第15讲解三角形中角平分线中线内切外接圆问题

第15讲解三角形中角平分线中线内切外接圆问题【考点分析】考点一：角平分线相关的定理遇到角平分线问题一般有两种思路：思路一：角平分线定理：思路二：等面积法：考点二：有关三角形中线问题遇到角平分线问题一般有两种思路：思路一：中线倍长法：延长中线，构造平行四边形思路二：利用平面向量：上图中若为的中点，则，两边平方即得考点三：有关三角形外接圆内切圆问题三角形外接圆：利用正弦定理（其中为三角形内切圆的半径）三角形面积和内切圆半径的关系：（其中为三角形内切圆的半径）【题型目录】题型一：角平分线相关的定理及应用题型二：有关三角形中线问题题型三：有关外接圆，内切圆问题（正弦定理，等面积法）【典型例题】题型一：角平分线相关的定理及应用【例1】（多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（

）A． B．的最小值是2C．的最小值是 D．的面积最小值是【答案】ABD【分析】由三角形面积公式寻找，关系，再利用基本不等式判断．【详解】解：由题意得：，由角平分线以及面积公式得，化简得，所以，故A正确；，当且仅当时取等号，，，所以，当且仅当时取等号，故D正确；由余弦定理所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确；对于选项：由得：，，当且仅当，即时取等号，故C错误；故选：ABD．【例2】在中，内角A的平分线与边BC交于点D且，，若的面积，则AD的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形的面积公式建立方程，求出，再由三角形面积范围求出角A的范围，利用三角函数即可求解.【详解】，，，，即，即，解得，又因为，所以，即，，，故选：D【例3】中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．【详解】（1），，∵，，∴．由正弦定理可知.（2）∵，，∴．设，则，在△与△中，由余弦定理可知，，，∵，∴，∴，解得，即．【例4】在中，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为．解析：由题意知，所以，即即，所以，所以【题型专练】1．在中，角所对的边分别为的平分线交于点，且，则满足的方程关系为__________；的最小值为_______.【答案】

a＋c＝ac

9【分析】空1：根据面积关系，结合三角形面积公式化简整理即可；空2：由可得，利用“乘1法”结合基本不等式运算求解.【详解】空1：∵，则即，整理得空2：∵，则，当且仅当时等号成立∴的是小值为9故答案为：；9.【点睛】利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.2.在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，，则的最小值为．解析：，所以，即，即，所以，所以3．在平面四边形中，，，，，.(1)证明：平分；(2)求的面积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据余弦定理及三角函数，再结合角平分线的定义即可证明；（2）利用三角函数及二倍角的正弦公式，再结合三角形的面积公式即可求解.（1）在中，由余弦定理及已知，得，即.在中，，所以，在中，由余弦定理得所以，所以.故平分.（2）由（1）知，,.在中，.，所以的面积为.所以的面积为.4.△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.（Ⅱ）因为所以由（I）知,所以题型二：有关三角形中线问题遇到角平分线问题一般有两种思路：思路一：中线倍长法思路二：利用平面向量【例1】在中，，，边上的中线，则面积S为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出辅助线，利用余弦定理求出∠ACE的余弦值，进而求出正弦值，利用面积公式求出答案.【详解】延长AD到点E使DE=AD，连接CE，则因为边上的中线，所以△ABD≌△ECD所以，，面积等于的面积在三角形ACE中，由余弦定理得：，则所以故选：C【例2】中，内角，，的对边分别为，，，．(1)求角的大小；(2)若，，为边上的中点，求的长．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据余弦定理，结合完全和公式进行求解即可；（2）根据余弦定理进行求解即可.(1)，因为，所以；(2)因为，，，所以有，（舍去），，解得：.【例3】锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(1)求角C的大小；(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）结合同角三角函数基本关系以及正弦定理化简求解，因为，所以；（2）由余弦定理与正弦定理，然后结合三角函数性质求解其取值范围即可.(1)因为，所以，即，又因，所以又由题意可知，所以，因为，所以.(2)由余弦定理可得，又，则，由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得，解得，则，所以所以所以所以中线CD长的取值范围为【题型专练】1.在中，分别是内角所对的边，且满足，（1）求角的值；（2）若，AC边上的中线，求的面积.【详解】（1）,..所以,（2）解法一：中线倍长法：延长BD到E，使BD=DE，易知四边形AECD为平行四边形，在中，EC=2，BE=2BD=,因为，所以，由余弦定理，即，，解得，所以解法二：，所以，即即，即，，解得，所以2.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求角A；(2)若是的中线，且，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据已知条件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化边及余弦定理，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解；（2）根据已知条件及中线的向量的线性表示，再利用向量的数量积极及基本不等式即可求解.(1)由及二倍角的余弦公式，得，即，于是有，及正弦定理，得，由余弦定理，得，.(2)因为是的中线，所以，两边平方，得,由（1）知，，，所以，所以即，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.题型三：有关外接圆，内切圆问题（正弦定理，等面积法）【例1】在中，角所对的边分别为，，，则外接圆的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知等式配凑出余弦定理的形式，可求得，进而得到，利用正弦定理可求得外接圆半径，由此可求得外接圆面积.【详解】，，即，，又，，设外接圆半径为，则，，外接圆的面积.故选：A.【例2】在中,角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用三角恒等变形化简，并利用同角三角函数公式求得，并利用正弦定理求外接圆半径，即可求得三角形的面积.【详解】由正弦定理可知,,即，因为,，，根据正弦定理可知，得，则的外接圆面积.故选：D【例3】在中，内角的对边分别为为锐角，若，且，则（

）A．B．C．的外接圆的半径为4D．的外接圆的半径为【答案】BC【分析】由正弦定理采用边角互化得，又由为锐角得，再由面积公式可得，由余弦定理求出的值，从而判断A，B的正误；再由正弦定理求出的外接圆的半径，从而判断C，D的正误.【详解】解：因为，由正弦定理可得，所以，又因为为锐角，所以，又因为，所以，所以，又因为，由余弦定理可得：，所以，故A错误，B正确；由正弦定理可得，故C正确，D错误.故选：BC.【例4】已知中，，，，O为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则下列叙述错误的是（

）A．外接圆半径为 B．内切圆半径为C． D．【答案】D【分析】对A，由余弦定理求得，即可得出，再由正弦定理即可求出；对B，利用三角形面积关系可求出；对C，由可求出；对D，由可求出.【详解】在中，，所以，设外接圆半径为，则，则，故A正确；设内切圆半径为，则，解得，故B正确；因为，，所以，故C正确；设内切圆与三角形分别切于，则设，，解得，所以，则，，所以，故D错误.故选：D.【例5】在▵ABC中，sinC2=55，BC=1A.AB=25 B.C.▵ABC外接圆直径是552 D.▵ABC【答案】ACD【解答】解：∵sinC2又BC=1，AC=5，∴由余弦定理，AB2=AC2∵cosC=35且C为三角形内角，∴sinC=1−cos2C=45，所以△ABC即△ABC外接圆的直径为552，故如图，设△ABC内切圆圆心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，因为内切圆与边AB，BC，AC相切，故设切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG，可知：OE=OF=OG=r，且OE⊥AB，OF⊥BC，，根据题意：S△ABC利用等面积可得：S△AOC即：12∴r=4AB+AC+BC=故选ACD．

【题型专练】1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且的外接圆面积为，则的面积为（

）A．24 B．25 C．27 D．28【答案】D【分析】根的外接圆面积为可得的外接圆半径，再根据，结合正弦定理化简可得，再根据面积公式求解即可.【详解】易知的外接圆半径.由可得，所以，，由，结合正弦定理可得，所以.故选：D2．设的内角所对的边分别为，，且，则的外接圆的周长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形内角和和两角和与差的余弦公式化简题中的等量关系，根据bc的乘积正弦定理求解三角形的外接圆的半径，从而得到三角形外接圆的周长.【详解】由得,即，所以，又因为，结合正弦定理（其中R为△ABC的外接圆的半径）得，解得，则△的外接圆的周长为.故选：B.3.三角形有一个角是，夹在这个角的两边长分别为8和5，则(

)A.三角形另一边长为6 B.三角形的周长为20C.三角形内切圆面积为3π D.三角形外接圆周长为7【答案】BC【解答】解：因为三角形有一个角是，夹在这个角的两边长分别为8和5，A.由余弦定理得：三角形另一边长为82+5B.三角形的周长为8+5+7=20，故B正确；C.设三角形内切圆的半径为r，由面积法得到：12×8×5×sin所以内切圆的面积为，故C正确；D.设三角形外接圆的半径为R，则由正弦定理得到7sin解得R=733，所以三角形外接圆周长为，故故选BC．

4．在中，，则下列结论正确的是（

）A．外接圆的面积为 B．若，则C．的面积有最大值 D．当时，有一解【答案】AC【分析】由正弦定理可判断AB，由余弦定理和基本不等式可判断C，由方程的解的情况可判断D.【详解】由可知，由正弦定理得：，所以，所以外接圆的面积，A正确；若，由正弦定理得：，解得：，所以或（均符合题意），B错误；由得，解得：，当且仅当时取等号，所以，C正确；得，，此方程有唯一正解等价于或，又，解得：或，D错误.故选：AC5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（

）A．外接圆的半径为 B．外接圆的半径为3C． D．【答案】AC【分析】由的值，求出，由正弦定理可判断A，B；由正弦定理求出，再由两角和的余弦公式求出，则，则可判断C，D.【详解】因为，A为三角形内角，所以.设外接圆的半径为R，则，所以外接圆的半径为.由.得.因为，所以.因为，所以，所以，则.故选：AC.6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.其面积为，周长为.若，且，则（

）A． B．的最大值为C．的外接圆半径为 D．的最小值为6【答案】BC【分析】由已知式子利用正弦定理结合二倍角公式化简可求出角，再利用正弦定理可求出的外接圆半径，利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，利用正弦定理结果三角函数恒等变换公式可求出的范围【详解】因为，所以由正弦定理得，因为，所以,所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以A错误，设的外接圆半径为，则由正弦定理得，，得，所以C正确，由余弦定理得，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为4，所以的最大值为，所以B正确，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以周长的最大值为6，无最小值，所以D错误，故选：BC7．在中，角A，B，C