专题10直线平面平行的判定及其性质

体系搭建体系搭建知识点1直线和平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。符号语言：知识点2直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。符号语言：知识点3平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；符号语言：知识点4平面和平面平行的性质定理如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；符号语言：知识点5相关推论（1）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号语言：(2)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。符号语言： (3)平行于同一个平面的两个平面平行。符号语言： 知识点6、平行关系的综合转化空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：空间之中两直线，平行相交和异面．线线平行同方向，等角定理进空间．判断线和面平行，面中找条平行线；已知线和面平行，过线作面找交线．要证面和面平行，面中找出两交线．线面平行若成立，面面平行不用看．已知面与面平行，线面平行是必然．若与三面都相交，则得两条平行线．例题分析例题分析考点1空间中直线与直线的位置关系【例1】．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点．求证：四边形EFGH为平行四边形．证明：∵梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC、AD的中点，∴EF∥AB，且EF＝（AB+CD），又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB，∵G，H分别为AD′，BC′的中点，∴GH∥AB，且GH＝（AB+C′D′）＝（AB+CD），∴GHEF，∴四边形EFGH为平行四边形．变式训练【变11】．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2+HF2的值是（）A．5 B．10 C．12 D．不能确定解：如图所示，因为E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，由中位线定理可得，EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，所以四边形EFGH为平行四边形，则EG2+HF2＝2×（12+22）＝10．故选：B．【变12】．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且．（1）求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；（2）求的值．（1）证明：∵AA′∩BB′＝O，且，∴A′B′∥AB，∵AA′∩CC′＝0，且，∴A′C′∥AC，∵BB′∩CC′＝O，且，∴B′C′∥BC．（2）解：∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，且A′B′和AB、A′C′和AC方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∵，∴＝（）2＝．考点2直线与平面平行的判定【例2】．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝1，AC＝，AA1＝4，点D、E、F分别是棱BC、CC1、AA1的中点．求证：FB∥平面ADE；解：（I）连结CF交AE与G，连结DG，EF∵E，F是CC1，AA1的中点，∴四边形ACEF是平行四边形，∴G是CF的中点．又∵D是BC的中点，∴DG∥BF．又BF⊄平面ADE，DG⊂平面ADE，∴FB∥平面ADE．变式训练【变21】．在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB＝AF：FD＝1：4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（）A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解：如图所示，在平面ABD内，∵AE：EB＝AF：FD＝1：4，∴EF∥BD．又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD．又在平面BCD内，∵H，G分别是BC，CD的中点，∴HG∥BD．∴HG∥EF．又，∴EF≠HG．在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，∴四边形EFGH为梯形．故选：B．【变22】．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE．证明：设AC∩BD＝O，连接OE，如图所示，∵O、M分别为AC、EF的中点，四边形ACEF为矩形，∴EM∥OA，且EM＝OA，∴四边形AOEM为平行四边形，∴AM∥OE，又AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AM∥平面BDE．考点3直线与平面平行的性质【例3】．如图，已知E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试确定点M的位置．解：如图，连接BD交AC与点O1，连接OM，∵PC∥平面MEF，PC⊂平面PAC，平面PAC∩平面MEF＝OM，∴PC∥OM，∴，在菱形ABCD中，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴，又AO1＝O1C，∴，∴，即点M为线段PA上靠近点P的四等分点．变式训练【变31】．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD分别交α于E、F、G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝．解：∵a∥α，平面α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，∴由平行线等分线段定理得：＝＝＝，∴EG＝＝＝．故答案为：．【变32】．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，连接BD，MD，MB，在DM上取一点G，过G和AP作平面，交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．证明：连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．而PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BMD．∵AP⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴AP∥GH．考点4平面与平面平行的判定【例4】．如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．（1）求证：BE∥平面DMF；（2）求证：平面BDE∥平面MNG．证明：（1）如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF．（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG．又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG．变式训练【变41】．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A． B． C． D．解：取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM不在平面BDFE内，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，即平面a截该正方体所得截面为平面BDFEBD＝，EF＝＝，DF＝，梯形BDFE如图：过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，∴FG＝＝＝，故四边形BDFE的面积为＝．故选：B．【变42】．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面的周长为12．解：如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1．又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即平面GMNH为过点G且与平面ABB1A1平行的截面，易得此截图的周长为4+4+2+2＝12．故答案为：12．【变43】．如图（甲），在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，现将△ACD沿CD折起，如图（乙）．求证：平面FHG∥平面ABE．证明：∵F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，∴FH∥CD，HG∥AE，∵AB⊥CD，AB⊥BE，∴CD∥BE，∴FH∥BE，∵BE⊂平面ABE，FH⊄平面ABE，∴FH∥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，HG⊄平面ABE，∴HG∥平面ABE，∵FH∩HG＝H，∴平面FHG∥平面ABE．考点5平面与平面平行的性质【例5】．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．（1）求证：平面A1C1G∥平面BEF；（2）若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．证明：（1）如图，∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，∴平面A1C1G∥平面BEF；（2）∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC＝H，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．变式训练【变51】（多选）．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，B1C1，C1D1的中点，则（）A．FG∥平面AED1 B．BC1∥平面AED1 C．点C1在平面AED1内 D．点F在平面AED1内解：如图，连接B1D1，∵F，G分别是棱B1C1，C1D1的中点，∴GF∥B1D1，若FG∥平面AED1，则B1D1⊂平面AED1或B1D1∥平面AED1，这与B1D1∩平面AED1＝D1矛盾，故A错误；连接EF，由题意可知EF∥BC1，而EF⊂平面AED1，BC1⊄平面AED1，∴BC1∥平面AED1，故B正确；由EF⊂平面AED1，BC1∥平面AED1，可得点C1不在平面AED1内，点F在平面AED1内，故C错误，D正确．故选：BD．【变52】．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为平行四边形．解：∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，∴EF∥GH．同理，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形．故答案为：平行四边形．【变53】．过两平行平面α、β外的点P两条直线AB与CD，它们分别交α于A、C两点，交β于B、D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为12．解：当两个平面在点P的同侧时，由面面平行的性质定理可得AC与BD平行，∴∵PA＝6，AC＝9，PB＝8，∴BD＝12；同理，当点P在两个面的中间时，BD＝12．故答案为：12．1．条件“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”是“△ABC所在平面与平面α平行”的（）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件解：如图示，若“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”，此时“△ABC所在平面与平面α不平行”，充分性不成立；而“△ABC所在平面与平面α平行”，则“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”，必要性成立．所以“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”是“△ABC所在平面与平面α平行”的必要非充分条件．故选：B．2．下列四个正方体图形中，A、B、M、N、P分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A． B． C． D．解：对于A，由题意得MN∥AC，NP∥BC，而MP∩NP＝P，AC∩BC＝C，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，AC⊂平面BC，BC⊂平面ABC，故平面MNP∥平面ABC，而AB⊂平面ABC，故AB∥平面MNP，故A正确；对于B，取MP的中点Q，底面中心O，则NO∥AB，故AB与NQ相交，故B错误；对于C，MB∥NP，故B∈平面MNP，则AB∩平面MNP＝B，故C错误；对于D，作平行四边形MNPQ，则AB与MQ相交，故D错误．故选：A．3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为A1B1，BC的中点，设过点E，F，D1的平面为α，则下列说法正确的是（）A．在正方体AC1中，存在某条棱与平面α平行 B．在正方体AC1中，存在某条面对角线与平面α平行 C．在正方体AC1中，存在某条体对角线与平面α平行 D．平面α截正方体AC1所得的截面为五边形解：对于A：因为BC∩α＝F，BC⊄α，所以BC，AD，A1D1，B1C1都不与α平行，又A1B1∩α＝E，A1B1⊄α，所以A1B1，AB，CD，C1D1都不与α平行，因为DD1∩α＝D1，DD1⊄α，所以DD1，CC1，BB1，AA1都不与α平行，故不存在棱与平面α平行，故A错误；对于B：由D作截面图形为五边形D1EPFM可判断不存在某条面对角线与平面α平行，对于C：由D作截面图形为五边形D1EPFM可判断不存在某条体对角线与平面α平行，对D：如图，取AB中点G，易得D1E∥DG，取CD中点H，连接BH，则易得BH∥DG，再取CH中点M，连接FM，则FM∥BH，所以FM∥D1E，所以FM是平面α与正方体底面ABCD的交线，延长MF，与AB的延长线交于N，连接EN，交BB1于P，则可得五边形D1EPFM即为平面α交正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面，故D正确；故选：D．4.（多选）．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M、N分别为AC、PC上的点，且MN∥平面PAD，则（）A．MN∥PD B．MN∥平面PAB C．MN∥AD D．MN∥PA解：四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA．MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB．故选：BD．5.（多选）．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M、N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．A，D，B1，C1四点共面 B．AM与BN是异面直线 C．平面B1MA1∥平面ABCD D．B1C1∥平面ADM解：由AD∥B1C1，知AD，B1C1共面，即A，D，B1，C1四点共面，A正确；取DD1中点P，连接AP，PN，易得AB∥PN，AB＝PN，则四边形ABNP为平行四边形，AP∥BN，又M∉平面ABNP，故AM与BN是异面直线，B正确；取DC中点Q，连接BQ，MQ，易得BB1∥MQ，BB1＝MQ，则四边形BB1MQ为平行四边形，B1M∥BQ，又B1M⊄平面ABCD，BQ⊂平面ABCD，则B1M∥平面ABCD，又A1B1∥AB，同理可得A1B1∥平面ABCD，又A1B1，B1M⊂平面B1MA1，A1B1∩B1M＝B1，则平面B1MA1∥平面ABCD，C正确；由B1C1∥AD，又B1C1⊄平面ADM，AD⊂平面ADM，则B1C1∥平面ADM，D正确．故选：ABCD．6.（多选）．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是（）A．平面EFGH∥平面ABCD B．直线PA∥平面BDG C．直线EF∥平面PBC D．直线EF∥平面BDG解：作出立体图形如图所示，连结E，F，G，H四点构成平面EFGH，对于A，因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，又EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，同理EH∥平面ABDCD，又EH∩EF＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；对于B，连结AC，BD，DG，BG，设AC的中点为M，则M也是BD的中点，所以MG∥PA，又MG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，所以PA∥平面BDG，故选项B正确；对于C，由A中的分析可知EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，故选项C正确；对于D，根据C中的分析可知，EF∥BC，再结合图形可得，BC∩BD＝B，则直线EF与平面BDG不平行，故选项D错误．故选：ABC．7．如图所示，P为▱ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝．解：连接AC交BE于点M，连接FM．∵PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝EM，∴PA∥EM，∴＝＝＝，故答案为：．8．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝a．解：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面A1B1C1D1∴MN∥平面ABCD，又PQ＝面PMN∩平面ABCD，∴MN∥PQ．∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点∴MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥AC，又AP＝，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，∴CQ＝，从而DP＝DQ＝，∴PQ＝＝＝a．故答案为：a9．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是．解：如图，由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为．10．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB＝AF：FD＝1：5，又H，G分别为BC，CD的中点，则下列结论正确的是①②③（请填写正确命题的序号）①BD∥平面EFGH；②EF∥平面BCD；③HG∥平面ABD；④EH∥平面ADC．解：∵在△ABD中，AE：EB＝AF：FD＝1：5，∴，又∵EF⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴BD∥平面EFGH；EF∥平面BCD；∵HG分别为BC，CD的中点，∴，又∵HG⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴HG∥平面ABD，∴EF∥HG，EF≠HG，∴四边形EFGH是梯形，∴EH与GF必相交，∵GF⊂平面ADC，∴EH与平面ADC有公共点，即EH与平面ADC不平行．综上，正确的是：①②③，故答案为：①②③．11．如图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形，AB＝4，CD＝6，则四边形EFGH的周长的取值范围是（8，12）．解：设EF＝x（0＜x＜4），∵四边形EFGH为平行四边形，∴＝，则＝＝＝1﹣，从而FG＝6﹣，∴四边形EFGH的周长l＝2（x+6﹣）＝12﹣x，又0＜x＜4，则有8＜l＜12，∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）．故答案为：（8，12）．12．如图，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、DA的中点，且AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝AC，求证：四边形EFGH是正方形．证明：取BD中点O，连接OA，OC，∵AB＝AD，BC＝DC，∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点，∴EH∥BD，且EH＝BD，FG∥BD，且FG＝BD，EF∥AC，∴EH∥FG，且EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，又AC＝BD，故EH＝HG，故四边形EFGH是菱形，∵AC⊥BD，又EF∥AC，EH∥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH为正方形．13．如图所示，在四棱锥C﹣ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．（1）求证：GF∥平面ABC；（2）线段BC上是否存在一点H，使得面GFH∥面ACD．若存在，请找求出点H并证明；若不存在，请说明理由．证明：（1）由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F故GF∥AC∵GF⊄面ABC∴GF∥面ABC解：（2）线段BC上存在一点H满足题意，且点H是BC中点理由如下：由点G，H分别为CE，CB中点可得：GH∥EB∥AD∵GH⊄面ACD∴GH∥面ACD由（1）可知，GF∥面ACD且GF∩GH＝G故面GFH∥面ACD14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥平面BCC1B1；（2）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1？请说明理由．（1）证明：因为E，F分别为线段AC1A1C1的中点，所以EF∥A1A，因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B，又因为EF⊄平面BCC1B1，B1B⊂平面BCC1B1，所以EF∥平面BCC1B1．解：（2）取BC1的中点G，连接GE，GF，因为E为AC1的中点，所以GE∥AB，因为GE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以GE∥平面ABB1A1，同理可得，EF∥平面ABB1A1，又