理的表示(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所的的相等，即。拓展：该比值为该三角形外接圆的直径.2.正弦定理的变形形式设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC).【思考1】正弦定理的主要功能是什么？【思考2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？【做一做】1.在△ABC中，下列等式总能成立的是()A.acosC＝ccosAB.bsinC＝csinAC.absinC＝bcsinBD.asinC＝csinA2.在△ABC中，a＝7，c＝5，则sinA∶sinC的值是()A.eq\f(7,5) B.eq\f(5,7) C.eq\f(7,12) D.eq\f(5,12)3.已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC的长为________.（五）典型例题1.已知两角及一边解三角形【例1】已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.【类题通法】1.正弦定理实际上是三个等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.2.解决已知两角及一边类型的解题方法：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．【巩固练习1】在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长.2.已知两边及一边的对角解三角形【例2】在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，求A，C和c.【类题通法】已知三角形两边及一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.【巩固练习2】已知在△ABC中，A＝45°，c＝eq\r(6)，a＝2，解此三角形.3.判断三角形形状【例3】已知在△ABC中，bsinB＝csinC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．【类题通法】利用正弦定理判断三角形形状的方法：(1)化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；(2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状.【巩固练习3】(1)若acosB＝bcosA，则△ABC是________三角形；(2)若acosA＝bcosB，则△ABC是________三角形.（四）操作演练素养提升1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，则sinB＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(5,9) C.eq\f(\r(5),3) D.12.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3eq\r(2)，则AC＝()A.4eq\r(3) B.2eq\r(3) C.eq\r(3) D.eq\f(\r(3),2)3.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，则△ABC是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形4.在△ABC中，a＝5，b＝5eq\r(3)，A＝30°，则B＝________.课堂小结通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？学习评价【自我评价】你完成本节导学案的情况为（）A.很好B.较好C.一般D.较差【导学案评价】本节导学案难度如何（）A.很好B.较好C.一般D.较差【建议】你