98离散型随机变量及其分布列数字特征（精讲）

9.8离散型随机变量及其分布列、数字特征【题型解读】【知识储备】1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．3．离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.4．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq\r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．5．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．常用结论均值与方差的四个常用性质(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．【题型精讲】【题型一分布列的性质】必备技巧离散型随机变量的分布列性质的应用（1）利用“总概率之和为”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率；（3）可以根据性质及，判断所求的分布列是否正确．例1（2022·华师大二附中高三练习）设离散型随机变量的分布列为：则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，有，且，，解得，故选：B.例2已知随机变量X的概率分布为，则实数______．【答案】【解析】依题意，，由分布列的性质得，解得，所以实数.故答案为：【题型精练】1.（2022·河南高三月考）随机变量X的分布列为XP若，，成等差数列，则公差的取值范围是______．【答案】【解析】由题意知，，∴，∴．又，∴，∴．同理，由，，∴，∴，即公差的取值范围是故答案为：2．（2022·全国高三课时练习）设随机变量的分布列为，则___________.【答案】【解析】由题意，，所以，得，所以.故答案为：【题型二求离散型随机变量的分布列】例3（2022·四川模拟）一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（

）A．123B．1234C．123D．123【答案】C【解析】随机变量ξ的可能取值为1，2，3故选：C.例4（2022·武昌模拟）设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为eq\f(2,3).若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；(2)求他所耗用的子弹数X的分布列．【解析】记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(A)k)＝eq\f(1,3)，k＝1,2,3,4,5.(1)方法一他前两发子弹只命中一发的概率为P(A1eq\x\to(A)2)＋P(eq\x\to(A)1A2)＝P(A1)P(eq\x\to(A)2)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).方法二(2)X的所有可能值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,9)，P(X＝3)＝P(A1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1A2A3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(2,9)，P(X＝4)＝P(A1eq\x\to(A)2A3A4)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(A)3eq\x\to(A)4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\f(2,3)＝eq\f(10,81)，P(X＝5)＝P(A1eq\x\to(A)2A3eq\x\to(A)4)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(A)3A4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,81).故X的分布列为X2345Peq\f(5,9)eq\f(2,9)eq\f(10,81)eq\f(8,81)【题型精练】1．（2022·石家庄模拟）甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为.(1)求;(2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望.【解析】（1）由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题.所以乙有机会答题的概率为，解得；（2）X的可能取值为0，10，20，30，40；所以X的分布列为：X010203040P.2.（2022·临沂二模）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：，，大于2000仅使用18人9人3人仅使用10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【解析】（Ⅰ）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，，两种支付方式都不使用的有5人，仅使用的有30人，仅使用的有25人，，两种支付方式都使用的人数有：，从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率．（Ⅱ）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则的可能取值为0，1，2，样本仅使用的学生有30人，其中支付金额在，的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用的学生有25人，其中支付金额在，的有10人，超过1000元的有15人，，，，的分布列为：012数学期望．（Ⅲ）不能认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．故不能认为认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．【题型三离散型随机变量的均值和方差】例5（2022·唐山二模）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据方差和期望的性质可得：,,故选：D例6今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，消费券还能在假期留住本市居民，减少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，其它情况无优惠券，则在一次抽奖中：(1)求摸出2个红球的概率；(2)设获得优惠券金额为X，求X的方差．【解析】（1）记事件A：摸出2个红球.则.（2）由题意可得：X的可能取值为：0，20，50.则：；；.所以数学期望，方差.【题型精练】1．（2022·高三课时练习）随机变量的可能值，且，则D的最大值为___________.【答案】1【解析】因为随机变量的可能值有1，2，3，且，所以，由，得所以.，，当时，的最大值为故答案为：12.（2022·广东高三模拟）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和.某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834(1)从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；(2)从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以表示这人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求的分布列和数学期望；(3)从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式.直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明）【答案】(1)(2)分布列见解析，的数学期望为；(3).【解析】(1)解：由已知得，清楚垃圾分类后处理方式的有人，所以从该校学生中随机抽取一人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为；(2)解：高中部共有名学生，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，不清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，初中部共有名学生，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，不清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以表示这人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，则的取值有0，1，2，所以，，，所以的分布列为：X012P所以的数学期望为；(3)解：.【题型四均值和方差在决策问题中应用】例7（2022·山东·高密三中高三阶段练习）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，商品日销售量（单位：件）678910甲平台的天数1426262410乙平台的天数1025352010假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．【解析】（1）令事件“甲平台日销售量不低于8件”，则，令事件“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”，则（2）设甲平台的日销售收入为，则的所有可能取值为所以，的分布列为所以，，设乙平台的日销售收入为，则的所有可能取值为所以，的分布列为：所以，.所以，令得，令得所以，当时，选择甲平台；当时，甲乙平台均可；当时，选择乙平台.【题型精练】1．（2022·常州市新桥高级中学高三模拟）某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．【答案】(1)员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等(2)应选择第二种方案；理由见解析【解析】(1)用X表示员工所获得的奖励额．因为，，所以，故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等．(2)第一种方案为，设员工所获得的奖励额为，则的分布列为40120200P所以的数学期望为，的方差为；第二种方案为，设员工所获得的奖励额为，则的分布列为80120160P所以的数学期望为，的方差为，又因为（元），所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，故应选择第二种方案．2.（2022·济北中学高三月考）2020年12月4日，“直播带货”入选《咬文嚼字》2020年度十大流行语，与电商直播相关的职业成了年轻人就业新选择.有甲、乙两家农副产品直播间，直播主持人的日工资方案如下：甲直播间底薪100元，直播主持人每箱抽成3元；乙直播间无底薪，