专题强化训练四直线和圆的方程解答题必刷题（25道）-2021-2022学年高二数学《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性）

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)直线和圆的方程专题强化训练四：直线和圆的方程解答题必刷题（25道）1．（2021·抚松县第一中学高二开学考试）已知中，，，．（1）求中平行于边的中位线所在直线的一般式方程；（2）求边的中线所在直线的一般式方程．2．（2021·全国高二课时练习）在平面直角坐标系中，设直线，直线，.（1）求证：直线过定点，并求出点的坐标；（2）当时，设直线，的交点为，过作轴的垂线，垂足为，求点到直线的距离，并求的面积.3．（2020·云南省下关第一中学高二月考（理））已知圆：，直线：.（1）证明直线总与圆相交；（2）当直线被圆所截得的弦长为时，求直线的方程.4．（2020·安徽桐城市第八中学高二月考）已知圆C：，直线l：（1）求证：对，直线l与圆C总有两个交点；（2）设直线l与圆C交于点A，B，若，求直线l的倾斜角；（3）设直线l与圆C交于点A，若定点满足，求此时直线l的方程．5．（2020·河北武强中学高二月考）已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点．（1）当经过圆心时，求直线的方程；（2）当弦的长为时，求直线的方程．6．（2021·全国高二单元测试）已知圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为.(1)当切线的长度为时，求点的坐标.(2)若的外接圆为圆，试问：当点运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.7．（2021·梅河口市第五中学高二开学考试）已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍．（1）求点的轨迹方程：（2）若点与点关于点对称，求、两点间距离的最大值；（3）若过点的直线与点的轨迹相交于、两点，，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．8．（2021·江苏高二专题练习）已知的三个顶点分别为，，．（1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求b的值；（2）一束光线从点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．9．（2021·江苏高二专题练习）设直线l的方程为（）（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点；（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长；（3）已知a为整数且直线l在两坐标轴上的截距也均为整数，求此时直线l的方程．10．（2021·安徽高二期中（文））已知圆：.（1）若圆的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；（2）从圆外一点向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有，求使最小的点P的坐标.11．（2021·江西新余四中）已知点在圆：上运动，点．（1）若点是线段的中点，求点的轨迹的方程；（2）过原点且不与轴重合的直线与曲线交于，两点，是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．12．（2021·山东菏泽·高二期末）已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线与圆相交于，两点、从①直线相切；②与圆关于直线对称；③圆的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.13．（2021·全国高二课时练习）如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足.（1）求边所在直线的方程；（2）求外接圆的方程；14．（2021·江西景德镇一中高二期末（文））已知直线，的方程为.（1）求证：与相交；（2）若与的交点为、两点，求的面积最大值.（为坐标原点）15．（2021·北京八中高二期末）已知中，在轴上，点是边上一动点，点关于的对称点为.（1）求边所在直线的方程；（2）当与不重合时，求四边形的面积；（3）直接写出的取值范围.16．（2021·全国高二专题练习）已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．17．（2021·全国高二专题练习）已知曲线C：表示圆，圆心为C.（1）求圆C的面积的取值范围；（2）若曲线C与直线交于M､N两点，且，求实数m的值.18．（2020·浙江高二期中）已知圆M过，，且圆心M在直线上.（1）求圆M的标准方程；（2）过点的直线m截圆M所得弦长为，求直线m的方程；（3）过直线l:x+y+4=0上任意一点P向圆M作两条切线，切点分别为C，D.记线段CD的中点为Q，求点Q到直线l的距离的取值范围.19．（2021·全国高二专题练习）已知直线与圆交于两点．（1）求出直线恒过定点的坐标（2）求直线的斜率的取值范围（3）若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．20．（2020·安徽立人中学高二期中（文））已知圆过点，且与圆关于直线对称．（1）求圆、圆的方程；（2）过点Q向圆和圆各引一条切线，切点分别为C，D，且，则是否存在一定点M，使得Q到M的距离为定值？若存在，求出M的坐标，并求出的值；若不存在，请说明理由．21．（2021·全国高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝64，以O1（9，0）为圆心的圆记为圆O1，已知圆O1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21.（1）求圆O1的标准方程；（2）求过点M（5，5）且与圆O1相切的直线的方程；（3）已知直线l与x轴不垂直，且与圆O，圆O1都相交，记直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1.若，求证：直线l过定点.22．（2021·全国高二课时练习）（1）已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．（2）已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值与最小值．23．（2020·辽宁高二期中）已知圆与轴负半轴的交点为A，点在直线上，过点作圆的切线，切点为.（1）若，切点，求直线；（2）若，求实数的取值范围.24．（2021·内蒙古包头·高二期末）已知圆：，是圆内一点，是圆外一点．（1）是圆中过点最长的弦，是圆中过点最短的弦，求四边形的面积；（2）过点作直线交圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．25．（2020·安徽桐城市第八中学高二月考）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，过点的直线m与圆C交于M，N两点．（1）若直线m垂直平分弦AB，求实数a的值；（2）若，求以MN为直径的圆的方程；（3）已知点，在直线SC上为圆心，存在定点异于点，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点T的坐标及该常数．参考答案1．（1）；（2）．（1）因为，，，由中点坐标公式可知，线段的中点为，线段的中点为，所以BC边的中位线所在直线方程为：，整理得：．（2）因为线段的中点为，所以边的中线所在直线的方程为：，整理得：．2．【详解】解：（1）∵直线，∴，由，得，∴直线过定点.（2）当时，直线，直线，由，得，即，∴.所以直线的方程为，即，∴点到直线的距离.∵点到直线的距离为32=1，，∴的面积.3．【详解】解：（1）证明：∵圆：，∴圆心，半径，∵直线：，整理得：，令，解得：，∴直线过定点，∴，∴定点在圆内，∴直线总与圆相交.（2）∵直线被圆所截得的弦长为，∴圆心到直线的距离，∵直线：，∴，∴，解得或，将或，代入直线：，∴直线的方程：或.4．【详解】（1）由直线可得：，故直线过定点.因为，故在圆内，所以直线与圆总有两个不同的交点；（2）因为，故到直线的距离，又圆心到直线的距离为，所以，解得，故直线的斜率为，所以其倾斜角为或；（3）由（1）可得在圆内.设，则，故.设的中点为，则且.设，因为，故，解得，所以，所以，故直线或.5．（1）；（2）或．【详解】（1）圆心坐标为（1，0），，，整理得．（2）圆的半径为3，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，整理得，圆心到直线的距离为，解得，代入整理得．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，经检验符合题意．∴直线的方程为或．6．(1)或；(2)过定点，定点和.【详解】(1)由题可知圆的圆心为，半径.设，因为是圆的一条切线，所以.在中，，故.又，所以，解得或.所以点的坐标为或.(2)因为，所以的外接圆圆是以为直径的圆，且的中点坐标为，所以圆的方程为，即.由，解得或，所以圆过定点和.7．（1）；（2）14；（3）存在；或．【详解】解：（1）由已知，．，即，（2）设，因为点与点关于点对称，则点坐标为，点在圆上运动，点的轨迹方程为，即：，；（3）由题意知的斜率一定存在，设直线的斜率为，且，，则：，联立方程：，，又直线不点，．点到直线的距离，，，，，当时，取得最大值，此时，，直线得方程为或．8．【详解】（1）直线BC的方程为：，直线只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点，由得，，直线与x轴交点为，，由，即，化简得：，又，，解得：，而，．（2）设，直线AC的方程为：，直线BC的方程为：，设关于直线AC的对称点为，则，解得，同理可得关于直线BC的对称点为，则在直线ED上，所以直线ED的斜率为，的斜率为，l方程为，即，过定点．9．【详解】（1）直线l的方程为（），整理可得：，当时不论a为何值，，即，，可证当不论a为何值，直线恒过定点；（2）时，，即，因为时，直线与x轴无交点，所以，令时，，即，，因为这两个点分别在x轴正半轴，y轴正半轴，所以，且，所以，所以，当且仅当，即时，面积最小，此时，，所以这时周长为；（3）因为直线l在两坐标轴上的截距均为整数，即，都是整数，而，所以，，0，2，又当，直线过原点也符合题意，所以直线方程分别为：，，，，．10．（1），，；（2）.【详解】（1）圆：的标准方程为，所以圆心，.设圆的切线在x轴和y轴上的截距分别为a，b，①当时，切线方程可设为，即，由点到直线的距离公式，得.所以切线方程为.②当时，切线方程为，即.由点到直线的距离公式，得，.所以切线方程为，.综上，所求切线方程为，，.（2）由圆的切线性质可知：，∵，∴.即.整理得.∴.当时，最小，此时，∴.11．（1）；（2）是定值．【详解】（1）圆的圆心，半径为4，设的中点为，则，依题意，，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，即的轨迹的方程为；（2）因过原点且不与轴重合，则可设直线的方程为．由消去并整理得，依题意知，是上述关于x的一元二次方程的两根，则，，于是有，所以是定值.12．（1）选①②③均有：；（2）或．【详解】解：选①（1）由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离即，所以圆的方程为．（2）记线段的中点为，依据可得且，，则即点到直线的距离为1，若直线的斜率存在设为，直线：即，所以，解得，直线的方程为．若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意．综上直线的方程为或．选②由与圆关于直线对称知圆的半径，所以圆的方程为．（2）同上.选③（1）圆的公切线长，设圆的半径为则，解得，或，舍去．所以圆的方程为．（2）同上．13．（1）；（2）.【详解】（1）由，可得，又由在上，所以，所以为，因为边所在直线的方程为，斜率为,所以直线的斜率为，又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，即.（2）由（1）边所在直线的方程为，联立方程组，可得，因为，所以为斜边上的中点，即为外接圆的圆心，又由，所以外接圆的方程为.14．解：（1）由题知直线，的标准方程为，所以直线过定点，为圆的圆心，所以直线过的圆心，故与相交；（2）由（1）知直线过圆的圆心，的半径为，所以，所以当到直线的距离最大时，的面积取最大值，故当直线与直线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，所以的面积最大值为15．（1）；（2）；（3）.【详解】（1）设，因为，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以边所在直线的方程为：，即；（2）因为点关于的对称点为，且在上，所以到所在直线的距离等于到所在直线的距离，又因为有公共底边，所以四边形，又因为到所在直线的距离为，，所以；（3）的取值范围是.(理由供参考：设，因为关于的对称点为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以16．（1）；（2）．【详解】（1）设圆C的方程为圆心C在射线上，所以圆C与y轴相切，则点到直线的距离，由于截直线所得弦长为，所以则得，又所以(舍去)，故圆C的方程为；（2）由（1）得，因为，所以在线段的中垂线上，则，因为，所以解得17．（1）（2）【详解】（1）因为曲线C：表示圆，所以，解得，所以圆的半径，所以圆C的面积.（2）因为圆心，半径，所以圆心到直线的距离，因为，所以，所以，解得，满足.18．【详解】（1）圆心在直线上，设圆的标准方程为：，圆过点，，，解得圆的标准方程为.（2）①当斜率不存在时，直线m的方程为：，直线m截圆M所得弦长为，符合题意；②当斜率存在时，设直线m：，圆心M到直线m的距离为根据垂径定理可得，，，解得．直线m的方程为，或.（3）设，则切点弦所在的直线方程为，直线的方程为，联立可得，根据点到直线距离公式可得，．19．（1）；（2）；（3）为定值.【详解】（1）将直线方程整理为：，令，解得：，直线恒过定点；（2）设直线斜率为，由（1）可知：直线方程可设为：，即；圆方程可整理为，则其圆心，半径，直线与圆交于两点，圆心到直线距离，即，解得：，即直线斜率的取值范围为；（3）设，当时，与圆仅有一个交点，不合题意，，则直线，可设直线方程为，由得：，由（2）知：；，，，为定值.20．【详解】（1）设圆的圆心，因为圆与圆关于直线对称，可得，解得，设圆的方程为，将点，代入可得，所以圆的方程为，圆的方程为．（2）由，根据切线长公式，可得，设，则，化简得，所以存在定点使得Q到M的距离为定值．21．【详解】解：（1）由题设得圆O1的半径为4，∴圆O1的标准方程为（x﹣9）2+y2＝16；（2）①当切线的斜率不存在时，直线方程为x＝5符合题意；②当切线的斜率存在时，设直线方程为y﹣5＝k（x﹣5），即kx﹣y+（5﹣5k）＝0，∵直线和圆相切，∴，解得，从而切线方程为y.故切线方程为y或x＝5；证明：（3）设直线l的方程为y＝kx+m，则圆心O，圆心O1到直线l的距离分别为：h，，从而d，.由2，得，整理得m2＝4（9k+m）2，故m＝±2（9k+m），即18k+m＝0或6k+m＝0，∴直线l为y＝kx﹣18k或y＝kx﹣6k，因此直线l过点定点（18，0）或直线l过定点（6，0）.22．（1）最小值为11，最大值为51；（2）最大值是－2＋，最小值为－2－.【详解】解：(1)圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)，半径r＝2.x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2表示圆上点P(x，