742超几何分布-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性）

7.4.2超几何分布备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：超几何分布的分布列；超几何分布的均值；超几何分布的方差；超几何分布的概率课堂知识小结考点巩固提升知识归纳知识点：超几何分布：一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则01称超几何分布列.为超几何分布列，考点讲解考点讲解考点1：超几何分布的分布列例1．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；(2)设表示选出的3名同学中男生的人数，求的分布列．【答案】(1)(2)见解析(1)解：由题意可知，选出的3名同学全是男生的概率为，所以选出的3名同学中至少有1名女生的概率；(2)解：根据题意，的可能取值为，则，，，所以的分布列为：【方法技巧】(1)利用对立事件概率公式能求出选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；(2)根据题意，的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．【变式训练】1．下列随机变量中，服从超几何分布的有(

)A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数XB．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数XC．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数XD．某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X【答案】CD【分析】判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是不是不放回抽样；(3)随机变量是不是样本中其中一类个体的个数.据此逐项分析判断即可.【详解】AB是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB不符题意；CD符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布.故选：CD.2．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：___________．012【答案】见解析【分析】离散型随机变量的分布列根据等可能事件的概率计算即可.【详解】根据题意由等可能事件的概率计算公式可知：，故答案为：0123．一个小组有6个人，任选2名代表，则甲当选的概率为__________．【答案】【详解】由题可知：故答案为：5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是()A．都不是一等品

B．恰有1件一等品C．至少有1件一等品

D．至多有1件一等品【答案】D【详解】对A，概率为;对B，概率为;对C，概率为;对D，概率为;故选：D考点2：超几何分布的均值例2．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球．(1)记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求期望的值；(2)求从乙盒取出2个红球的概率．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有，所以分布列如下：012所以.（2）(i)若，则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒，此时乙盒有6个白球，1个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为0；(ii)若，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒，此时乙盒有5个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；(iii)若，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒，此时乙盒有4个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；所以从乙盒取出2个红球的概率为.【方法技巧】（1）根据超几何分布概率求解；（2）根据甲盒任取2球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解.【变式训练】1．设个产品中有个次品，任取产品个，取到的次品可能有个，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据超几何分步的数学期望公式求解即可【详解】由题意，个故选：A2．（多选）在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中成肉粽的个数为X，则下列结论正确的是（

）A．

B．C．随机变量X服从超几何分布

D．【答案】ACD【分析】根据题意得到随机变量的超几何分布，求得期望可判定B错误，C正确，再求得和，可判定A，D正确.【详解】由题意，随机变量服从参数为的超几何分布，则，所以故B错误，C正确；又由，，所以，所以A，D正确.故选：ACD.3．一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量，则的均值___________．【答案】2【分析】先求得的可能取值为1，2，3对应的概率，进而利用期望的定义求得的值【详解】任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量，则的可能取值为1，2，3则则故答案为：24．从名男生，名女生中任选人作为一个小组，且所选人中女生人数为，求的分布和期望．【答案】分布为；期望为【分析】利用超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布；利用期望计算公式可直接求得期望.【详解】由题意知：所有可能的取值为，，，，的分布为，期望.考点3：超几何分布的方差4．口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则____；_______.【答案】

【详解】取得红球数为可能为0,1,2，则，,,所以，.故答案为：；【方法技巧】根据超几何分布，求出的可能取值及对应的概率，求期望、方差即可.【变式训练】1．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中黑球的个数为X，则下列结论正确的是（

）A．随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，5，6 B．随机变量X服从超几何分布C． D．【答案】BD【分析】根据题意知随机变量X服从超几何分，利用超几何分布的性质，再结合离散型随机变量的方差公式即可求解.【详解】根据超几何分布的定义知，随机变量X服从超几何分布，故B正确；由题意可知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，故A不正确；；；，.所以，故C不正确；.2．某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为______．【答案】24【分析】依题意可知的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，从而求出数学期望与标准差；【详解】解：由题意，可得的所有可能取值为190，150，110，且，，，则，标准差．故答案为：3．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为______.若记取出3个球中黑球的个数为，则______.【答案】

3

【分析】该事件服从超几何分布，由其概率计算公式求出黑球个数，并列出分布列，再由分布列与方差的计算公式求得方差.【详解】设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，可得，该事件服从超几何分布，由题可知，取出3个球中黑球的个数的可能取值为1,2,3，由超几何分布事件分别计算对应概率，,可画出分布列如下：123则，.故案为：3,【点睛】本题考查超几何分布事件中由概率求样本容量个数，列出超几何分布事件的分布列并求方差，属于简单题.考点4：超几何分布的概率例4．已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(1)求取出的4个球均为红球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）若“取出的4个球均为红球”，则从甲、乙两个盒内各任取2个球均为红球，结合独立事件的概率乘法公式运算求解；（2）若“取出的4个球中恰有1个红球”，则有两种可能：“甲盒内任取2个球中有1个红球，乙盒内任取2个球中没有红球”和“甲盒内任取2个球中没有红球，乙盒内任取2个球中有1个红球”，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.【详解】（1）记“从甲盒内任取2个球中有个红球”为事件，“从乙盒内任取2个球中有个红球”为事件，则，，故取出的4个球均为红球的概率.取出的4个球中恰有1个红球的概率.【变式训练】1．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得都是二等品的概率为，求解计算即可.【详解】全部都是二等品的概率为，故至少有1个是一等品的概率为.故选：D.2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得出所求概率.【详解】故选：D3．在箱子中有个小球，其中有个红球，个白球.从这个球中任取个，记表示白球的个数，则___________.【答案】##0.5【分析】根据超几何分布的概率公式直接计算.【详解】由已知得，表示个白球，个红球，故，故答案为：.4．袋中有4个黑球，3个红球的，除颜色外其它均一样，从中任取3个球，求至少含有1个红球的概率.【答案】【分析】设所取球种红球的个数为，则，再利用超几何分布的概率公式即可得解.【详解】解：设所取球种红球的个数为，则，即至少含有1个红球的概率.知识小结知识小结一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则01称超几何分布列.巩固提升巩固提升一、单选题1．某党支部有名党员，男女，为迎接建党周年，从中选取人做汇报演出，若表示选中的女党员数，则（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根据超几何分布的概率公式直接计算.【详解】由题意，知服从超几何分布，的可能取值为，，，故，，，于是.故选：C.2．有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的正品数的数学期望值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，抽到正品数服从超几何分布，结合超几何分布的期望公式，即可求解.【详解】由题意，有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，则抽到正品数服从超几何分布，所以抽到的正品数的数学期望值是.故选：B.3．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球，故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.对于③，的可能取值为，表示取出4个白球；表示取出3个白球1个黑球；表示取出2个白球2个黑球；表示取出1个白球3个黑球；表示取出4个黑球；因此服从超几何分布.由超几何分布的概念知④符合，故选：B.4．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为()A． B． C． D．【答案】B【分析】根据古典概率计算公式结合组合数计算即可求解．【详解】由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝．故选：B5．下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（

）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为【答案】B【分析】根据超几何分布的定义可判断得选项.【详解】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.故选：B.6．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（

）A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7，n＝10【答案】A【分析】根据超几何分布概率模型可得选项.【详解】根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，故选：A.7．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】X服从超几何分布，求出X的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．【详解】X可能取1，2，3，其对应的概率为，，，∴．故选：A8．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：从50件产品中，任取2件有种方法，至少取到1件次品有种方法，所以至少取到1件次品的概率为，故选：D二、多选题9．(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（

）A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X【答案】ABD【分析】根据超几何分布的定义可以得出答案.【详解】解：依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取次，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.故选：ABD10．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用超几何分布的性质，及超几何分布的期望求解公式逐项验证.【详解】由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，，故；从而，故选项A正确；，，，故选项B错误，C正确；，故选项D正确；故选：ACD.三、填空题11．若随机变量X服从超几何分布，则X的均值_____________．【答案】【分析】由超几何分布期望公式直接求解即可.【详解】由题意知：.故答案为：.12．袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均得______分.【答案】1.5##32【分析】由X服从超几何分布可得.【详解】用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何分布，于是.故答案为：1.513．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取________时，对应的概率为.【答案】2或3【分析】根据超几何分布以及组合数的性质即可求出结果.【详解】由题意可知，X服从超几何分布，且，所以，所以或3；故答案为：2或3.14．一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值为___________．【答案】【分析】求的可能取值与每个值所对应的概率即可求解【详解】的可能取值为，且，，，所以得分Y的均值，故答案为：四、解答题15．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到亿元，较2018年约增长．从全球应用北斗卫星的城市中选取了个城市进行调研，上图是这个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，求产值小于万元的调研城市个数；(2)在上述抽取的个城市中任取个，设为产值不超过万元的城市个数，求的分布列及期望和方差．(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取个城市，求恰有个城市的产值超过万元的概率．【答案】(1)(2)，(3)