期末专题02平面向量大题综合

期末专题02平面向量大题综合1．（2022春·四川成都·高一统考期末）已知，是夹角为的单位向量，设．(1)求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平面向量的数量积计算即可.（2）根据向量的模长公式计算，在求的最小值.【详解】（1）由向量，是夹角为的单位向量，可得．

且．（2），

，．

当且仅当时等号成立，的最小值为．2．（2022春·四川遂宁·高一遂宁中学统考期末）已知，，．(1)当时，求的值；(2)若，求实数的值．【答案】(1)9(2)【分析】（1）利用平面向量的运算法则和数量积运算法则进行计算；（2）由向量垂直得到等量关系，求出实数的值.(1)当时，，故，(2)，，因为，所以，解得：.所以实数的值为.3．（2022春·四川乐山·高一统考期末）已知O为坐标原点，．(1)若，求x的值；(2)若A、B、C三点共线，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，由向量垂直得到方程，求出；（2）求出，由向量平行得到方程，求出x的值.【详解】（1）∵∴，解得：（2）由（1）可知∵A、B、C三点共线，∴与共线，即，解得：4．（2022春·四川宜宾·高一统考期末）已知向量，．(1)设向量，若，求实数a的值；(2)设向量，若，的夹角为锐角，求实数a的取值范围．【答案】(1)或；(2)且．【分析】（1）由向量垂直的坐标表示求解；（2）由，数量积大于0，然后去除共线的情形即得．【详解】（1）∵，∴，解得或；（2），的夹角为锐角，则，且两向量不共线，所以，又两向量共线时，时，，所以，综上，的范围是且．5．（2022春·四川成都·高一统考期末）已知，是夹角为60°的单位向量，设.(1)求；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据数量积定义直接计算可得；（2）利用性质，将所求问题转化为关于t的二次函数最值问题.(1)由向量，为夹角为60°的单位向量，可得，.所以.(2)∵，∴，∴.当且仅当时等号成立，∴的最小值为.6．（2022春·四川凉山·高一统考期末）已知向量，是单位向量，．(1)求与的夹角；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据数量积的运算求夹角（2）平方法计算得解.【详解】（1）由得：，因为是单位向量，所以，故：与的夹角为（或）．（2）由，得：7．（2022春·四川成都·高一统考期末）已知向量，，与垂直.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得；（2）首先求出、，再根据夹角公式计算可得.（1）解：因为，且与垂直，所以，即，即，解得.（2）解：，，设向量与的夹角为，所以.8．（2021春·四川成都·高一统考期末）如图，在中，已知，D为线段中点，E为线段中点．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，利用数量积运算求解；（2）利用平面向量的加法、减法和数乘运算得到，利用数量积运算求解；【详解】（1）因为，D为线段中点，所以，，.（2）因为E为线段中点．所以，，,，所以，，.9．（2021春·四川凉山·高一统考期末）设，是两个相互垂直的单位向量，且，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据平面向量共线定理建立关系可求解；（2）利用向量垂直可得，即可求出.【详解】解：（1）若，且，则存在唯一实数，使，即，∵不共线，∴，∴；（2）若，则，即，即，∵是两个相互垂直的单位向量，则，∴.10．（2021春·四川成都·高一统考期末）如图，在中，已知点，分别在边，上，且，．(1)用向量，表示；(2)设，，，求角的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）结合平面向量的线性运算来求得正确答案.（2）利用平方的方法来求得的大小.(1).(2)由两边平方得：，，，，由于，所以.11．（2021春·四川成都·高一统考期末）在平面直角坐标系中，(1)求；(2)，当时，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量夹角的坐标公式求解即可；（2）根据垂直的坐标公式，结合平面向量的线性运算求解即可(1)由题意，，，故(2)，又，故，即，解得12．（2021春·四川乐山·高一统考期末）已知，，，，且.(1)求的值；(2)求向量与向量夹角的余弦.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意求出的坐标，由向量平行的判断方法可得关于的方程，即可得到结果；（2）设与的夹角为，由向量夹角公式计算即可得到结果.【详解】（1）根据题意，，，，，则，因为，则有，解得（2）由（1）可知，设与的夹角为，则13．（2022秋·四川泸州·高一统考期末）如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，.(1)用向量，表示；(2)设向量，，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据，结合向量的线性运算，再用，表达即可；（2）用，表达，结合三点共线即可求得.【详解】（1）∵为中线上一点，且，∴；（2）∵，，，∴，又，，三点共线，∴，解得，故的值为.14．（2022春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知向量，，.(1)若，求的值；(2)若，求与的夹角.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先求出，再由向量共线的坐标公式求解即可；（2）先求出，由向量垂直的坐标公式求出，再由夹角公式求出与的夹角即可.（1）易得，又，则，解得；（2）易得，又，则，解得，即，则，又，故与的夹角为.15．（2022春·四川宜宾·高一四川省高县中学校校考期末）已知平面上三个向量，，其中(1)若且，求的坐标；(2)若，且，求与的夹角的余弦值.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）利用向量共线的坐标表示及向量的模长公式即得；（2）由题可得，然后利用向量夹角公式即得.(1)因为，所以设，则，解得，所以或.(2)因为，，所以，∴，∴.16．（2022春·四川遂宁·高一遂宁中学校考期末）已知向量与的夹角为，且，．(1)求，；(2)若与共线，求k.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用向量数量积的定义和模的计算公式直接求解.（2）利用共线向量定理表示出向量之间的关系，再列方程求解.【详解】（1），．（2）若与共线，则存在，使得即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以．17．（2022春·四川南充·高一统考期末）已知非零向量与不共线，，，．(1)若，求λ、μ的值；(2)若A、B、C三点共线，求λ、μ应满足的关系式．【答案】(1)λ＝2，μ＝3(2)λ＋u＝1【分析】（1）利用已知条件代入化简,得到，则2－λ＝0，3－μ＝0，从而求出λ、μ的值（2）三点共线转化为向量共线，即，然后将等式转化为，则解方程即可求出答案.【详解】（1）∵，∴，∴，因为，不共线，∴2－λ＝0，3－μ＝0∴λ＝2，μ＝3；（2）∵A、B、C三点共线，且，∴存在唯一实数m使，∴即，∵与不共线，∴，消m得λ＋u＝1．18．（2022春·四川雅安·高一统考期末）已知非零向量，夹角为，且．(1)当时，求；(2)若，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量数量积运算公式和夹角余弦公式进行求解；（2）根据向量垂直得到，再求出，进而求出(1)当时，，所以，∵，∴；(2)∵，∴，即∴，∵，∴∴19．（2022春·四川成都·高一统考期末）已知平面四边形中，，向量的夹角为.(1)求证：；(2)点是线段中点，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）画出示意图，根据边的关系可得，因而．（2）以B为原点建立平面直角坐标系，写出各个点坐标，进而根据平面向量数量积的坐标运算即可求出结果．【详解】（1）根据题意，画出示意图如下图所示由题意可知，，所以三角形ABD为等边三角形，则，又，所以，即为直角三角形，且，所以，所以；（2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，因为点是线段中点，所以，则，所以，20．（2022春·四川成都·高一统考期末）已知向量，，，且，．(1)求向量、；(2)若，，求向量，的夹角的大小.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；（2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求．【详解】（1）解：因为，，，且，，所以，，所以，，所以，；（2）解：设向量，的夹角的大小为．由题意可得，，，所以，因为，所以．21．（2022春·四川成都·高一统考期末）已知，是夹角为60°的单位向量，设．(1)若，且，求的值；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题知，再根据，结合向量数量积的运算律求解即可；（2）根据向量模的计算公式得，再结合二次式求最值即可.【详解】（1）解：由向量，是夹角为60°的单位向量，可得，．所以，．因为，所以，即，解得．所以（2）解：∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最小值为22．（2022春·四川成都·高一统考期末）已知，是夹角为的单位向量，设．(1)若，且，求的值；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据垂直向量数量积为0，结合数量积的公式求解即可；（2）将两边平方，根据二次函数的最值求解即可(1)由向量，是夹角为的单位向量，可得．

且．由，可得，即，解得．(2)，

，．当且仅当时等号成立，的最小值为．23．（2021春·四川成都·高一统考期末）如图,在中，已知点分别在边上，且，.（1）用向量、表示；（2）设,,,求线段的长.【答案】（1）;（2）.

【详解】试题分析:（1）现将转换为，然后利用题目给定的比例，将其转化为以为起点的向量的形式.（2）由（1）将向量两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得.试题解析：（1）由题意可得：

（2）由可得：.故.

24．（2021春·四川雅安·高一统考期末）设两个向量，，满足，.（1）若，求，的夹角；（2）若，夹角为60°，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由平面向量数量积的运算律计算求得，再由数量积的定义求得夹角；（2）由去除它们反向的情形即可得．【详解】（1），，即，，所以（2），且与不共线，，，且25．（2021春·四川自贡·高一统考期末）已知，，，为坐标原点．（1），求的值；（2）若，且，求与的夹角．【答案】（1）0；（2）．【分析】（1）由数量积的坐标表示计算，平方后利用正弦的二倍角公式可得；（2）由向量模的坐标表示计算出后由向量夹角公式计算可得．【详解】（1），所以，平方得，．（2），，又，所以，，，而，所以．即与的夹角为．26．（2022春·四川自贡·高一统考期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上.（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用向量的线性运算得到，再表示出，求出，最后求出；（2）建立直角坐标系，利用向量的坐标运算得到，再利用二次函数求出函数的最值即可得解.【详解】（1）因为E是BC边的中点，点F是CD上靠近C的三等分点，所以，在矩形ABCD中，，，，即，则（2）以AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则，，设，；，；的取值范围为：.【点睛】点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．27．（2022春·四川绵阳·高一统考期末）已知平面向量满足，且．(1)求与的夹角；(2)求向量在向量上的投影．【答案】(1)(2)【分析】（1）将两边平方，求出，再根据数量积得定义即可得解；（2）根据数量积的运算律求出，再根据向量在向量上的投影为即可得解.【详解】（1）解：∵，∴，即，又，∴，∴，又向量夹角范围是，∴与的夹角为；（2）解：∵，∴向量在向量上的投影为．．28．（2022春·四川甘孜·高一统考期末）已知向量​.(1)当​时，求向量​与​的夹角;(2)求​的最大值.【答案】(1)(2)4【分析】（1）求出两向量的数量积，再根据​即可得解；（2）求出坐标，再根据向量的模的坐标表示结合辅助角公式及三角函数的性质即可得出答案.【详解】（1）解：当​时，​，​，设​与​的夹角为​，则​，而​，，即​与​的夹角为​；（2）解：​，​，​当时，取等号，​的最大值为​.29．（2022春·四川成都·高一成都七中校考期末）在平面直角坐标系中，平面向量，，的夹角为．(1)求；(2)若，求在方向上的投影的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用转化法，即可求模.(2)根据投影公式即可求解.（1）．所以．（2）．30．（2022春·四川成都·