专题38函数与方程（知识点讲解）-2023年高考数学一轮复习知识点讲解真题测试（新教材新高考）

专题3.8函数与方程（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与不等式、方程等问题结合，考查函数的图象与性质，凸显数学抽象、逻辑推理的核心素养．2．通过判断具体函数零点的个数或零点所在区间，凸显数学运算、直观想象的核心素养．3．通过函数零点或方程根的存在情况求参数的取值范围，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．．【知识点展示】1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点2．函数零点的判定定理条件结论函数y＝f(x)在[a，b]上y＝f(x)在(a，b)内有零点(1)图象是连续不断的曲线(2)f(a)f(b)＜03.二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．4.判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．5.有关函数零点的三个结论(1)若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．(3)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．【常考题型剖析】题型一求函数的零点例1.（2014·湖北·高考真题（文））已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，所以，所以，由，解得或；由解得或（舍去），所以函数的零点的集合为.故选：D.例2．（2009·山东·高考真题（理））已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则【答案】【解析】【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可.【详解】解：定义在R上的奇函数，所以，，又，所以，8是函数的一个周期，所以，所以是函数的一条对称轴，函数的对称轴是，根据以上性质画出函数的大致图像:有图像知，，所以，故答案为：【规律方法】1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．,题型二：判断零点所在的区间例3．（2014·北京·高考真题（文））已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.例4．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设函数，易知在上递增，由零点存在定理可知．，设函数，由零点存在定理可知，，设函数，由函数单调性可知，，即可得出答案.【详解】设函数，易知在上递增，，，即，由零点存在定理可知．；设函数，易知在上递增，，，即，由零点存在定理可知，；设函数，易知在上递减，，，因为，由函数单调性可知，，即.故选:A．例5．（2011·山东·高考真题（理））已知函数，且．当时，函数的零点，，则__________.【答案】【解析】【详解】试题分析：设函数，根据，对于函数在时，一定得到一个值小于1，在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f（x）的零点时，.【规律方法】判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．题型三：函数零点个数的判断例6．（2013·天津·高考真题（理））的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】由题得，在同一坐标系下，作出函数的图象，即得解.【详解】令，在同一坐标系下，作出函数的图象，如图所示，由于的图象有两个交点，所以的零点个数为2,故选：B例7．（2014·福建·高考真题（文））函数的零点个数是_____.【答案】【解析】【详解】试题分析：令得，，只有符合题意；令得，，在同一坐标系内，画出的图象，观察知交点有，所以零点个数是.例8．（2022·新疆·三模（理））函数的零点个数为___________.【答案】2【解析】【分析】当时，令，直接解出零点即可；当时，先判断单调性，再结合零点存在定理即可判断.【详解】当时，令，解得，，此时有1个零点；当时，，显然单调递增，又，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.故答案为：2.例9．（2017·江苏·高考真题）设是定义在R且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是____________【答案】8【解析】【详解】由于，则需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为8．【规律方法】判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(4)转化成两个函数图象的交点问题．题型四：根据零点情况求参数范围例10.函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．D．【答案】D【解析】由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝在上有解，设t＝，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是.例11.（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，由可得，由可得，（1）时，当时，有4个零点，即；当，有5个零点，即；当，有6个零点，即；（2）当时，，，当时，，无零点；当时，，有1个零点；当时，令，则，此时有2个零点；所以若时，有1个零点.综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足或或，则可解得a的取值范围是.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.例12．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.

例13．（2018·天津·高考真题（理））已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】【详解】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．例14．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数在上存在零点，且，则的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】就、分类讨论，求解时利用不等式组表示的平面上的点的集合来求范围.【详解】，因为，所以，若即，由零点存在定理可得在上存在零点，考虑不等式组即在坐标平面上所表示的点的集合，因为表示直线及直线下方所有的点，同理表示直线与直线围成的所有点（包含边界，如图所示），由可得，，由图可得.若，因为在上存在零点，故即①，同理可得在坐标平面中①所表示的点的集合如图所示：由可得或（舍），由可得，结合图形可得，综上，故答案为：【规律方法】1.已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．2.已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围的方法题型五：嵌套函数零点问题例15.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）已知函数为定义在R上的单调函数，且.若函数有3个零点，则a的取值可能为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】BC【解析】【分析】设，则求出值，可得，由分离参数，结合图象即可求解．【详解】因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，则，，即，因为函数为增函数，且，所以，.当时，由，得；当时，由，得.结合函数的图象可知，若有3个零点，则．故选：BC例16.已知函数，则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是()A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0的根的问题．令y＝f(t)－2t－＝0，则f(t)＝2t＋.分别作出y＝f(t)和y＝2t＋的图象，如图①，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1＜t2)，则t1＝0,1＜t2＜2；由图②，结合图象，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2；当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解．所以y＝f[f(x)]－2f(x)－共有4个零