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文档简介
二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅立叶级数本章首先在柱坐标和球坐标系对二维和三维泛定方程分离变量，导出著名的变系数常微分方程：贝塞尔方程和勒让德方程。接着对常见的变系数线性微分方程进行分类，介绍了如何用幂级数解法和弗罗贝尼乌斯级数解法求解正则奇点的二阶常微分方程。最后对常见的施图姆-刘维尔型微分方程的特征值和特征函数的性质作了系统的介绍。本章的内容是第四章内容的继续和深入，也是以后几章特殊函数的基础，这些内容对了解数理方程有关键作用。2
二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅立叶级数§
5.1
贝塞尔方程与勒让德方程§
5.2
二阶线性常微分方程的幂级数解法§
5.3
二阶线性常微分方程的广义幂级数解法§
5.4
常微分方程的边值问题3§
5.1.1
贝塞尔方程的导出§
5.1.2
勒让德方程的引入5.1
贝塞尔方程与勒让德方程4贝塞尔方程来自于柱坐标下的定解问题。若一个物理问题是z
方向无穷长的圆柱体，或者所求物体的物理性质在z
方向都是相同的，而只与时间t
和空间(x,
y)有关，这就形成了柱坐标下的定解问题。5.1.1
贝塞尔方程的导出图
5.1
柱坐标系09
p(p,9,z)xy5z
=
+
,
(x2
+
y2
<
R2
,
t
>
0)
〈|
三
R
)仍然用分离变量法求解。设u(x,y,t
)=V(x,y)T(t
)式(5.1-4)代入式(5.1-1)得到
=
V(
,
y)
+
=
-入式中入是一个常数。x1llllllll22luu(5.1-1)(5.1-2)(5.1-3)5.1.1
贝塞尔方程的导出(5.1-4)65.1.1
贝塞尔方程的导出上式是一个常微分方程和一个偏微分方程，它们分别是T,(t
)+入T(t
)=0〈|(++入V
=0,(x2
+y2
<R2
)|lV(x,
y)x2
+y2
=R2
=
0式(5.1-6)称为霍姆维兹方程。(5.1-6)是圆域内的定解问题，将其换到极坐标系。设x
=pcos9，y
=psin
9，有〈|?p2
+
p
?p
+
p2
?92
+
入V
=
0
|lVp=R
=
0式中p为极径，9为极角。(?2
V
1
?V
1
?2
V(5.1-7)(5.1-6)(5.1-5)7p
+p
+入p
=-=山
R
R
O式中山为常数。上式是两个常微分方程，分别是p2
+p
+(入p2
-山)R
=0(5.1-9)O，，+山O=0上式可以进一步分离变量。设V(p,9)=R(p)O(9)上式代入式(5.1-7)，得到5.1.1
贝塞尔方程的导出2
R，，
R，
2
O，，(5.1-8)8〈|(
+
p内=0|l内(9)=内(9+2")代入周期性边界条件后，设p=n2
。特征函数，特征值是〈|(内0
(9)=
,
(n
=
0)|l内(9)=an
cos
n9+bn
sin
n9,(n
=1,2,…)恳n2
:n
=0,1,2,3,…}922内dd5.1.1
贝塞尔方程的导出由于V(p,9)是单值函数，所以内(9)应满足周期性边界条件，因而有(5.1-10)(5.1-12)(5.1-11)95.1.1
贝塞尔方程的导出将斤
=n2
代入式(5.1-9)，得到b2
+b
+(yb2
-n2
)R(b)=0
(5.1-13)作变量代换，令
yb
=
r
，则有R(b)=
R(|(
=
F(r
)。式(5.1-13)可以写成r
2
+r
+(r
2
-n2
)F(r
)
=0为了和常见的常微分方程形式上一致，令r
=x,
F
=y，上式是x2
y'
+xy'+(x2
-n2
)y
=0,(x
>0)(5.1-14)式(5.1-14)称之为n
阶贝塞尔方程，是一个变系数二阶常微分方程。10从式(5.1-5)可以解出T(t
)=Ae-入t
，再用式(5.1-1)和(5.1-13)，有un
(x,y,t)=R
r))|o(n9)T(入t)u(x,y,t)=xR
))|(an
cosn9+bn
sin
n9)e-入t从上式易见，u(x,y,t)的解最终取决于R
))|，即贝塞尔方程(5.1-14)的解。5.1.1
贝塞尔方程的导出115.1.2
勒让德方程的引入勒让德方程来源于球坐标下的偏微分方程分离变量解法。考虑球坐标系如图5.2所示，x
=rsin9cosQ，y
=rsin9sinQ，z
=rcos9。
三维拉普拉斯方程球坐标表达式是r
2
))|+
sin
9
))|
+
=
0(0<r
<+w,0<9<",0<Q
<2")Q图5.2
球坐标示意图(5.1-15)
9
rx12yz5.1.2
勒让德方程的引入由于球坐标是三变量的，因此分离变量的公式是u(r,9,0)=R(r
)o(9)业(0)(5.1-16)式(5.1-16)代入式(5.1-15)，得到r
2
))|+
sin
9
))|+
业s
20
=
0令r2
))|是一个常量n(n
+1)，其中n
是实数或者复数，有r2
))|=
-
sin9
o9))|
-
业s
20=n(n
+
1)2业dd2业13因此得到r2
))|
=
n(n
+
1)sin
9
))|+
史s
20
=
-n(n
+
1)2史式(5.1-17)是常微分方程。而式(5.1-18)是二变量的偏微分方程，仍然需要分离变量。上式稍做变换后，可以写成sin9sin9))|+n(n
+1)sin2
9=-
20
=m2
(m
=0,1,2,3,…)2史dd史15.1.2
勒让德方程的引入(5.1-17)(5.1-18)14式(5.1-20)称为连带勒让德方程。为了求解球坐标下的拉普拉斯方程，要对分离变量后的三个方程求解，式(5.1-17)与式(5.1-19)的解分别为R(r
)
=
A1r
n
+
A2
r
-(n+1)C(Q)=B1
cosmQ+B2
sinmQd
2
C
+
cot9
+
n(n
+
1)
-
O
=
05.1.2
勒让德方程的引入+m2
C=0
dQ2(5.1-19)(5.1-20)155.1.2
勒让德方程的引入而连带勒让德方程
+
cot9
+
n(n
+
1)
-
O
=
0实际上没有初等函数构成的解，所以暂时写不出解的形式。方程(5.1-15)的解为u(r,9,0)=x(A1rn
+A2
r-(n+1)
)(B1
cos
m0+B2
sin
m0)Omn
(9)上式易见，u(r,9,0)的解取决于连带勒让德方程(5.1-20)的解。165.1.2
勒让德方程的引入为了便于讨论，对式(5.1-20)要做一些变换。令x
=cos9，则有o(9)=o(arccosx)=y(x)sin
9=-sin
2
9=-(1-x2
)sin
9
))|
=
sin
2
9
-
2
cos9
=
(1
-
x2
)-
2x这样式(5.1-20)可以写成(1-x2
)-2x
+n(n
+1)-y
=0(5.1-21)式(5.1-21)是常见的勒让德方程的一般形式，称为连带勒让德方程。17令m
=
0
，得到(1x2
)2x
+n(n
+1)y
=0,(x1)式(5.1-22)称为勒让德方程。5.1.2
勒让德方程的引入(5.1-22)18从球坐标系与柱坐标系分离变量解法过程中可以看到，在一些复杂的分离变量求解过程中，特征函数与特征值都与变系数二阶常微分方程的边值问题有关。由常微分方程理论可以知道，变系数二阶常微分方程的解在一般情况下不能用初等函数表示，所以也不能用普通积分方法求解。众所周知，函数在满足一定条件下，可以展开成幂级数。所以，若方程的解存在的话，可以把解写成幂级数代入方程中，用待定系数法求出满足方程的幂级数系数，这个幂级数就是所求的解。基于这种想法，产生了线性常微分方程的幂级数解法。5.1小结195.2
二阶线性常微分方程的幂级数解法上面所介绍的贝塞尔方程和勒让德方程是二阶线性齐次常微分方程，它们的系数是幂函数。更一般的情况下，方程里的系数是任意函数。因此，方程可以写成A(x)y
+B(x)y
+C(x)y
=0
(5.2-1)二阶变系数微分方程解的理论常常使用标准型方程，在标准型方程里y
前面的系数为1。把式(5.2-1)两边同除以A(x)，可得到y
+p(x)y
+q(x)y
=0其中p(x)(x)方程(5.2-2)解的性质由系数p(x)和q(x)的性质确定，下面详细介绍该内容。(5.2-2)(5.2-3)20§
5.2.1
二阶线性常微分方程的奇点与常点§
5.2.2
二阶线性常微分方程的幂级数解5.2
二阶线性常微分方程的幂级数解法21y
+p(x)y
+q(x)y
=0(5.2-2)若方程(5.2-2)的系数p(x)和q(x)在所讨论的区域D
内，除了若干个孤立奇点外，都是x
的单值解析函数(即p(x)和q(x)有任意阶导数)，区域D内的点可分为两类：(1)方程的常点。系数p(x)和q(x)都在某点x0
及其领域内解析，x0
称为方程(5.2-2)的常点。(2)方程的奇点。系数p(x)和q(x)至少有一个在点x0
处不连续，
这样的点x0
称为微分方程(5.2-2)的奇点。5.2.1
二阶线性常微分方程的奇点与常点22例如：方程y，，+(x2
-1)y，+2x2
y
=0中，p(x)=2x2
-1和q(x)=2x2
都是连续可导的，因此若在x
=0处将y
展开成幂级数有y
=xan
xn
,将其代入方n=0程中，就有以下等式
n(n
-1)an
xn-2
+(x2
-1)an
nxn-1
+2x2
an
xn
=0n=2
n=1n=0略加整理后，有[(n
+1)(n
+2)an+2
-nan+1
]xn
+(nan+1
+2an
)xn+2
=0
n=0
n=0xwxwxwxwxw5.2.1
二阶线性常微分方程的奇点与常点23w5.2.1
二阶线性常微分方程的奇点与常点很明显上式可以用待定系数法去确定an
。若求出的解y
=an
xn
在所求区域内收敛，那么y
=an
xn
就是所求解。n=0
n=0这一事实说明，若方程(5.2-2)在所定义区域内的点都是常点，那么这个方程可以
用幂级数法求解。再考虑有奇点的方程y,+(x2
-1)y,+ln
x
.y
=0。由于lnx在x
=0处不连续，所以x
=0处是方程的奇点。方程的解若写成幂级数y
=an
xn
代入方程中，n=0由于ln
x
不能在x
=0处展开成幂级数，所以系数an
不能用待定系数法确定。这意味着对于有奇点的方程不能用普通的幂级数方法求解。
24
5.2.2
二阶线性常微分方程的幂级数解定理5.1常点微分方程解的定理。设有常微分方程y
p
x
y
q
x
y
0若系数函数可以在x0
处展开成幂级数，即p
x
n
x
x0
n
;q
x
n
x
x0
n在x
x0
R
时收敛。那么总可以求出两个线性无关的且以x0
为中心的幂级数解
其中a0
和a1是两个任意常数，
它们可以由一个递推公式an
n
2
确定。
R
是x0
到最近奇点之间的距离。定理5.1的解法称为“待定级数系数法”，实际的求解过程类似于待定系数法。n
0
n
0
(5.2-4)y
an
x
x0
n
,x
x0
R
n
0
例5.2例5.1例5.3(5.2-5)255.3
二阶线性常微分方程的广义幂级数解法§
5.3.1
弗罗贝尼乌斯解法理论§
5.3.2
弗罗贝尼乌斯级数解法26设一个二阶变系数常微分方程是y
+p(x)y
+q(x)y
=0(5.3-1)下面讨论p(x)和q(x)是孤立奇点的情况。实际上根据复变函数理论，若x
=x0
是孤立奇点，p(x)和q(x)可以展开成具有负幂和正幂项的级数，这样就有p(x)(或q(x))
=
+
an
(x
x0
)nn根据p(x)和q(x)的情况，可将奇点分成两类：5.3.1
弗罗贝尼乌斯解法理论(5.3-2)27(1)a_n
只有有限项，特别是有一种情况，即(x
_x0
)p(x)
和q(x).(x
_x0
)2
在x
_x0
<R
内解析，称x
0
是方程(5.3-1)的正则奇点，
这一种情况是数理方程中常见的情况之一；(2)若p(x)和q(x)中至少有一个不满足(x
_x0
)p(x),
(x
_x0
)2
q(x)在x0
点解析，则x0
称为方程(5.3-1)的本性奇点。在本性奇点附近，方程至少有一解在x0
有本性奇点，而另一解可能是y
=xan
(x
_x0
)n+p
，n=0但它往往是发散的，这种情况在数理方程中不多见，这里不讨论它。5.3.1
弗罗贝尼乌斯解法理论28w5.3.1
弗罗贝尼乌斯解法理论定理
5.2
弗罗贝尼乌斯(Forbenius)定理。设有二阶线性微分方程y，，+p(x)y，+q(x)y
=0(5.3-1)若x0
为p(x)和q(x)的正则奇点，即(x
_x0
)p(x)和(x
_x0
)2
q(x)在
0<x
_x0
<R内解析(无限次可微)，那么方程(5.3-1)至少有一个形如的解。其中p为待定系数，它的收敛区间至少是0<x
_
x0
<R。式(5.3-3)称为正则解，又被称为广义幂级数，常数p称为指标。y
=(x
_x0
)p
an
(x
_x0
)nn=0xw(5.3-3)29定理
5.3
刘维尔定理。若已知齐次微分方程y
+p(x)y
+q(x)y
=
0的一个解是y1
(x)，它的另一个线性无关解是y2
(x)
=
y1
(x)j
.
e
j
(
dx一一一一一一p)dxxp一5.3.1
弗罗贝尼乌斯解法理论那么另一个解如何求？刘维尔定理可以解决这个问题。(5.3-1)(5.3-4)305.3.1
弗罗贝尼乌斯解法理论证设第二个线性无关解是y2
(x)=v(x)y1
(x)，将其代入式(5.3-1)，可得y
+p(x)y
+q(x)y
=(y1v
+2y
v
+y
v)+p(x)(y1v
+y
v)+
q(x)y1v=y
v
+(2y
+p(x)y1
)v
+(y
+p(x)y
+q(x)y1
)v=y1v
+(2y
+p(x)y1
)v
因此要y1v(x)是微分方程的解，必须有
y1v
+
(2y
1
+
y1p(x))v
=
0解上式，得到v(x)=
j
e
jp
(x
)dxdx因此有y2
(x)=y1v(x)=y1
j
e
jp
(x
)dxdx为了证明y1
和y2
线性无关，只要将上式代入朗斯基行列式就可以验证。[证毕]315.3.1
弗罗贝尼乌斯解法理论下面用定理
5.2
和定理
5.3
来求方程(5.3-1)的解:由于x0
是正则奇点，所以有(x
x0
)p(x)=p0
+p1
(x
x0
)+p2
(x
x0
)2
+
…
=P(x)(x
x0
)2
q(x)=q0
+q1
(x
x0
)+q2
(x
x0
)2
+…
=Q(x)因此得到p(x)=;q(x)=
根据上式，可以导出方程(5.3-1)的等价方程是y
+y
+y
=0(5.3-5)(5.3-6)(5.3-7)(5.3-8)32y
=(x
-x0
)p
an
(x
-x0
)nn=0不失一般性，设上式中a0
丰
0
，上式代入(5.3-8)，用(5.3-5)和(5.3-6)可以求出方程：xw由于P(x)和Q(x)在x0
的邻域内解析(即无限次可微)，根据定理5.2可知，该方程有一个弗罗贝尼乌斯型级数解a0
(x-x0
)p-2
[p(p-1)+p0p+q0
]+x-x0
)p-2+n〈
p(p+n)an
+[(p+k)pn-k
+qn-k
]ak
卜=0J)l(5.3.1
弗罗贝尼乌斯解法理论(5.3-9)335.3.1
弗罗贝尼乌斯解法理论由于(5.3-9)一定成立，上式可以用待定系数法，这样有下面两式成立p(p-1)+p0
p+q0
=0(5.3-10)p(p
+n)an
=-x[(p
+k
)pn-k
+qn-k
]an
(5.3-11)=0式(5.3-10)称为指标方程，式(5.3-11)是递推公式，p是(5.3-10)的根。式(5.3-10)有两个解，设为p1
和p2
，这里不考虑p1
和p2
为复数情况。假定p1
>p2
，根据定理5.2，可以设n-n-1另一个解用定理5.3来解。根据p1和p2
的取值，详细地分析，可以得到下面三种情况：y1
(x)=(x
-x0
)p1
an
(x
-x0
)nn=0xw(5.3-12)34k上式中bn
(x
x0
)n
为一个无穷幂级数，g0
丰0，为一常数。这种情况下，n=1解中含有一对数项。
式中bn
(x
x0
)n
为一个无穷幂级数，式(5.3.13)是与(5.3-3)类型相n=0同的弗罗贝尼乌斯级数。
y2
(x)=g0
y1
(x)ln(x
x0
)+(x
x0
)p1
bn
(x
x0
)nn=15.3.1
弗罗贝尼乌斯解法理论y2
(x)=(x
x0
)p2
bn
(x
x0
)nn=0
(1)p1
p2
不是整数。这时有(2)p1
=p2
。这时有(5.3-13)(5.3-14)35
其中g1
或者为零，或者是不为的零的一个常数。通常不利用上面的公式，而是用弗罗贝尼乌斯定理的式
(5.3-3)直接带入待解方程中去推出指标方程和递推公式，根据求出的指标p去判断两个解的性质，来决定是否需要再去求第二个解。以上的方法又可以称为广义幂级数解法。y2
(x)=g1y1
(x)ln(x
一x0
)+(x
一x0
)p2
bn
(x
一x0
)nn=0
5.3.1
弗罗贝尼乌斯解法理论(3)p1
一
p2
=
m
(正整数)。有(5.3-15)36最后，对高于2阶方程的正则解求法作一简要介绍。高阶方程的正则解非常类似2阶方程的正则解法，能够有正则解的标准方程与式(5.3-8)相似，为y(n)
(x)+y(n-1)
(x)+(
(n-2)
(x)+…+(x)=0(5.3-21)上式中q0
，q1
，…,qn-1
在x0
邻域内解析。求解过程与例题介绍的
过程相似，但是因为求不出规则的递推公式，故非常少用。-n-2xq5.3.2
弗罗贝尼乌斯级数解法例5.5例5.4例5.637
§
5.4.1
常微分方程边值问题的提出
§
5.4.2
SL
问题的定理
§
5.4.3
广义傅立叶级数的进一步讨论5.4
常微分方程的边值问题385.4.1
常微分方程边值问题的提出边值问题到底与初值问题有什么不同呢？对于一般情况而言，二阶线性常微分方程〈
(
()x
)
=
y
(5.4-1)只要f
(x,y,y
)及其偏导数f
(x,y,y
)和f
(x,y,y
)连续，解是唯一存在的。但是边值问题在满足初值问题唯一性和存在性条件后，也不一定唯一存在。y
y
0000000000000yy
(例5.7395.4.1
常微分方程边值问题的提出微分方程的边值问题必须满足一定的条件才可以有解。一般性地去分析这个问题比较复杂，这里仅讨论数理方程中常遇到的微分方程的边值问题解的存在性问题，这就是在第四章中已经见到的特征值和特征函数的解是否存在的问题。一般二阶偏微分方程分离变量法得到的方程都是在一定边界
条件下含了参数的齐次常微分方程，即A(x)y
+B(x)y
+C(x)y
+入y
=0,(a
<
x
<b)(5.4-2)式中入为参数。式(5.4-2)只有满足一定边界条件，其解才是唯一存在的。
考虑常见到的施图姆—刘维尔(Sturm-Liouvile)型方程的边值问题，以后将简称为SL
问题。40A(x)B(x)C(x)将式(5.4-3)代入式(5.4-2)后得到p(x)y，，+p，(x)y，+q(x)y
+入p(x)y
=0整理后，得到[p(x)y，]，+q(x)y
+入p(x)y
=05.4.1
常微分方程边值问题的提出二阶SL
问题对应的方程(5.4-2)中系数A
、B
、C
满足下面的条件式(5.4-5)称为SL方程，它的齐次边值问题称为SL问题。SL问题分为两类，一类是正则问题；另一类是奇异问题。(5.4-3)(5.4-4)(5.4-5)41定义
正则SL问题。设p(x),q(x),p(x)和p,(x)是区间[a,
b]上的实值连续函数，而且在[a,b]上p(x)和p(x)都大于零。在这样条件下，求的边值问题的非零解，以及有非零解的入值问题称为正则二阶SL问题。其中入是参变量，又称为特征值，因此,SL问题是一个特征值问题。〈|c1y(a)+c2
y,(a)=0,(c1
和c2
不全为0)d1y(b)+d2
y,(b)=0,(d1
和d2
不全为0)5.4.1
常微分方程边值问题的提出([p(x)y,],+q(x)y
+入p(x)y
=0,(a
<x
<b)(5.4-6)(5.4-7)(5.4-8)42奇异SL问题：指由SL问题[p(x)y
]+[q(x)y
+入p(x)]y
=0在有限区间或者在无限区间上构成的边值问题，它的边界条件不一定全能用式
(5.4-7)和(5.4-8)来表示。再次提醒注意的是SL问题是一个由线性齐次方程，齐次边界条件构成的特征值问题。5.4.1
常微分方程边值问题的提出例5.8435.4.2
SL问题的定理正交的概念可以进一步推广，这就是带权正交。定义
若f
(x)和g(x)=[a,b]，并且满足(f,g
)=ja
p(x)f
(x)g(x)dx
=0p(x)称为权函数，称f
与g
在[a,b]上带权p(x)正交。若函数的集合恳0n
(x);n
=0,1,2,…}满足关系(0n
;0m
)=ja
p(x)0n
(x)0m
(x)dx
=〈
丰=称恳0n
(x)}是[a,b]上带权p(x)的正交函数系。实际上以前考虑的正交函数系中权函数
p(x)=1。bbmmbb(5.4-10)(5.4-9)44那么式(5.4-5)中的参量入有以下性质：(1)存在着无穷多个实特征值入n，这些特征值组成一个递增序列n)w(2)对应每个特征值有唯一的线性无关的特征函数yn
(x)=yn
(x;入n)；(3)若p(x)>0,q(x)共0，则有特征值入n
>0；([p(x)y，]，+q(x)y
+入p(x)y
=0,(a
<x
<b)〈|c1y(a
)+c2
y，(a
)=0,(c1
和c2
不全为0)|ld1y(b)+d2
y，(b)=0,
(d1
和d2
不全为
0)定理
5.4
正则SL
问题正则施图姆—刘维尔问题(SL
问题)定理。若常微分方程和边界条件是上一节所提到的(5.4-5)-(5.4-8)，即入0
<入1
<入2
<…入n
<…
，且lim入n
)w；5.4.2
SL问题的定理(5.4-6)(5.4-7)(5.4-8)455.4.2
SL问题的定理(4)对应于特征值集合的特征函数系恳yn
(x)=y(x;入n
);n
=0,1,2,…}关于权函数p(x)在[a,b]上正交。证这个定理的(1)和(2)证明略去。(3)的证明类似于4.4.1
中第三类边值问题的特征值求解，下面证明性质(4)。设ym
(x;入m)和yn
(x;入n)分别是对应于特征值入m和入n的特征函数，
根据(5.4-5)有式(5.4-11)乘以yn
，式(5.4-12)乘以ym
，然后将两式相减，得[p(x)y,m]+[q(x)+入mp(x)]ym
=0
[p
(x
)y
,n
]+[q
(x
)+入n
p(x
)]y
n
=0(5.4-11)(5.4-12)465.4.2
SL问题的定理(入m
-入n
)p(x)ym
yn
=ym
[p(x)y,n]-yn
[p(x)y,m]对上式在所定义的区间[a,b]上积分，得到(入m
-入n)ja
p(x)ym
yn
dx=p(b)[ym
(b)y,n
(b)-yn
(b)y,m
(b)]-p(a)[ym
(a)y,n
(a)-yn
(a)y,m
(a)]bb在端点a,ym
和yn
要同时满足方程(5.4-7),因此有(c1ym
(a)+c2
y,m(a
)=
0〈lc1yn
(a)+c2
y,n
((a)=0(5．4-13)(5.4-14)475.4.2
SL问题的定理将c1
和c2
当作变量，ym
(a)和y
m(a)，yn
(a)和y
n(a)当作系数，上式是齐次线性方程组。若c1
和c2
不全为零，系数行列式等于零，因此得到
=ym
(a)y
n
(a)yn
(a)y
m(a)=0
(5.4-15)同理在端点b处有ym
(b)y
n
(b)yn
(b)y
m
(b)=0式(5.4-15)和(5.4-16)代入(5.4-13)，得到(入m
入n)ja
p(x)ym
yn
dx
=0bb(5.4-16)48根据本定理中的(2)可知，m
n
时入m
入n，因此有ja
p(x)ym
yn
dx
=0，m
n
(5.4-17)在m
=n
时，由于p(x)>0，而yn
(x)是非零解，所以y2
n
(x)>0，这样就有ja
p(x)ym
yn
dx
=ja
p(x)y2
n
dx
>0(m
=n)(5.4-18)综合式(5.4-17)和(5.4-18)可知，定理的(4)成立。[证毕]bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb5.4.2
SL问题的定理495.4.2
SL问题的定理奇异SL问题推论
对于奇异SL问题，若p(x),p,(x),q(x)和p(x)在开区间(a,b)上连续，并且在开区间上满足0(x)>0,p(x)>0，那么SL问题的解只能在边界端点趋于零或者w
，从式(5.4-13)可知，只要lx
p(x)(ym
(x)y,n
(x)-yn
(x)y,m
(x))-lx
p(x)(ym
(x)y,n
(x)-yn
(x)y,m
(x))=0(5.4-19)成立，定理5.4的4个结论仍然成立。从式(5.4-13)中可以看到，若p(a)=0，那么不需要x
=a
的边界条
件正交表达式(5.4-17)仍然成立；若p(b)=0，那么无需x
=b处的边界
条件，
函数系仍然带权正交；
若p(a)=p(b)=0，则无需边界条件，
正交函数系仍然成立。区间是无限时，有类似讨论。对于周期性边界条件，
若p(a)=
p(b)>
0
，y(a)
=
y(b)
，y,(b)
=
y,(a)，式(5.4-13)可以看到，函数仍
在[a,
b]上带权正交，但是定理
5.4
中的(2)可能不成立。)b-im50下面例题讨论了贝塞尔方程与勒让德方程特征函数的正交性。5.4.2
SL问题的定理例5.951第四章中已初步介绍了完备性的概念，这里对此做一些更详细的讨论。若有一个函数系恳0n
(x);n
=0,1,2…}，对于某一个函数类R中的任何一个函
数f
(x)都可以表示成就称恳0n
(x)}在R中是完备的。根据(5.4-20)式，按照极限定义可以得到，对于任给一个G>0，存在N，只要n
>N
，则[a,b]中的所有x
都有由式(5.4-21)可知，级数an0n
(x)应当在[a,b]上一致收敛于f
(x)。xwf
(x)
=ln
xan0n
(x)=an0n
(x)(5.4-20)nxw)wim5.4.3
广义傅立叶级数的进一步讨论f
(x)-xan0n
(x)<
Gn=1n(5.4-21)n=0
n=052n=1就可以按恳0n
(x)}展开x2
y，，+xy
+4x
-))|y
=0，也可以称满足(5.4-22)的函数f
(x
)是完备的。应用中所遇到的函数f(x)和特征函数系一般都满足式(5.4-22)的要
求，所以都可以用特征函数系恳yn
(x);n
=0,1,2,…}展开，即有f
(x)=an
yn
(x)
(5.4-23)n=0xw5.4.3
广义傅立叶级数的进一步讨论ln
ja〈f
(x)-
an0n
(x)卜dx
=
0bbbbbbbbbbbbbbbbb22bJ)l()wim通常把f(x)的要求放宽到平方可积，即只要满足(5.4-22)535.4.3
广义傅立叶级数的进一步讨论为了求出系数an
，将上式乘以权函数p(x)和ym
(x)后，再积分得到ja
p(x)f
(x)ym
(x)dx
=an
ja
p(x)ym
yn
dx
(5.4-24)计算上式时，已经假定了积分号与求和号可以互相交换。若是SL问题，根据定理5.4的第4条，此特征函数带权正交，有ja
p(x)ym
yn
dx
=〈
p(x)
2d
n
=
m上式代入(5.4-24)，得到an
=
(5.4-25)(5.4-23)和(5.4-25)可构成一般二阶SL问题的广义傅立叶级数展开问题。bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb丰n丰bx,mynjab0,bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbxw54n=05.4.3
广义傅立叶级数的进一步讨论定理
5.5
广义傅立叶级数展开定理：若恳yn
(x);n
=0,1,2,…}是区间
[a,b]上的SL问题的特征函数系，f
(x)在[a,b]上逐段光滑，则f
(x)可以展开成广义傅立叶级数，即f
(x)=cn
yn
(x)n=0c
=
ja
p(x)f
(x)yn
(x)dx
ja
p(x)y
(x)dxnnnnnnnnnnnbbnn2bbxw例5.11例5.10(5.4-26)(5.4-27)其系数55本章结束
二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅立叶级数56例5.1例5.1用幂级数方法求Airy方程y
=xy,(-<x
<)
(1)解Airy方程的p(x)=0,q(x)=-x
，由于p(x)和q(x)在(-,+)上都收敛，
所以x
=0为一个常点，方程可以用幂级数法求解。令方程解的幂级数是y
=
an
xn
(2)n=0根据定理5.1可知，这个解一定收敛，所以可对式(2)逐项微分，得到y
=
nan
xn-1
=
(n
+
1)an+1xnn=1
n=0y
=n(n
-1)an
xn-2
=(n
+1)(n
+2)an+2
xn
(3)n=2n=0将式(2)和(3)代入方程(1)后，得到
57例
5.1式(4)不能直接比较待定系数。只有方程(4)两边求和号的哑元n
起始数和x
的幂指数都相同情况下才能用待定系数法求解。对式(4)右边变换，令n
+1=m
，得到
an
xn+1
=
am-1xmn=0
m=1对于哑元来说，n
和m
有同样意义，所以将上式中m
再替换成n
，有
an
xn+1
=
am-1xm
=
an-1xnn=0m=1
n=1这样就得到下面的无穷级数所组成的方程2a2
+
an+2
.
(n
+
2)(n
+
1)xn
=
an-1xn
(5)n=1
n=1
(n
+
1)(n
+
2)an+2
xn
=
x
an
xn
=
an
xn+1n=0n=0
n=0(4)
58〈
an-11)(n
+
2)
,
(n
=
1,2,
…)0a
=
1
a4
4
.
3
1417
6.76.7.4
.3a
=
a1
10
10.9.7.6.4.3：
1
a3.2
0306.5=
6.5.3.
2a9
.
8
.
6
.
5
.
3
.
2：a
=
0a
=
a2
=
0
5
5.4a
=
a5
=
0
8
7.
8：根据上面的递推结果，得到下面的通项公式：比较式(5)后，可以得到递推公式由上式推出下面的结果：a
=a
=a
=例
5.1(6)a
=
=
0
a
aa
a592936式(7)、(8)和(9)代入式(2)，得到Airy方程的通解是y0
=
a0
1+
3n
.(3n
1)
…3
.
2
+
a1
x
+
(3n
+
1)x
(
)
…4
.
3
(10)上式包含了两个任意常数a0
和a1
，这与二阶齐次线性微分方程的通解要求是吻合的，它可以由初始条件定出。3n3nn+1-x3a
=0aa3n
=
(3n)(3n
-1)(3n
-3)…
6.5.3.2aa3n+1
=
(3n
+1)(3n)(3n
-2)…7.6.4.3(7)(8)(9)例
5.13n+26001例
5.1若设置了初始条件为y(0)和y,(0)，易得到Airy方程的解是y
=
y
(0)
1
+
3n
.
(3n
1)
…
3
.
2
+
y,(0)
x
+
(3n
+
1)x
(
)…
4
.
3
用幂级数求解一个方程不是一件容易的事，解法的主要困难之处是在于求递推公式。一般，若递推公式有三项或者三项以上时，就很难写出an
的递推公式的一般表达式。3n3n-x3返回61例
5.2例5.2求解二阶变系数微分方程y，，+cosxy
=0。解由于cos
x
是解析函数，方程可以用幂级数方法求解。为了便于用待定系数法，把cos
x
也展开成无穷级数代入，设y
=xan
xn
，则有n=0n(n
一
1)an
xn一2
+
(一
1)
(
n!)
.
an
xn
=
0上式展开后为2a2
+a0
+(6a3
+a1
)x+(|12a4
+a2
一
1a0
)|x2
+|(20a5
+a3
一
1a1
)|x3
+
…=
0nnnnnnnnnnn2n2n2nn2x\2
)\
2
)62w例
5.2根据待定系数法可以得到方程组如下a
+2a
=013024135上面表达式中a0
和a1
是两个常数。根据定理5.1知，由于方程没有奇点，所以方程解的收敛区间是(-w,+w)。：这是一个无穷元的方程组，没有办法全解出来，前面几项是y(x)
=
a0
1
-
x2
+
x4
+
…))|
+
a1
x
-
x3
+
x4
-
…))|2-
1
a
+a
+20a
=0-
1
a
+a
+12a
=002a
+6a
=0返回632解根据定理5.1，给定方程有奇点x
=土1，所以方程有以0为中心，至少在x<1上收敛的幂级数解。设y
=xan
xn
，则有n=0(x2
-
1)n(n
-
1)an
xn-2
+
x
nan
xn-1
-
an
xn
=
0n=2
n=1n=0
n(n
-
1)an
xn
-
n(n
-
1)an
xn-2
+
nan
xn
-
an
xn
=
0
(3)n=2
n=2n=1n=0xwxwxwxwxwxwxw例5.3下列方程的初值问题((x2
-1)y，，+xy，-y
=0〈ly(0)=1,y，(0)=2(1)(2)例
5.364w例
5.3令m
=n
_2，则有
n(n
_1)an
xn_2
=(m
+2)(m
+1)am+2
xm
=(n
+1)(n
+2)an+2
xn
(4)
n=2
m=0n=0式(4)代入(3)中，有_2a2
_a0
_6a3x
+[n(n
_1)an
_(n
+1)(n
+2)an+2
+nan
_an
]xn
=0
n=2于是有
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