2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.7.3球的表面积和体积学案含解析北师大版必修2

PAGE7．3球的表面积和体积考纲定位重难突破1.了解球的体积、表面积公式．2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.重点：利用球的表面积公式和球的体积公式解决几何体的度量问题．难点：球的截面的性质，运用球的表面积和体积公式敏捷解决生活中的实际问题.授课提示：对应学生用书第28页[自主梳理]一、球的截面球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆．二、球的切线与圆类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点．三、球的表面积与体积公式[双基自测]1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A.eq\f(8π,3) B.eq\f(8\r(2),3)πC．8eq\r(2)π D.eq\f(32π,3)解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1.设球的半径为R，则R2＝12＋12＝2，∴R＝eq\r(2).∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(2),3)π，故选B.答案：B2．若球的半径扩大为原来的3倍，则它的表面积扩大为原来的几倍()A．1 B．3C．9 D．27解析：设球的半径为R，则4π(3R)2＝36πR2，所以当球的半径扩大为原来的3倍时，它的表面积扩大为原来的9倍．答案：C3．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为()A.eq\f(4,3)π B.eq\f(8,3)πC.eq\f(16,3)π D.eq\f(32,3)π解析：因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为eq\f(4π,3)×23＝eq\f(32,3)π，故选D.答案：D4．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4eq\r(3)π，则该正方体的表面积为________．解析：设球的半径为r，则eq\f(4,3)πr3＝4eq\r(3)π，∴r＝eq\r(3).设正方体边长为a，则eq\r(3)a＝2eq\r(3)，∴a＝2，∴该正方体的表面积为S正方体＝6a2＝24.答案：24授课提示：对应学生用书第28页探究一球的表面积与体积的计算[典例1]已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于eq\r(3)，且AC＝BC＝eq\r(2)，AB＝2，求球面面积与球的体积．[解析]如图所示，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心．由AC＝BC＝eq\r(2)，AB＝2，知△ABC是AB为斜边的直角三角形．∴O1是AB的中点，在Rt△AOO1中，OO1＝eq\r(3)，O1A＝eq\f(1,2)AB＝1.∴OA＝2，即R＝2.∴S球面＝4πR2＝16π，V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.1．球的表面积和体积只与球的半径有关，因此解决该类问题的关键是如何依据已知条件求球的半径．2．在求球的半径时，常用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系d＝eq\r(R2－r2).1．已知球心O到过球面上三点A，B，C的截面的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，解析：如图所示，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′，AO，AO′，因为AB＝BC＝CA＝3cm，所以O′为正三角形ABC的中心，且AO′＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3)cm.设球的半径为R，则OO′＝eq\f(1,2)R.由球的截面性质，知△OO′A为直角三角形，所以AO′＝eq\r(OA2－OO′2)＝eq\r(R2－\f(1,4)R2)＝eq\f(\r(3),2)R，所以R＝2cm.所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π(cm3)．探究二球的表面积与体积的应用[典例2]如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以骄傲的发觉．我们来重温这个宏大发觉．求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积；(2)球的表面积等于圆柱表面积的eq\f(2,3)；(3)球的体积等于圆柱体积的eq\f(2,3).[证明]设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.S球＝4πR2.S圆柱侧＝2πR×2R＝4πR2.S圆柱＝2×S圆柱底＋S圆柱侧＝2×πR2＋4πR2＝6πR2.∴(1)S球＝S圆柱侧，即球的表面积等于圆柱的侧面积．(2)eq\f(S球,S圆柱)＝eq\f(4πR2,6πR2)＝eq\f(2,3)，即球的表面积等于圆柱表面积的eq\f(2,3).(3)eq\f(V球,V圆柱)＝eq\f(\f(4,3)πR3,πR2·2R)＝eq\f(2,3).即球的体积等于圆柱体积的eq\f(2,3).球的体积和表面积有着特别重要的应用．在详细问题中，要分清是涉及体积问题还是涉及表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．2．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解析：如图作出轴截面，因轴截面是正三角形，依据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径为eq\r(3)r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)r)2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3.将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为eq\f(\r(3),3)h，从而容器内水的体积是V′＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)h))2h＝eq\f(1,9)πh3.由V＝V′得h＝eq\r(3,15)r.探究三与球有关的接切问题[典例3]已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为eq\r(2)a.求它的外接球的体积．[解析]如图，作PE垂直底面ABCD于E，则E在AC上．设外接球的半径为R，球心为O，连接OA，OC，则OA＝OC＝OP.∴O为△PAC的外心，即△PAC的外接圆半径就是球的半径．∵AB＝BC＝a，∴AC＝eq\r(2)a.∵PA＝PC＝AC＝eq\r(2)a，∴△PAC为正三角形．∴R＝eq\f(AE,cos∠OAE)＝eq\f(\f(\r(2)a,2),cos30°)＝eq\f(\r(6),3)a，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(6),27)πa3.处理多面体与球之间的切接关系问题时，要仔细分析图形，明准确点和接点的位置，确定球半径和多面体的棱长之间的数量关系，建立方程求解．3．有三个球，已知球O1内切于正方体，球O2与这个正方体各棱都相切，球O3过这个正方体的各个顶点，求球O1、球O2、球O3的表面积之比．解析：设正方体的棱长为a.①球O1为正方体的内切球，球心O1是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①所示，设球O1的半径为r1，表面积为S1，则2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.②球O2与正方体各棱的切点为各棱的中点，过正方体的两个相对面的面对角线作截面，如图②所示，设球O2的半径为r2，表面积为S2，则2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.③球O3过正方体的各个顶点，即正方体的各个顶点都在球面上，过正方体的体对角线作截面，如图③所示，设球O3的半径为r3，表面积为S3，则2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.故这三个球的表面积之比S1∶S2∶S3＝πa2∶2πa2∶3πa2＝1∶2∶3.球的平行截面问题因思维不严密致误[典例]一个球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积[解析](1)当球心不在两个截面之间时，如图①，设OD＝xcm，由题意知π·CA2＝49π，∴CA＝7(cm)，π·BD2＝400π，∴BD＝20(cm)．设球的半径为Rcm，则有(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，∴x＝15(cm)，R＝25(cm)．∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)．(2)当球心在两个截面之间时，如图②，设OD＝xcm，则OC＝9－x，设球的半径为Rcm，可得x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，此方程无正数解，即此种状况不行能．综上可知，球的表面积是2500πcm2.[错因与防范](1)此题在解题时会出现盲目认为平行截面在球心的同侧，而忽视了在球心两侧的状况．(2)球是比较特别的旋转体，球的任何一个截面都是圆，在解决关于截面的问题时，要防止出现错误，肯定先作出截面示意图，分析出可能出现的不同状况，精确合理地选择公式．[随堂训练]对应学生用书第29页1．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()A．R B．2RC．3R D．4R解析：设圆柱的高为h，则πR2h＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3))，则h＝4R.答案：D2．有两个球和一个正方体，球O1与正方体各个面相内切，球O2过正方体各顶点，则球O1与球O2的表面积之比为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,2)解析：设正方体棱长为a，球O1，O2的半径分别为R1，R2，则2R1＝a,2R2＝eq\r(3)a，∴R1∶R2＝1∶eq\r(3)，表面积之比为1∶3.答案：A3．长方体共顶点的三条棱长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积为________．解析：球的直径等于长方体的对角线长，即2R＝eq\r(32＋42＋52)＝5eq\r(2)，∴R＝eq\f(5\r(2),2)，∴S球＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))2＝50π.答案：50π4．过球一条半径的中