专题11分数与小数互化

《2021年小升初数学无忧衔接（沪教版）》专题11分数与小数互化【课程解读】分数与小数的互化是六年级数学上学期第二章第2节中的内容．通过本讲的学习，我们需要学会把分数化为有限小数或循环小数，并理解循环小数的意义，同时还需学会有限小数向分数的转化，并学会利用分数与小数互相转化的方法比较分数与小数的大小，为后面学习分数与小数的混合运算做好准备．【知识衔接】一：分数化为有限小数1、分数化小数利用分数与除法的关系，进行分数向小数的转化，例如：．2、可化为有限小数的分数的规律一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数．二：分数化为循环小数1、循环小数一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数．一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节．为了书写方便，小数的循环部分只写出第一个循环节，在这个循环节的首位和末位的数字上面各记一个圆点．例如：0．3333…的循环节为“3”，写作；0．1363636…的循环节为“36”，写作．三：有限小数化为分数原来有几位小数，就在1后面添几个零作为分母，原来的小数去掉小数点作分子，若有整数部分作为带分数的整数部分．注意：结果一定要化为最简分数【经典题型】导入：如果水星、火星、冥王星的直径分别约是地球直径的、、，你能比较它们直径之间的大小吗？方法：（1）通分（化成同分母）；（2）化成同分子；（3）化成小数。备注：通过创设比较水星、火星、冥王星的直径大小问题情景，激发学生参与学习分数与小数互化的积极性.回顾：请把下列小数化成分数，说说你是怎样把小数化成分数的？0.2，0.08，1.5，2.045备注：复习有限小数化成分数方法，通过观察约分时约数的特点为后一环节埋下伏笔。操作：请把下列分数化为小数（不能化成有限小数的结果保留三位小数）。EQ\F(1,2)、EQ\F(1,3)、EQ\F(2,5)、EQ\F(5,6)、EQ\F(5,8)、EQ\F(2,9)、EQ\F(8,15)、EQ\F(16,25)、EQ\F(17,22)、EQ\F(41,27)、EQ\F(9,37)、EQ\F(3,40)、EQ\F(7,100)。教法说明：1、小组合作完成；2、提醒学生除不尽的要保留三位小数的方法；参考答案：EQ\F(1,2)＝1÷2＝0.5；EQ\F(1,3)＝1÷3≈0.333；EQ\F(2,5)＝0.4；EQ\F(5,6)≈0.833；EQ\F(5,8)＝0.625；EQ\F(2,9)≈0.222；EQ\F(8,15)≈0.533；EQ\F(16,25)＝0.64；EQ\F(17,22)≈0.773；EQ\F(41,27)≈1.519；EQ\F(9,37)≈0.243；EQ\F(3,40)＝0.075；EQ\F(7,100)＝0.07。思考：能化成有限小数的分数不能化为有限小数的分数讨论：能化成有限小数的分数有什么特点？教法说明：学生的2个难点：不太容易聚焦到分母；分母的特点不太容易找到。可提示学生：分数化小数一般用除法，用分子去除以分母，什么情况下能除尽，要考虑的是分子还是分母？那么左边圆圈中的分母有什么特点呢？归纳总结：分母中只含有素因数2和5。例题1：将EQ\F(2,5)，EQ\F(19,40)，0.45按从小到大的顺序排列。教法说明：1、学生思考，发表见解。2、共同小结：分数小数混合比较大小，应统一为分数或小数后再比较。3、教师板书其中一种解法的格式，规范书写（板书不用擦去，课内练习时须参照）4、比较分数、小数的大小的方法（1）通分（化成同分母）。（2）化成同分子。（3）化成小数。方法1：把它们化成小数。EQ\F(2,5)＝0.4，EQ\F(19,40)＝0.475。因为0.4＜0.45＜0.475，所以这三个数按从小到大的顺序排列是：EQ\F(2,5)＜0.45＜EQ\F(19,40)。方法2：把它们化成同分母的分数。0.45＝EQ\F(45,100)＝EQ\F(9,20)＝EQ\F(18,40)，EQ\F(2,5)＝EQ\F(16,40)。因为EQ\F(16,40)＜EQ\F(18,40)＜EQ\F(19,40)，所以这三个数按从小到大的顺序排列是：EQ\F(2,5)＜0.45＜EQ\F(19,40)。试一试：将EQ\F(4,5)，0.75，EQ\F(5,8)，EQ\F(15,19)按从大到小的顺序排列。参考答案：EQ\F(4,5)＝0.8，EQ\F(5,8)＝0.625，EQ\F(15,19)≈0.789。因为0.8＞0.789＞0.75＞0.625。所以EQ\F(4,5)＞EQ\F(15,19)＞0.75＞EQ\F(5,8)一：分数化为有限小数例1.将分数化为小数是______，分数化为小数是______．【难度】★【答案】0．25；0．875．【解析】（1）1÷4＝0．25；（2）7÷8＝0．875．【总结】主要考察分数化小数法则：分子除以分母所得的商即为结果．例2.比较下列两组数的大小：______0．05，______3．376．【难度】★【答案】＝；＜．【解析】比较两个数的大小，统一为小数进行比较：．【总结】考察分数与小数比较大小，要求学生统一为分数或者统一为小数进行比较．例3.把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，则将其保留3位小数．，，，，，，．【难度】★【答案】0．4；2．75；0．625；0．64；0．667；0．778；0．21．【解析】注意不能化为有限小数的分数，结果保留三位小数，用四舍五入法．【总结】考察分数化小数，学生需要计算认真，不能化为有限小数的，用四舍五入法保留三位小数．例4.下列各数中，与0．43最接近的分数是（）A． B． C． D．【难度】★★【答案】A【解析】，其中最接近0．43．【总结】考察分数化小数，比较大小．例5.将，，，，按从小到大的顺序排列．【难度】★★【答案】．【解析】∵，∴．【总结】考察分数比较大小的方法．例6.在分数，，，，中能化为有限小数的分数有______个．【难度】★★【答案】3个．【解析】分数化小数，有的可以化为有限小数，有的可以化为无限循环小数，能化为有限小数的分数需要具备以下两个条件：（1）化为最简分数；（2）分母分解素因数后，除2和5以外不能含有其它的素因数，比如不是最简分数，先化为最简分数后再 判断它不能化为有限小数，以上5个分数中可以化为有限小数．【总结】考察分数可以化为有限小数的条件．例7.如果能化成有限小数，且a是不大于10的正整数，则a可以是______．【难度】★★【答案】1、2、4、5、7、8、10．【解析】当为3、6、9时，是循环小数．【总结】考察分数化有限小数的条件．例8.写出3个分母是两位数，分子是1，并且能化成有限小数的分数：_____________．【难度】★★【答案】答案不唯一，参考答案：．【解析】分母中只含有2或5两种素因数即可．【总结】开放性的题，考察学生对分数化有限小数条件的运用．例9.甲、乙两人同时加工同样的零件100个，甲用了小时，乙用了0．6小时，那么______先完成任务．【难度】★★【答案】乙先完成．【解析】甲用时小时，比乙长，所以乙先完成任务．【总结】考察分数化小数，运用于比较大小．二：分数化为循环小数例1.0．125125…的循环节是_______，写作_________，保留2位小数写作_______．【难度】★【答案】125； ； 0．13．【解析】一个循环小数的循环节是依次不断重复出现的部分，求循环小数的近似数用四舍五入法．【总结】考察循环小数的表示方法和近似数的求法．例2.已知：0．123，0．35555…，3．23232323，0．01010010001…，0．1535353…，0．235464309…，其中循环小数有___________________________________．【难度】★【答案】0．35555…，0．1535353…．【解析】循环小数首先是无限小数，其次小数部分有规律的重复出现，0．01010010001…的小数部分有规律，但不是重复出现，所以不是循环小数．【总结】考察循环小数的判定．例3.比较大小：____0．572【难度】★【答案】＜【解析】小数比较大小，先比较整数部分，再比较十分位，再比较百分位，依次下去，涉及到循环小数只有把循环节多写几节比较方法一样．【总结】考察小数比较大小方法．例4.将下列分数化为有限小数，若不能化为有限小数，则化为循环小数，并说出其循环节．（1）； （2）； （3）； （4）．【难度】★【答案】，循环节略．【解析】可以将分数都化为最简分数，再来化小数，判断能否化为有限小数，再将其化为准确的小数．【总结】考察分数化小数，及循环小数的书写．例5.将、和按从小到大的顺序排列．【难度】★★【答案】【解析】比较分数和小数的大小，这题统一为小数比较简便，因为，所以．【总结】考察分数与小数的大小比较．例6.比较大小：______0．583；______0．232323；______0．54167．【难度】★★【答案】＞；＞；＜．【解析】．【总结】考察分数与小数的大小比较．例7.将，，按从小到大的顺序排列．【难度】★★【答案】．【解析】∵，∴．【总结】考察分数化小数及大小比较．例8.小尧和小旭两人同时完成50道判断题，甲用了小时，乙用了0．6小时，那么______先完成任务．【难度】★★【答案】乙先完成．【解析】甲用时小时，比乙多，所以乙先完成任务．【总结】考察分数与小数的大小比较．例9.把下列分数化成循环小数：，，，，，；你能发现这六个不同的分数化成循环小数后之间的关系吗？【难度】★★【解析】因为．这6个分数化为循环小数之后，循环节之间存在一定的联系，组成循环节 的6个数字一样，顺序一样，但组合方式不一样，确定了循环节的第一位，后面的数字 可以直接写出．【总结】考察（最简）化成小数的规律，142857也称“走马灯数”，有兴趣的同学可以去查阅相关资料．例10.分数化成循环小数是__________，小数点右边第20位上的数字是______．【难度】★★【答案】．【解析】这个循环小数，小数部分4545……周期性的出现，奇数位上数字为4，偶数位上数字为5．【总结】结合循环小数考察周期问题．例11.移动循环小数的前一个循环点，使新产生的循环小数尽可能小，这个新循环小数应是_________________．【难度】★★【答案】．【解析】比较不同循环小数的大小，从数位高的开始比较，同一数位上的数字越小，该数就越小．【总结】考察循环小数的大小比较．三：有限小数化为分数例1.将下列小数化成分数：0．5，0．6，0．25，0．125，0．04，0．05，0．06．【难度】★【答案】．【解析】一位小数；两位小数；三位小数，常见的小数化分数，可以让学生去背诵记忆．【总结】考察小数化分数法则，特别注意结果的最简性．例2.将小数0．12化为最简分数为______，将1．05化成假分数为______．【难度】★【答案】．【解析】，带小数的整数部分作为带分数的整数部分 处理．【总结】考察小数化分数法则．例3.下列说法正确的是（）A．任何分数都能化为有限小数 B．任何有限小数都能化为最简分数C．分数能化为有限小数 D．将2．12化为分数是【难度】★【答案】B【解析】分数化小数的结果，一是有限小数，一是无限循环小数，所以A错误；的分母中有素因数7，所以不能化为有限小数，所以C错误；2．12＝，所以D不对．【总结】考察分数小数互化的概念辨析．例4.0．7的倒数是______；0．6的倒数是______．【难度】★★【答案】．【解析】小数的倒数求法，第一步先将小数化分数，再求倒数．【总结】考察小数的倒数求法．例5.2．64小时=________小时；3．25米=_______米．（用分数表示）【难度】★★【答案】；．【解析】带小数化分数，注意不要遗漏整数部分，同时有具体的单位注意统一单位，这一题没有涉及到单位换算．【总结】考察小数化分数法则．例6.计算：（1）0．25+； （2）0．25+．【难度】★★【答案】（1）1；（2）．【解析】（1）；（2）．【总结】考察分数与小数的基础混合运算．例7.求加上减去1．75的差．【难度】★★【答案】．【解析】列式：．【总结】考察分数与小数混合运算，统一为分数还是小数根据具体情况而定．例8.若，比较a与b的大小．【难度】★★【答案】．【解析】等式右边变形：，所以．【总结】考察分数与小数互化的应用．【实战演练】一、单选题1．（2020·全国课时练习）5.858585858585是（）A．循环小数 B．无限小数C．有限小数 D．既是有限小数又是循环小数【答案】C【分析】小数部分的位数有限的小数叫做有限小数，小数部分的位数无限限的小数叫做无限小数，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数．循环小数是位数无限而且从某一位起，后面某一位或某几位数字依次重复出现的小数；据此判断5.858585858585是有限小数．【详解】根据小数的分类可知，5.858585858585的小数部分一共有12位，属于有限小数；故选择：C．【点睛】本题主要考查小数的分类以及判断某个小数属于哪一类．关键掌握有限小数与无限小数的区别．2．（2020·全国课时练习）米可以写成（）A．0.08米 B．0.008米 C．0.8米 D．8米【答案】A【分析】用分子除以分母计算出结果即可．【详解】=8÷100=0.08米．故选：A．【点睛】本题主要考查分数与小数的互化，掌握分数化为小数的方法是解题关键．3．（2020·全国课时练习）3.232232232……的循环节为（）A．22 B．32 C．232 D．322【答案】C【分析】一个循环小数的小数部分依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节．【详解】解：循环小数3.232232232……，循环节是232．故选：C．【点睛】此题考查小数的分类、循环节的定义，注意概念的理解运用．4．（2020·全国课时练习）下面几个分数中，不能化成有限小数的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简分数中分母分解素因数只含2和5的分数能化成有限小数，反之如果最简分数中分母分解素因数除了2和5的还含有其他素因数，那么就不能化成有限小数，据此解答即可．【详解】A、是最简分数，分母5分解素因数只含5，故不符合题意；B、化成最简分数为，分母3分解素因数含有3，故符合题意；C、是最简分数，分母分解素因数只含有2，故不符合题意；D、化成最简分数为，分母分解素因数只含有2，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查分数化小数，熟练掌握分数化小数是解题的关键．5．（2020·全国课时练习）下列比较大小正确的是（）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据循环小数、分数化小数的性质计算，即可得到答案．【详解】，故选项A错误；，故选项B正确；，故选项C错误；，故选项D错误；故选：B．【点睛】本题考查了循环小数、分数化小数的知识；解题的关键是熟练掌握循环小数、分数化小数的性质，从而完成求解．6．（2020·全国课时练习）要使分数能化成有限小数，则在下列各组数中，x可以是（）A．3、5、10 B．3、12、18 C．2、16、25 D．3、6、9【答案】B【分析】判断一个分数能否化成有限小数，要看这个分数是不是最简分数，首先，要把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不能含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．【详解】解：A、当x=3时，=，的分母中只含有质因数2，能化成有限小数

当x=5时，，的分母中含有质因数2和3，不能化成有限小数

当x=10时，，的分母中含有质因数2和3，不能化成有限小数

B、当x=3时，，的分母中只含有质因数2，能化成有限小数

当x=12时，，就是1

当x=18时，，的分母中只含有质因数2，能化成有限小数

C、当x=2时，，的分母中含有质因数2和3，不能化成有限小数

当x=16时，，的分母中只含有质因数3，不能化成有限小数

当x=25时，，的分母中含有质因数2和3，不能化成有限小数．

所以要是分数能化成有限小数，x应选3、12和18．

故选：B．【点睛】本题主要考查了什么样的分数可以化成有限小数，找到最简分数分母中的质因数是解题的关键．二、填空题7．（2017·上海期中）用最简分数表示：1小时35分钟=_____________小时.【答案】试题解析：35分钟等于小时，则1小时35分钟等于小时.8．（2018·上海普陀区·期末）将分数化为小数：=____________．【答案】1.28【详解】==1.28.故答案为1.28.9．（2020·全国课时练习）比较大小：_________0.612；_________．【答案】<<【分析】小数比较大小的方法：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……；比较分数和小数的大小：先把分数化成小数，然后按小数比较大小的方法进行．【详解】解：__<___0.612∵∴__<___【点睛】此题主要考查小数的大小比较、分数和小数的大小比较，把分数化成小数是解题关键．10．（2020·全国课时练习）循环小数0.1232323…的循环节是_____________，用简便方法写出_____________．【答案】23【分析】根据无限循环小数的概念直接作答即可．【详解】循环小数0.1232323…的循环节是23，用简便方法写出；故答案为23；．【点睛】本题主要考查循环小数，熟记循环小数的概念是解题的关键．11．（2018·上海普陀区·期末）在分数、、、中，能化成有限小数的是_____________________．【答案】【解析】是最简分数，分母中只含有质因数3，不能化成有限小数；是最简分数，分母中含有质因数2和3，不能化成有限小数；是最简分数，分母中含有质因数2和3，不能化成有限小数；是最简分数，分母中只含有质因数2，能化成有限小数.故答案为.12．（2016·上海浦东新区·）把小数3.75化成最简分数：3.75=_________．【答案】（或）试题分析：把小数3．75化成最简分数：3．75=3+0．75=3+=．考点：小数化成最简分数．13．（2020·全国课时练习）（1）42分钟=________小时（用分数表示）=________小时（用小数表示）；（2）1528克=________千克（用分数表示）=________千克（用小数表示）．【答案】0.71.528【分析】（1）分钟化为小时，则除以60即可得到答案；（2）克化为千克，则除以1000即可得到答案．【详解】解：（1）；∴42分钟=小时=0.7小时；故答案为：，0.7；（2）；∴1528克=千克=1.528千克；故答案为：，1.528．【点睛】本题考查了分数与小数的互化，解题的关键是熟练掌握分数化小数的方法．三、解答题14．（2020·全国课时练习）学校食堂第一周烧煤吨，第二周烧煤0.65吨．哪周节约？【答案】第二周节约【分析】根据分数化小数的性质计算，即可得到答案．【详解】吨∵∴第二周节约．【点睛】本题考查了分数化小数的知识；解题的关键是熟练掌握分数化小数的性质，从而完成求解．15．（2020·全国课时练习）把下面的小数化成分数．0.6，1.9，3.2，5.875，84.1