六年级上册数学培优奥数讲义-第24讲与比有关的行程问题

第24讲与比有关的行程问题知识与方法行程问题中有很多比例关系，在只知道比例时，用比例法可求得具体数值。更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比解题。初级挑战1A、B两地相距380千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行，当甲车行了全程的时，乙车行了全程的。那么甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？思路引领：同样的时间，甲车行驶的路程与乙车行驶的路程的比是（）。答案：相遇时，甲、乙的路程比为：:＝10:91份路程：380÷（10＋9）＝20（千米）甲车：20×10＝200（千米）乙车：20×9＝180（千米）能力探索1甲、乙两车同时从A、B两地出发,相向而行，2小时后两车相遇，这时甲车正好行了全程的，已知甲车每小时行45千米，求相遇时乙车共行了多远？答案：相遇时乙车行了全程的1－＝甲车路程:乙车路程＝:＝3:5相遇时甲车行驶：45×2＝90（千米）乙车：90÷3×5＝150（千米）初级挑战2甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行，它们的速度比是5:3。当两车相遇时，甲车比乙车多行了18千米，A、B两地相距多少千米？思路引领：时间一定时，已知甲、乙两车的速度比是5:3，可求出甲、乙两车的路程比是（）。相遇时甲车比乙车多走（）份，对应（）千米，算出每份数即可求出总路程。答案：甲的速度：乙的速度＝甲的路程：乙的路程＝5:3，每份对应路程：18÷（5－3）＝9（千米），总路程：9×（5＋3）＝72（千米）能力探索2甲、乙两车分别从两地同时出发,相向而行，2.5小时相遇。已知甲车速度是乙车速度的，相遇时乙车比甲车多走了40千米。甲、乙两车的速度各是多少？答案：甲的速度:乙的速度＝甲的路程:乙的路程＝3:41份路程：40÷（4－3）＝40（千米），甲的路程：3×40＝120（千米），甲的速度：120÷2.5＝48（千米/时）；乙的速度：48÷＝64（千米/时）。中级挑战1甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行，当甲车行了全程的时，乙车行了全程的，当乙车行完全程时，甲车距终点还有20千米。A、B两地相距多少千米？思路引领：根据题意可知，相同的时间，甲、乙所行的路程之比为＝3:4，当乙车行完全程时，假设乙车行了4份，那么甲车行了（）份，甲、乙两车所行的路程相差（）份，正好是20千米。答案：甲、乙路程之比为＝3:4，20÷（4－3）×4＝80（千米）。能力探索3甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，当甲车行了全程的时，乙车行了36千米；当甲车到达B地时，乙车行了全程的。A、B两地相距多少千米？答案：当甲车到达B地时，乙车行了全程的，说明甲乙两车路程之比为10:7，因此，当甲行了全程的时，乙行了全程的×＝，A、B两地相距：36÷＝120（千米）中级挑战2货车速度是客车的，两车分别从甲、乙两地同时出发,相向而行，在离两地中点3千米处相遇。相遇后，两车分别用原速度继续前进，问当客车到达甲站时，货车还离乙站多远？思路引领：根据题意可先求出当两车相遇时，货车与客车所行路程之比是（）。而在离两地中点3千米处相遇，说明相遇时客车比货车多走了（）千米。那么根据路程之比和路程差可先求出甲、乙两站的距离，进而求解。答案：方法一：货车路程：客车路程＝货车速度：客车速度＝9:10，相遇时客车比货车多走了3×2＝6（千米），设货车走了9份，那么客车走了10份，多走了1份路程，那么1份路程为6÷（10－9）＝6（千米），那么总路程为：6×（9＋10）＝114（千米），而当客车到达甲站时，货车行驶了全程的，那么货车离乙站还有：114×（1－）＝11.4（千米）。方法二：相遇时，货车路程：客车路程＝货车速度：客车速度＝9:10，那么货车行了全程的，客车行了全程的，而客车比货车多行了3×2＝6（千米），因此可求出全程为：6÷（－）＝114（千米），而当客车到达甲站时，货车行驶了全程的，那么货车离乙站还有：114×（1－）＝11.4（千米）。能力探索4从A地到B地，甲车每小时行全程的，乙每小时行全程的，现两车同时从A、B两地相向开出，并在离中点50千米处相遇，A、B两地的距离是多少千米？答案：甲车路程:乙车路程＝＝3:5，甲比乙多走2×50＝100（千米），每1份：100÷2＝50（千米），全程：50×（3＋5）＝400（千米）。聪明泉筹算女杰王贞仪女数学家王贞仪(1768－1797)，字德卿，江宁人，是清代学者王锡琛之女，著有《西洋筹算增删》一卷、《重订策算证讹》一卷、《象数窥余》四卷、《术算简存》五卷、《筹算易知》一卷。从她遗留下来的著作可以看出，她是一位从事天文和筹算研究的女数学家。算筹，又被称为筹、策、筹策等，有时亦称为算子，是一种棒状的计算工具。一般是竹制或木制的一批同样长短粗细的小棒，也有用金属、玉、骨等质料制成的，不用时放在特制的算袋或算子筒里，使用时在特制的算板、毡或直接在桌上排布。应用“算筹”进行计算的方法叫做“筹算”，算筹传入日本称为“算术”。算筹在中国起源甚早，《老子》中有一句“善数者不用筹策”的记述，现在所见的最早记载是《孙子算经》，至明朝筹算渐渐为珠算所取代。17世纪初叶，英国数学家纳皮尔发明了一种算筹计算法，明末介绍到我国，也称为“筹算”。清代著名数学家梅文鼎、戴震等人曾加以研究。戴震称其为“策算”。王贞仪也从事研究由西洋传入我国的这种筹算，并且写了三卷书向国人介绍西洋筹算。她在著作中对西洋筹算进行增补讲解，使之简易明了。王贞仪介绍的纳皮尔算筹乘除法，当时的读者认为容易了解，但与当时我国的乘除法筹算的方法相比，显得较繁杂。因此，数学家们没有使用西洋筹算，一直使用中国筹算法。今天的读者把中外筹算乘除法视为老古董，采用的是由外国传入的笔算四则运算，这种笔算于1903年才开始被使用，故我国与世界接轨使用笔算的历史只有100年。拓展挑战甲车从A地开往B地，小时行了全程的；乙车每小时行56千米，两车同时从A、B两地相向而行。相遇时，乙车行了全程的，A、B两地相距多少千米？思路引领：甲车1小时行全程的，相遇时，乙车行了全程的，那么甲车走了全程的，甲车用时：（小时），那么乙车也走了6小时。再根据路程＝速度×时间，求得相遇时乙车行：56×6＝336（千米），因此全程为：336÷（千米）。能力探索5甲车从A地开往B地，小时行了全程的，乙车小时行了69千米，两车同时从A、B两地相向而行，相遇时乙车所行的路程是甲车的。A、B两地相距多少千米？答案：甲速：，乙速：69÷＝46（千米/时）。两车速度比与两车路程比相同，为3:2。所以甲车速度为46×＝69（千米/时），两地相距69÷＝690（千米）。课堂小测：1、甲、乙两地之间的公路长216千米。一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的，离乙地还有多少千米？2、甲车从A地开往B地需要12小时，乙车每小时行50千米，现在两车同时从A、B两地出发,相向而行，相遇时，甲车行了全程的，A、B两地相距多少千米？3、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，当甲行了全程的时，乙车行了16千米；当甲车到达B地时，乙车行了全程的。A、B两地相距多少千米？4、一辆摩托车和一辆汽车同时从A地开往B地。3小时后，摩托车到达A、B两地的中点，汽车则距中点90千米，已知汽车的速度是摩托车的，摩托车与汽车的速度各是多少？答案1、216×（1－）＝135（千米）2、相遇时间：÷＝7（小时）50×7÷（）＝840（千米）3、甲车路程：乙车路程＝5:4，乙车路程：×＝全程：16÷＝60（千米）4、汽车路程：摩托车路程＝3:5，汽车速度：摩托车速度＝3:51份速度：（90÷3）÷（5－3）＝15（千米/时）汽车速度：15×3＝45（千米/时），摩托车速度：15×5＝75（千米/时）课后作业1、一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的，第二小时行了全程的，两小时行了114千米。两地之间的公路长多少千米？答案：114÷（＋）＝216（千米）2、甲、乙两车从A、B两地相对开出，当甲行了全程的时，乙车行了全程的；当甲车到达B地时，乙车离B地还有9千米。A、