2024-2025学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法跟踪训练含解析新人教A版选修2-2

PAGE反证法[A组学业达标]1．反证法的关键是在正确的推理下得出冲突，这个冲突可以是：①与已知条件冲突；②与假设冲突；③与定义、公理、定理冲突；④与事实冲突．其中正确的为()A．①② B．②③C．③④ D．①②③④解析：本题干脆考查反证法的定义．答案：D2．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线冲突；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号依次为()A．①②③ B．③①②C．①③② D．②③①解析：依据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知依次为③①②.答案：B3．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，假如ab可被5整除，那么a、b中至少一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a、b都能被5整除 B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除 D．a不能被5整除解析：本题主要考查命题的否定与间接证明．依据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定．命题：“a、b中至少一个能被5整除”的否定是：“a、b都不能被5整除．故答案为a、b都不能被5整除．答案：B4．(1)已知p2＋q2＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的确定值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的确定值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是()A．(1)的假设正确，(2)的假设错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设错误，(2)的假设正确D．(1)与(2)的假设都错误解析：(1)用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定．所以p＋q≤2的假命题应为p＋q＞2.故(1)错误；(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的确定值都小于1，依据反证法的定义，可假设|x1|≥1，故(2)正确；所以C选项是正确的．答案：C5．设a，b，c都是正数，则三个数a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都在于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2解析：假设a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)都小于2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)＜2，,b＋\f(1,c)＜2，,c＋\f(1,a)＜2，))三式相加得a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＜6.由基本不等式知a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝a＋eq\f(1,a)＋b＋eq\f(1,b)＋c＋eq\f(1,c)≥2eq\r(a·\f(1,a))＋2eq\r(b·\f(1,b))＋2eq\r(c·\f(1,c))＝6，与假设冲突，所以a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)至少有一个不小于2.答案：C6．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．解析：“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．答案：x＝a或x＝b7．某珠宝店丢了一件宝贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．依据以上条件可以推断偷珠宝的人是________．解析：假设是甲偷了珠宝，则甲“我没有偷”为假，丁“我没有偷”为真，丙“丁是小偷”为假，乙“丙是小偷”为假，符合题目条件“四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝”，故假设正确．答案：甲8．求证方程sinx＋c＝x只有唯一解．证明：假设方程至少有x1，x2(x1≠x2)两个解．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx1＋c＝x1，①,sinx2＋c＝x2，②))①－②得sinx1－sinx2＝x1－x2，2coseq\f(x1＋x2,2)sineq\f(x1－x2,2)＝x1－x2，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(x1＋x2,2)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(x1－x2,2)))＝eq\f(|x1－x2|,2).③又由x1≠x2，可知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(x1－x2,2)))＜eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1－x2,2)))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(x1－x2,2)))≤1，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(x1＋x2,2)))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(x1－x2,2)))＜eq\f(|x1－x2|,2)，④③与④冲突．∴sinx＋c＝x只有唯一解．[B组实力提升]9．若下列关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0(a为常数)，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪[－1，＋∞)C．(－2,0)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪[0，＋∞)解析：不妨假设三个方程都没有实数根，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16a2＋16a－12＜0,a－12－4a2＜0,4a2＋8a＜0))，解得－eq\f(3,2)＜a＜－1，故三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根时，实数a的取值范围为a≤－eq\f(3,2)或a≥－1，所以B选项是正确的．答案：B10．学生的语文，数学成果均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”，若学生甲的语文，数学成果都不低于学生乙，且其中至少有一门成果高于乙，则称“学生甲比学生乙的成果好”，假如一组学生中没有哪位学生比另一位学生成果好，并且不存在语文成果相同，数学成果也相同的两位学生，那么这组学生最多人数为()A．2 B．3C．4 D．5解析：当有4名学生时，他们的语文成果确定有两个人相同，设为甲、乙两位同学，当这两位同学的数学成果不同时，假设甲同学成果高于乙同学成果，则甲同学成果比乙同学成果好，不符合题意；当这两位同学的数学成果相同时，不符合题目要求．所以学生人数不能多于3个．当有3名同学时，可以找出符合题意的状况，如下：甲同学语文成果优秀，数学成果不合格；乙同学语文成果合格，数学成果合格；丙同学语文成果不合格，数学成果优秀，所以满意条件的最多有3个学生．答案：B11．若a，b，c，d都是有理数，eq\r(c)，eq\r(d)都是无理数，且a＋eq\r(c)＝b＋eq\r(d)，则a与b，c与d之间的数量关系为________．解析：假设a≠b，令a＝b＋m(m是不等于零的有理数)，于是b＋m＋eq\r(c)＝b＋eq\r(d)，所以m＋eq\r(c)＝eq\r(d)，两边平方整理得eq\r(c)＝eq\f(d－c－m2,2m).左边是无理数，右边是有理数，冲突，因此a＝b，从而c＝d.答案：a＝b，c＝d12．某同学打算用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，假如对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|.求证：|f(x1)－f(x2)|＜eq\f(1,2).那么他的反设应当是________．解析：依据反证法证明的步骤，首先反设，反设是否定原命题的结论．故答案为∃x1，x2∈[0,1]，当f(x1)－f(x2)＜|x1－x2|时，有|f(x1)－f(x2)|≥eq\f(1,2).答案：∃x1，x2∈[0,1]，当f(x1)－f(x2)＜|x1－x2|时，有|f(x1)－f(x2)|≥eq\