61分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第3课时）（教学课件）高二数学（人教A版2019选择性）

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第3课时）第6章计数原理人教A版2019必修第三册学习目标1．进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2．能应用两个计数原理解决实际问题.两个计数原理的区别与联系用两个计数原理解决问题时，要明确是需要分类还是需要分步，有时，可能既要分类又要分步

分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整例7计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成，如图，这是一个具有许多执行路径的程序模块。(1)这个程序模块有多少条执行路径？(2)为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A例题讲解开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束.而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成.因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.例题讲解开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A解：(1)由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91条；子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81条；由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为91x81=7371条例题讲解(2)在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172.再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3x2=6.如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常.这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178（次）例题讲解例8通常，我国民用汽车号牌的编码由两部分组成：第一部分为由汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代码，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号.其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O、I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？例题讲解解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字.确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为：10x10x10x10x10=10000.例题讲解（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.

当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为24x10x10x10x10=240000.同样，其余四个子类号牌也各有240000张.根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为240000+240000+240000+240000+240000=1200000.例题讲解（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位；第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位；第3位和第4位，第3位和第5位；第4位和第5位。当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1~2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为24x24x10x10x10=576000.同样，其余九个子类号牌也各有576000张.则这类号牌张数一共为576000x10=5760000张.例题讲解综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000归纳：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点:(1)要完成的“一件事”是什么;

(2)需要分类还是需要分步.

分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.课堂练习解：展开后共有3×3×5＝45项.1.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项?解：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45(个).2.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个?3.某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式?解：进出商场的不同方式有6×5＝30(种).4.任意画一条直线，在直线上任取n个分点.(1)从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段?(2)从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量?解：随堂检测1．已知函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，则不同的二次函数的个数为(

) A．125 B．15 C．100 D．10

解析若y＝ax2＋bx＋c为二次函数，则a≠0，要完成该事件，需分步进行：

第一步，对于系数a有4种不同的选法；

第二步，对于系数b有5种不同的选法；

第三步，对于系数c有5种不同的选法．

由分步乘法计数原理知，共有4×5×5＝100(个)．

答案C2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(

) A．144 B．120 C．72 D．24

解析剩余的3个座位共有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座，因此，可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择；乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种不同的选择．根据分步乘法计数原理，任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2＝24.故选D.

答案D3．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中有__________项．解析要得到项数分三步：第一步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法；第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法．由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24(项)．答案244．将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有__________种．

解析分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：abc第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法．(2)若第三块田放a：aba第四块有b或c2种方法：①若第四块放c：abac第五块有2种方法；②若第四块放b：abab第五块只能种作物c，共1种方法．综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法．答案42课堂小结：1.分类加法计数原理：一般地，如果完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有m＋n种不同的方法.2.分步乘法计数原理：一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有m×n种不同的方法.特别地，如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有