专题45相似三角形（全章直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题4.5相似三角形（全章直通中考）（基础篇）【要点回顾】【要点1】比例线段的性质（1）基本性质：；（2）合比性质：⇔＝；（3）等比性质：；【要点2】平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则，.【要点3】平行线分线段成比例推论推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.即如图所示，若∥，则，.【要点4】黄金分割点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．【要点5】相似多边形的性质（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.（2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点6】相似多边形的判定(1)两角对应相等的两个三角形相似.(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．(3)三边对应成比例的两个三角形相似．(4)满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.【要点7】相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边成比例．（2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若，则（

）A．6 B． C．1 D．2．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（

）A． B．1 C． D．23．（2019·甘肃·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（

）．A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换4．（2015·湖北荆州·统考中考真题）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC． D．5．（2017·山东泰安·中考真题）如图，正方形中，为上一点，，交的延长线于点．若，，则的长为（）A．18 B． C． D．6．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（

）

A． B． C． D．7．（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（

）

A． B． C． D．8．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（

）

A． B． C． D．9．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．10．（2021·四川巴中·统考中考真题）如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2 B．ADE与ABC的面积比为1：3C．ADE与ABC的周长比为1：2 D．DEBC填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为．12．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件，使．13．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则．

14．（2023·江西·统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高m．

15．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是．

16．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为．

17．（2021·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为．18．（2021·上海·统考中考真题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2013·湖南益阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．20．（8分）（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．（1）证明：；（2）若，求的长．21．（10分）（2017·山东泰安·中考真题）如图，四边形中，，平分，点是延长线上一点，且．（1）证明：；（2）若与相交于点，，，求的长.22．（10分）（2021·广西贵港·统考中考真题）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知ABC，且AB＞AC．（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；（2）在AC边上求作点E，使ADE∽ACB．23．（10分）（2021·湖北黄冈·统考中考真题）如图，在和中，，．（1）求证：；（2）若，，求的长．24．（12分）（2014·海南·统考中考真题）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连接GE、GF．（1）求证：△OAE≌△OBG．（2）试问：四边形BFGE是否为菱形?若是，请证明；若不是，请说明理由．（3）试求：的值（结果保留根号）．参考答案1．A【分析】根据等式的性质即可得出结果．解：等式两边乘以，得，故选：A．【点拨】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键．2．C【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，∵，∴，又∵，∴故选：C【点拨】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．3．B【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B．【点拨】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．4．D解：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C．当时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．5．B解：先由四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，可得MC=12﹣5=7，根据两角对应相等的两三角形相似，得出△ABM∽△MCG，根据相似三角形的性质得到，故可得出CG=，再求出DG=12﹣=，根据平行线的性质得出△MCG∽△EDG，即可得出，即，解得DE=．故选B．考点：1、相似三角形的判定与性质；2、勾股定理；3、正方形的性质6．C【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解．解：∵为等边三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故选：C．【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．7．B【分析】连接，首先得到，，然后证明出，进而得到，然后利用三角形面积公式求出，最后利用求解即可．解：如图所示，连接，

∵D、E分别为中点，∴，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．故选：B．【点拨】此题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上要点．8．B【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.解：如图所示，

由图可知，，，.根据镜面的反射性质，∴，∴，，，.小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，，，...故选：B.【点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.9．C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；∴，，故B不符合题意，C符合题意；∴，故D不符合题意；故选C．【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．10．D【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．解：∵，∴AD：AB=AE：AC=1：3，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=1：3，故A错误；∵△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC．故D正确．故选：D．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．11．【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，∴，解方程得，，点是靠近点的黄金分割点，设，则，∴，解方程得，，∴之间的距离为，故答案为：．【点拨】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．12．∠ADE=∠B（答案不唯一）．【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．解：解∶∵∠A=∠A，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似．故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【点拨】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．13．【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案．解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴．故答案为：【点拨】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．14．【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解．解：∵和均为直角∴，∴，∴∵，∴,故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．15．27【分析】根据矩形的性质，很容易证明∽，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出的面积．解：四边形是矩形，，，，∽，，，：：，：：，即：：，．故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．16．【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．解：，，设周长为，设周长为，和是以点为位似中心的位似图形，．．和的周长之比为．故答案为：．【点拨】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．17．【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长．解：∵MN⊥BC，DB⊥BC,∴AC∥MN∥DB，∴，∴即,又∵，∴，解得,故填：．【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．18．【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据△AOD∽△COB得出，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可解：作AE⊥BC，CF⊥BD∵∴△ABD和△BCD等高，高均为AE∴∵AD∥BC∴△AOD∽△COB∴∵△BOC和△DOC等高，高均为CF∴∴故答案为：【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键19．证明见分析．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．解：∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．又∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．【点拨】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．20．（1）见分析；（2）【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．解：（1）证明：∵是斜边上的高．∴，∴，∴又∵∴，（2）∵∴，又∴．【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．21．（1）证明见分析（2）试题分析：（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．解：（1）∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴，解得：x=，故AE=1﹣=．考点：相似三角形的判定与性质22．（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接即可．（