浙江省G5联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷

2024学年第一学期浙江G5联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A.0 B. C. D.不存在2.已知直线：，：，若，则（）A. B. C.4 D.13.曲线：，则“”是“曲线表示双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若，为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则与相交C.若，，则 D.若，，则5.把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（）A.1 B. C.2 D.6.已知，均为正实数，，则的最大值为（）A. B. C. D.7.曲线与在内有3个交点，则可能的值为（）A.4 B.3 C.2 D.18.已知抛物线：（）的焦点到的距离为1，是抛物线上的动点，到的距离与之和的最小值为1，则点的轨迹围成的面积是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，（，），且，则以下四个命题正确的是（）A. B.为纯虚数C.为纯虚数 D.为虚数10.已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为，直线与双曲线交于、两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.11.已知正方体的棱长为1，，是棱、的中点，动点满足，其中，，，则下列命题正确的是（）A.若，，则面 B.若，则与所成角的取值范围为C.若面，则 D.若，则非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在G5联盟考试成绩中，从某班随机抽取8名同学的数学成绩，分数从低到高为：70，77，90，101，115，119，138，149，则第70百分位数为______.13.已知椭圆（）的左焦点为，直线与椭圆交于点、，的周长最大值为，则椭圆离心率的最大值为______.14.已知正四面体的棱长为6，是棱的中点，是棱上一动点，若在上，使得与平面所成的角为，则线段的长度的最小值是______.四、解答题：（共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15.在中，内角，，的对边分别为，，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）已知，，求.16.已知为坐标原点，直线过定点，设圆的半径为2，圆心在直线：上.（Ⅰ）若圆心也在直线上，求过点与圆相切的直线方程；（Ⅱ）若圆上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围.17.如图，等腰直角三角形中，，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，二面角是直二面角，求平面与平面夹角的余弦值；（Ⅲ）当时，是否存在这样的点，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.18.已知为坐标原点，椭圆：（）的左焦点为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于、两点，且、在轴的同侧.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）为的重心，直线、分别交轴于、两点，记和的面积分别为，，求的取值范围.19.若存在满足，且，则称为函数的次不动点.已知函数，为常数且.（Ⅰ）当时，判断是否为函数的次不动点，并说明理由；（Ⅱ）已知有两个次不动点，，①求的取值范围；②若对任意，且，，，，求的面积的取值范围.

2024学年第一学期浙江G5联盟期中联考高二年级数学学科答案命题人：丽水中学卢巧梅，赵凯菲湖州中学沈潮海一、选择题：题号1234567891011答案BCAADBBAABABDC（第11题有选C则得6分，未选C则得0分!）三、填空题：12.11913.14.四、解答题：（共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15.【解析】（Ⅰ），即，即，由得：，∴，∴.∵，∴.（Ⅱ）.∵，①∴②.由①②得：或.13分16.【解析】（Ⅰ）由题可知.由得圆心，∵圆的半径为2，∴圆的方程为：，当直线斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相切，符合题意：当直线斜率存在时，设所求圆的切线方程为.∴，∴∴切线方程为.综上所述，所求圆的切线方程为或.（Ⅱ）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，则圆的方程为.又∵，∴设为，则，设为圆.所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，∴，∴由，得，由，得.综上所述，的取值范围为.17.【详解】（Ⅰ），，∴，即，，又∵，，平面，∴平面，又∵平面，∴.（Ⅱ）因为二面角是直二面角，所以平面平面，平面平面，，平面，平面，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，，，，，，，.易得平面法向量为，设平面法向量为，令，得，，所以，平面与平面夹角为.（Ⅲ）分别以、所在直线分别为轴轴，过做的垂线为轴，如图所示建立空间直角坐标系，令，则，，，，.设平面的法向量为，，化简得，所以，所以存.18.【解析】（1）∵，∴.又∵，∴，.∴椭圆的标准方程为：.（2）设直线的方程：（），，，由得：，则，，.∵的重心在轴，∴，且.∴..∵且，∴，∴.19.【解析】（Ⅰ）当时，.因为，但，所以不是函数的次不动点.（Ⅱ）①当时，有所以只有一个解，又，故0不是次不动点.当时，