第03讲正弦定理余弦定理的应用

第11章 解三角形第03讲正弦定理、余弦定理的应用目标导航目标导航课程标准重难点1.掌握正余弦定理的实际应用1.实际模型抽象为正余弦定理问题知识精讲知识精讲1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acos B．能力拓展能力拓展考法01测量距离问题例1(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m例1(2)如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是________．【答案】(1)60(2)20eq\r(6)m【解析】(1)tan30°＝eq\f(CD,AD)，tan75°＝eq\f(CD,DB)，又AD＋DB＝120，∴AD·tan30°＝(120－AD)·tan75°，∴AD＝60eq\r(3)，故CD＝60.(2)在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝40eq\r(2).在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝20eq\r(2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA＝(20eq\r(2))2＋(40eq\r(2))2－2×40eq\r(2)×20eq\r(2)cos60°＝2400，∴AB＝20eq\r(6)，故A，B两点之间的距离为20eq\r(6)m.【方法技巧】测量距离的基本类型及方案类型A，B两点间不可通或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达图形方法先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB【跟踪训练】1．海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是()A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里【答案】D【解析】如图所示，根据题意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(10,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(\r(3),2))，∴BC＝5eq\r(6)(海里)．故选D.2.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为eq\f(\r(3)a,2)的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝45°，∵eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，∴BC＝eq\f(\r(6),4)a.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝eq\f(3,4)a2＋eq\f(3,8)a2－2×eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(6),4)a×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)a2.∴AB＝eq\f(\r(6),4)a.∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为eq\f(\r(6),4)a.考法02测量高度问题例2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.例2【解析】在△BCD中，∠CBD＝π－(α＋β)．由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD).∴BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(s·sinβ,sinα＋β).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝eq\f(s·sinβtanθ,sinα＋β).【方法总结】测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．【跟踪训练】1.如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.【解析】由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．即山的高度为800(eq\r(3)＋1)m.考法03测量角度问题例3某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10eq\r(3)海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．例3[【解析】设所需时间为t小时，则AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．所以护航舰需要1小时靠近货船．此时AB＝10eq\r(3)，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2)，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.【方法总结】测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解【跟踪训练】某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(eq\r(3)＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10eq\r(2)海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且eq\r(3)＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．【解析】如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.由题意AB＝20(eq\r(3)＋1)，DC＝20eq\r(2)，BC＝(eq\r(3)＋1)·10eq\r(2).在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(\r(3),2).所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，又D位于A的正北方向，又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏45°分层提分分层提分题组A基础过关练一、单选题1．2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45°，乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°，塔底为C，（A，B，C在同一水平面上，平面ABC），测得，，则纪念塔的高CD为（

）．A．40m B．63mC．m D．m【答案】B【解析】如图所示，，设塔高为，因为平面ABC，所以，所以，又，即，解得.故选：B.2．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩，(如图)，要测量，两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，．就可以计算出，两点的距离为（

）．A．m B．m C．m D．m【答案】D【解析】由三角形内角和定理可知：，由正弦定理得:，故选：D3．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（

）A．ABC是锐角三角形 B．ABC是直角三角形C．ABC是钝角三角形 D．ABC的形状不确定【答案】C【解析】因为，所以，所以角是钝角，所以ABC是钝角三角形，故选：C4．“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A”与1个正五边形组成，其中，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，依题意，在三角形中，，故；所以，设的面积为x，则面积为，同理的面积为，的面积为x，则阴影部分面积与五角形面积的比值为.故选：B．5．的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则为（

）A．等腰非等边三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等边三角形【答案】C【解析】，所以.在中，，故，因为，所以，因为，所以，故为直角三角形.故选：C．6．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为（

）（参考数据：、）A．18米 B．19米 C．20米 D．21米【答案】B【解析】中，，则，中，，则，由ACBC=AB得，约为米.故选：B二、多选题7．在中，有如下命题，其中正确的有（

）A．若，则是等边三角形B．若，则是等腰三角形C．若，则是钝角三角形D．若，则这样的有2个【答案】ACD【解析】A中由及得，所以是等边三角形，A正确.B选项中，如时，不是等腰三角形，所以B错误；C选项中，化简为，由正弦定理得，再由余弦定理得，所以是钝角三角形，C选项正确；D选项中知成立，所以这样的三角形有2个，D选项正确.故选：ACD8．在△ABC中，若，下列结论中正确的有（

）A．B．△ABC是钝角三角形C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若，则△ABC外接圆的半径为【答案】ACD【解析】由题意，设，解得；所以A正确；由以上可知最大，为锐角，B错误；由以上可知最小，，即,因为为锐角，为锐角，所以，C正确；因为，所以，设△ABC外接圆的半径为，则由正弦定理可得，所以，D正确故选ACD.三、填空题9．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左､右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差为，则圆弧的半径为___________.【答案】120【解析】如图所示，设圆弧圆心为，半径为，三个小球的球心自左至右分别为，，，设，由题意可知，，且即，所以，解得，故答案为：.10．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，，则的面积S为_______．【答案】【解析】由题意得：由，可得，即所以，由余弦定理，得所以，，又由可得，则．故答案为：四、解答题11．如图，是直角三角形斜边上一点，.(1)若，求角的大小；(2)若，且，求的长.【解析】(1)在中，由正弦定理得，所以，又所以，.(2)由，且知：所以，直角三角形中，在中，由余弦定理得所以，.12．已知、、分别为内角、、的边，.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.【解析】(1)因为由正弦定理得，则由余弦定理得，又，故；(2)由的面积为，所以由余弦定理，因为，所以所以故的周长为题组B能力提升练一、单选题1．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先在A处看到山顶的俯角为，经过后，又在B处看到山顶的俯角为，则山顶的海拔约为（

）（结果精确到0.1，参考数据：）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，过C点作直线的垂线，垂足为D.由题意得，，因为，所以，又因为，所以.故山顶的海拔约为.故选：B2．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位：），三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有三点，且在同一水平面上的投影满足，，由点测得点的仰角为，与的差为，由点测得点的仰角为，则两点到水平面的高度差约为（

）（）A．273 B．260 C．410 D．560【答案】D【解析】，点测得点的仰角为，所以,在三角形中，由正弦定理得，由于由点测得点的仰角为，所以高度差等于.故选：D3．的外接圆半径，角，则面积的最大值为（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】解：由正弦定理得，所以由余弦定理得：，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以.故选：A4．测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆（在水平面）垂直于水平面，水平面上两点，的距离为，测得，，其中，在点处测得旗杆顶点的仰角为，，则该旗杆的高度为（单位：）（

）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【解析】在中，，，，∵，∴，在中，.故选：B.5．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且满足关系式，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】,由正弦定理可得，再由余弦定理可得，,.所以在锐角中，，由正弦定理得：所以，所以.因为，所以，所以.故选：D.6．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（

）（忽略人的身高）（参考数据：）A．49米 B．51米 C．54米 D．57米【答案】D【解析】设滕王阁的高度为，由题设知：，所以，则，又，可得米.故选：D二、多选题7．在△ABC中，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．，若，则这样的三角形有两个D．若，则△ABG为锐角三角形【答案】BC【解析】选项A，由正弦定理得，三角形中，所以，而，所以或，A错；选项B，△ABC中，，所以，B正确；选项C，由于，，又，所以，角可能为锐角也可能为钝角，三角形有两解，C正确；选项D，，由余弦定理得，为锐角，但两个角大小不确定，不能得出其为锐角三角形，D错．故选：BC．8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（

）A． B．是钝角三角形C．若，则的面积为 D．若，则内切圆半径为【答案】ACD【解析】由正弦定理得：，A正确；大边对大角，故C最大，设，则，故是锐角三角形，B错误；因为，所以，由得：，故的面积为，C正确；此时设内切圆半径为r，则，解得：，D正确.故选：ACD三、填空题9．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________.【答案】9【解析】解：∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.∵a＝3，∴由正弦定理得＝＝＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，则a＋b＋c＝3＋2sinB＋2sinC＝3＋2sinB＋2sin＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋6sin，∵B∈，所以，∴当B＝时，△ABC的周长取得最大值9.故答案为：9.10．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为___________．【答案】【解析】设AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为vkm/h.如图示：由题意知,，所以所以由余弦定理得,解得.故答案为：四、解答题11．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，，且．(1)求角A(2)若△ABC为钝角三角形，求△ABC周长的取值范围．【解析】(1)∵，，∴，由正弦定理可得，即，所以，又，所以；(2)解：因为，，所以由正弦定理有，因为△ABC为钝角三角形，，不妨设B为钝角，则，所以，所以，因为，所以，所以，所以，即，所以，所以△ABC周长的取值范围为.12．已知△ABC的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求B的大小；(2)若，且BD=2，求S的最大值.【解析】(1)由题意得，，，又，所以，即，所以，又，所以；(2)因为，所以，在和中，由余弦定理得，，，又，所以，整理，得，即，在中，由余弦定理得，，所以，得，则，当且仅当即时等号成立，所以，故S的最大值为.题组C培优拔尖练一、单选题1．如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（

）A．千米 B．千米C． D．【答案】D【解析】在中，，设，则，当且仅当时取等号，设，则，又到的距离为20千米，所以，，故（时取等号），所以，得，故选：D2．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：，即有，而，则，又