专题07导数与函数的最值（重难点突破）

专题07导数与函数的最值【重难点知识点网络】：1．函数的最值与导数一般地，如果在区间上函数的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．2．求函数最值的步骤求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数在内的________；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【重难点题型突破】：一、求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．例1．（1）（2021·全国高二课时练习）函数y＝的最大值为（）A．e－1 B．e C．e2 D．10【答案】A【分析】先求导找极大值，再得最大值.【详解】令当时，；当时，所以函数得极大值为，因为在定义域内只有一个极值，所以故选：A.（2）（2021·江苏高二单元测试）函数在[0，2]上的最大值是（）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】先利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值【详解】解：由，得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以，故选：A（3）（2021·广东湛江市·高三一模）（多选题）已知函数f(x)=x33lnx1，则（）A．f(x)的极大值为0 B．曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴C．f(x)的最小值为0 D．f(x)在定义域内单调【答案】BC【分析】直接对f(x)=x33lnx1，求出导函数，利用列表法可以验证A、C、D;对于B:直接求出切线方程进行验证即可.【详解】f(x)=x33lnx1的定义域为，令，得，列表得：x(0,1)1(1,+∞)0+f(x)单减单增所以f(x)的极小值，也是最小值为f(1)=0，无极大值，在定义域内不单调；故C正确，A、D错误；对于B:由f(1)=0及，所以y=f(x)在（1，f(1))处的切线方程，即.故B正确.故选：BC【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.【变式训练11】、（2021·全国高二月考（理））函数在上的最大值与最小值之和为（）A．46 B．35 C．6 D．5【答案】B【分析】由，求导，先求得的极大值，再由端点值，得到最值求解.【详解】由得，由可得，当时，，当时，，所以的极大值为，又，，所以的最大值为11，最小值为46，所以最大值与最小值之和为35.故选：B【点睛】方法点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．【变式训练12】、（2021·河南驻马店市·高三期末（文））已知函数，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数利用导数求出最小值，然后可得答案.【详解】，设，，当时，，是单调递增函数，当时，，是单调递减函数，所以，因为时有解，所以．故选：A.【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值问题，关键点是构造函数利用导数求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.【变式训练13】、（2021·天津静海区·静海一中高二月考）函数在区间上的最大值为（）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】求出导数，求出函数的单调区间，根据单调性判定最值.【详解】解：由题意可得当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以故选：B.【点睛】求函数区间上的最值的步骤：（1）求导数，不要忘记函数的定义域；（2）求方程的根；（3）检查在方程的根的左右两侧的符号，确定函数的极值.（4）求函数区间端点函数值，将区间端点函数值与极值比较，取最大的为最大值，最小的为最小值.例2．（2021·全国高三专题练习（理））若，，求：（1）的单调增区间；（2）在上的最小值和最大值.【答案】(1)增区间为;(2).【详解】分析：（1）求导，解不等式得到的单调增区间；（2）求出极值与端点值，经比较得到在上的最小值和最大值.详解：（1），由解得，的增区间为；（2），（舍）或，,,，点睛：函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【变式训练21】、（2021·全国高二课时练习）已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为【分析】（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1），令，得，所以的减区间为.（2）由（1），令，得或知：，为增函数，，为减函数，，为增函数.，，，.所以在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.二、函数最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值．例3、（2021·山东菏泽市·高三一模）（多选题）对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在上恒成立，则【答案】ACD【分析】对求导，利用导函数的符号判断的单调性即可得极值，可判断选项A；由的单调性以及函数值的符号可判断选项B；利用得单调性以及函数值与的关系可判断选项C；分离可得，计算的最大值可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：函数定义域为，，令可得，令可得，所以在单调递增，在单调递减，所以在时取得极大值，故选项A正确对于选项B：令，可得，因此只有一个零点，故选项B不正确；对于选项C：显然，在单调递减，可得，因为，即，故选项C正确；对于选项D：由题意知：在上恒成立，令则，因为易知当时.，当时，，所以在时取得极大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，则，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的极值的步骤：①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，代入解析式即可得极值.【变式训练31】、（2020·江苏省滨海中学高三月考）对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.【答案】【分析】根据不等式恒成立，构造，有，利用二阶导数研究单调性，再讨论、时的单调性，进而确定在上的最小值及对应m、n的关系式，将与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题，求的最小值即可.【详解】令，则，即，∴单调递增，∴当时，，即在上递减，而当时，，故不满足；当时，若得，即，∴时，，即递减；当时，，即递增；若令，即，则：①当，即，恒成立；∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，∴时，，有，，则；当，即，，得，∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，∴时，，有，，则；∴综上：，即的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，利用导数、分类讨论的方法判断单调性，并构造函数结合导数确定目标代数式中参数的关系，由所得条件中代数式的几何含义求最小值例4．（2021·全国高三月考（文））已知函数．（1）求函数在上的最值；（2）求证：当时，关于的方程仅有1个实数解．【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）证明见解析．【分析】（1）求出，再令利用的单调性得可得，判断出在上单调性，可得答案；（2）转化为，分、两种情况，再利用导数可得函数的单调性可得答案.【详解】（1）依题意，，令，则，故在上单调递增，故；故，即函数在上单调递增，故函数在上的最小值为，最大值为；（2）依题意，，则，令，则；当时，，当时，，所以，当时，所以，，，即，综上，故函数在上单调递增；因为，，故时，恰有1个零点；当时，令，则在上单调递增，因为，，令，得，单调递增，令，得，单调递减，所以，所以，故存在唯一实数，使得，即，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为，，故当时，函数恰有1个零点；当时，在上单调递增；因为，，所以存在唯一实数，使得，即，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；因为，，所以当时，函数只有1个零点，当时，，由得，故；令，；因为，故在上单调递增；因为，故，故当时，函数无零点；故当时，函数恰有1个零点．综上所述，当时，关于的方程仅有1个实数解．【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用导数研究函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可，考查了分析问题、解决问题的能力．【变式训练41】、（2020·咸阳市高新一中高三月考（理））已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.三、恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最大值，只要，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最小值，只要，则不等式恒成立．例5（2021·湖北高三月考）已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】【分析】设，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与最值，根据已知条件列出关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.【详解】设，，其中，则，①当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递减，当时，，对于函数，该函数的对称轴为直线，函数在上单调递增，当时，，所以，当时，，不符合题意；②当时，令，可得，列表如下：极小值所以，.（i）当时，即当时，，则，不符合题意；（ii）当时，即当时，则，此时，即.对于函数，，所以，当时，，，则对任意的恒成立.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.【变式训练51】、（2021·浙江高三其他模拟）已知，在上恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】题中告诉了，并且出现，故需要对的范围加以考虑.本题解法一是根据当时，，当时，并利用二次函数的图象和性质得到.解法二也可以是对分解因式，采用分离参数的办法来解决．【详解】解法一：当时，，对任意的实数，原不等式恒成立，当时，，当时，，令，则，且当时，，当时，，所以即解得．综上，实数的取值范围为．解法二易知，所以不等式，即．当时，，，，所以，即，又，所以；当时，，对任意的实数，原不等式恒成立；当时，，，，所以，即，又，所以．综上，实数的取值范围为．故答案为：【点睛】本题考查了定义域的分类讨论、二次函数在给定区间上的最值问题，以及分解因式，分离参数等数学方法，着重强调逻辑思维能力、综合应用能力．例6．（2020·哈尔滨市·黑龙江实验中学高三开学考试（文））已知函数的图像在点处的切线方程为.（1）求的表达式；（2）当时，恒成立，求