2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE第六章6.1A级——基础过关练1．下列说法中，正确的个数是()①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量肯定是平行向量；④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此肯定是平行向量；④明显正确．2．(多选)下列说法中，正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等而方向相反的两个向量肯定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同【答案】ABC【解析】很明显选项A，B，C正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．3．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列推断错误的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))C．|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))【答案】D【解析】由题图可知，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(FC,\s\up6(→))|，但eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))的方向不同，故eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(FC,\s\up6(→)).故选D．4．如图，在四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则图中相等的向量是()A．eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))B．eq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OD,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))D．eq\o(AO,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))【答案】D【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD是平行四边形，则AO＝OC，即eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).5．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝________，与eq\o(OA,\s\up6(→))相等的向量是________．【答案】eq\r(2)eq\o(CO,\s\up6(→))【解析】易知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\r(2)，eq\o(CO,\s\up6(→))与eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等，方向相同．6．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序号)．【答案】①③④【解析】相等向量肯定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量肯定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．7．把同一平面内全部模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．【答案】3π【解析】这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.8．如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有哪些？(2)与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量有哪些？(3)若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1.5，求|eq\o(CE,\s\up6(→))|的大小．解：(1)与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量即与eq\o(AB,\s\up6(→))同向且等长的向量，有eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→)).(2)与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量即与eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同或相反的向量，有eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→)).(3)若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1.5，则|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝|eq\o(EC,\s\up6(→))|＝|eq\o(ED,\s\up6(→))|＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3.9．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量共有几个？(2)与eq\o(AB,\s\up6(→))平行且模为eq\r(2)的向量共有几个？(3)与eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同且模为3eq\r(2)的向量共有几个？解：(1)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量共有5个(不包括eq\o(AB,\s\up6(→))本身)．(2)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))平行且模为eq\r(2)的向量共有24个．(3)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同且模为3eq\r(2)的向量共有2个．B级——实力提升练10．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))C．eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→)) D．eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))【答案】D【解析】由平面几何学问知，eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))方向不同，故eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(BC,\s\up6(→))；eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))方向不同，故eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(BD,\s\up6(→))；eq\o(PE,\s\up6(→))与eq\o(PF,\s\up6(→))的模相等而方向相反，故eq\o(PE,\s\up6(→))≠eq\o(PF,\s\up6(→))；eq\o(EP,\s\up6(→))与eq\o(PF,\s\up6(→))的模相等且方向相同，所以eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→)).11．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是()A．与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有一个(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))B．与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9个(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))C．eq\o(BD,\s\up6(→))的模恰为eq\o(DA,\s\up6(→))的模的eq\r(3)倍D．eq\o(CB,\s\up6(→))与eq\o(DA,\s\up6(→))不共线【答案】ABC【解析】由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，因此与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有eq\o(DC,\s\up6(→))，而与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))，因此选项A，B正确；而Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴|eq\o(DO,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)|eq\o(DA,\s\up6(→))|，故|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(DA,\s\up6(→))|，因此选项C正确；由于eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))，因此eq\o(CB,\s\up6(→))与eq\o(DA,\s\up6(→))是共线的，故选项D错误．12．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|eq\o(CD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD的形态是________．【答案】梯形【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|eq\o(CD,\s\up6(→))|，∴AB∥DC，但AB≠DC．∴四边形ABCD是梯形．13．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝________.【答案】2eq\r(3)【解析】易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△ABO中，易得|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).14．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．若eq\o(AC,\s\up6(→))的模为2，eq\o(BC,\s\up6(→))的模为3，eq\o(AD,\s\up6(→))的模为1，则eq\o(DB,\s\up6(→))的模为________．【答案】eq\f(3,2)【解析】如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.因为∠ACD＝∠BCD＝∠AED，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|.因为△ADE∽△BDC，所以eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))|,|\o(DB,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AE,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)，故|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2).15．设向量a，b，c为非零向量，若p＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＋eq\f(c,|c|)，摸索讨|p|的取值范围．解：因为eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)，eq\f(c,|c|)是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p|取最大值3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.并且|p|随着向量a，b，c的改变而改变，可以取到0到3之间的一个值，因此|p|的取值范围[0,3]．16．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))，使|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，点A在点O北偏东45°；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))，使|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，点B在点A正东；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))，使|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，点C在点B北偏东30°.解：(1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又因为|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量eq\o(OA,\s\up6(→))如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量eq\o(AB,\s\up6(→))如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|eq\o(BC,\s\up6