必考点16等比数列

必考点15等比数列题型一等比数列的通项公式及相关计算例题1（2021秋•河南期中）已知正项等比数列中，，则公比A． B． C．或 D．2【答案】B【解析】正项等比数列中，，则，所以，解得或（舍，则公比．故选B．例题2（2021秋•河南期中）已知等比数列中，，，则A． B． C． D．【答案】B【解析】因为等比数列中，，，所以，化简得，解得，则．故选B．【解题技巧提炼】等比数列的通项公式及变形的应用1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.题型二等比中项及其应用例题1（2021春•保山期末）等比数列的前项之积为，若，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由等比数列的性质得：，，．故选A．例题2（2021春•宜春期末）各项为正的等比数列中，，则A．1 B．2 C．3 D．9【答案】B【解析】由是等比数列，得，所以．故选B．【解题技巧提炼】(1)首项a1和公比q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.题型三等差数列的判定例题1（2020秋•黄埔区期中）已知数列的前项和，其中．（1）证明是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求．【答案】（1）根据题意，若，，．当时，，两式相减，得，即，，．．即，即，，是等比数列，公比，当时，，即，；（2）若，则，即，则，得．例题2（2021春•嘉兴期中）已知数列满足，．（1）证明：数列是等比数列；（2）若数列的前项和为，求数列的通项公式以及前项和．【答案】（1）由题可得，即，又，数列是首项为1，公比为3的等比数列．（2）由（1）可知，，，．【解题技巧提炼】判断一个数列是否是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列{an}满足eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列.(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.(3)等比中项法：若aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列.(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b，kb(k－1)≠0关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可.注：第(1)、(3)也可作为等比数列的证明方法.题型四等比数列性质的应用例题1（2021•渭南二模）在等比数列中，，是方程的根，则的值为A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】在等比数列中，，是方程的根，，，．故选B．例题2（2021•石嘴山模拟）在等比数列中，，，则A． B． C．9 D．12【答案】D【解析】根据题意，在等比数列中，，，则有，变形可得；故选D．【解题技巧提炼】巧用等比数列的性质解题(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法.①基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.(2)利用等比数列的性质解题①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.题型五等差数列与等比数列的综合问题例题1（2021春•岑溪市期中）等比数列中，若，，，成等差数列，则A．16 B．32 C．64 D．128【答案】C【解析】等比数列中，，，，成等差数列，，，解得，．故选C．例题2（2021春•惠山区期末）已知数列的前项和为，若，，，为等差数列，则A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，，故，且，故，则，，则是首项为6，公比为的等比数列，故，则，故选D．【解题技巧提炼】求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要.题型六等比数列的实际应用例题1（2021•广州二模）生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约的能量能够流到下一个营养级在这个生物链中，若能使获得的能量，则需提供的能量为A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意可知：能量流动法则里表明能量的效率大约是，如果要使获得能量，则，解得，故选D．例题2（2021春•建邺区月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第四天走的路程为A．6里 B．12里 C．24里 D．48里【答案】C【解析】由题意可知，该人所走路程构造数列是等比数列，，因为，解得，故．故选C．【解题技巧提炼】求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要.题型一等比数列的通项公式及相关计算1．（2021秋•三门峡月考）等比数列中，，，则A． B． C．12 D．24【答案】D【解析】，，，解得，．故选D．2．（2021秋•苏州期中）在等比数列中，，，则的值为A．9 B．27 C．81 D．243【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由，得，所以．故选B．题型二等比中项及其应用1．（2021秋•桂林月考）已知在等比数列中，若，则的值A． B． C． D．【答案】C【解析】在等比数列中，若，则．故选C．2．（2021•东兴区校级开学）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为A．2 B． C．6 D．【答案】A【解析】根据题意，，又是等比数列，所以．故选A．题型三等比数列的判定1．（2021•长春模拟）已知数列的前项和为，，．（Ⅰ）求证：是等比数列；（Ⅱ）证明：．【答案】证明：（Ⅰ）由可得，，则，，由，则，即．因此为以为首项，以为公比的等比数列．（Ⅱ）由，因此，则，因此，当时，，当时，满足，因此，．2．（2021春•和田市期中）已知满足，，（1）求证：是等比数列；（2）求这个数列的通项公式．【答案】证明：（1），，，，，是以4为首项，以2为公比的等比数列，解：（2）由（1）可得，.题型四等比数列性质的应用1．（2021秋•河南月考）已知数列为各项都是正数的等比数列，，则A．2 B． C． D．【答案】C【解析】设数列的公比为，由可得，，，，又，，．故选C．2．（2021春•邗江区期中）在等比数列中，，，则的值为A． B． C． D．3【答案】B【解析】等比数列中，，，由等比数列的性质得，，与同号，，．故选B．题型五等差数列与等比数列的综合问题1．（2021秋•五华区月考）已知数列是公比为的等比数列，若，且是与2的等差中项，则的值是A．1 B．2 C．或1 D．或2【答案】A【解析】数列是公比为的等比数列，，且是与2的等差中项，，解得，，的值为1．故选A．2．（2021秋•五华区月考）已知数列是公比为的等比数列，若，且是与的等差中项，则的值是A． B．1 C．2 D．或【答案】D【解析】数列是公比为的等比数列，，且是与的等差中项，，解得或．的值是或．故选D．题型六等比数列的实际应用1．（2021秋•聊城期中）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则取大的一份是个．A．12 B．24 C．36 D．48【答案】D【解析】设等比数列的首项，公比，由题意得，，所以，因为，解得，，，所以．故选D．2．（2021春•瑶海区月考）今年小明的父母年龄之和是小明的6倍，四年后小明的父母年龄之和是小明的5倍．已知小明的父亲比他的母亲大2岁，那么今年小明父亲多少岁？A．38 B．36 C．37 D．35【答案】C【解析】设小明父亲今年岁，小明今年岁，则，即，解得，所以今年小明父亲37岁．故选C．1．（2021秋•北碚区月考）已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则A．16 B． C．14 D．【答案】B【解析】根据题意，，由是等比数列，得，所以，故选B．2．（2021秋•印台区期中）在正项等比数列中，，则数列的前9项和为A． B． C． D．【答案】B【解析】正项等比数列中，，所以，则数列的前9项和．故选B．3．（2021秋•宝塔区月考）已知为等比数列，且，则公比为A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】，，，或，当时，当时，，即，无解，故舍去，则公比．故选B．4．（2021秋•宝塔区月考）已知等比数列，，，则A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，又，．故选D．5．（2021秋•濂溪区月考）已知等比数列的各项均为正数，若，则A．4 B．3 C．2 D．8【答案】A【解析】根据题意，等比数列中：，则有，又由数列的各项均为正数，则；故选A．6．（2021秋•洛阳期中）在等比数列中，，，则A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【解析】，，，．故选A．7．（2021秋•河南月考）已知为等比数列，，，则A．4 B． C． D．8【答案】A【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，解得，又，所以，解得．故选A．8．（2021秋•闵行区期中）若1，，