高一复数重难点提高卷

高一复数重难点提高卷第I卷（选择题）选择题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】利用二次方程的韦达定理及完全平方公式即可得解.【详解】因为方程有两个虚根和，所以，则，又由求根公式知两虚根为，，所以，则，解得，满足要求，所以.故选：C.2．已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先由模等于1得，则点为圆上的点,再结合的几何意义即可求出最值.【详解】若,即,点为圆上的点,，则其几何意义为圆上的点到点之间的距离,则的最大值为故选：C.3．欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（

）A．=0 B．为实数C． D．复数对应的点位于第三象限【答案】C【分析】根据所给定义及特殊角的三角函数值判断A、B，根据复数模的性质计算判断C，根据复数的几何意义判断D.【详解】解：对于A：，故A错误；对于B：，所以为纯虚数，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，则复数在复平面内对应的点为，因为，所以，，所以点位于第二象限，即复数对应的点位于第二象限，故D错误；故选：C4．设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合，再把选项中的值分别代入计算得到集合，一一判断即可求解.【详解】由，得，即，故，0，1，2，4，5，因此集合.当时，同理得，此时不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，同理可知，时，也不满足题意，故ACD错；当时，得：，当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，故B正确.故选B.5．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（

）个.A．9 B．10 C．11 D．无数【答案】C【分析】先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.【详解】，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.故选：C6．已知复数，和满足，若，则的最大值为（

）A． B．3 C． D．1【答案】B【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值.【详解】根据题意，得，当，，时，，此时，所以.故选：B.7．已知复数z满足，则中不同的数有（

）A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确【答案】B【分析】根据复数的三角形式可求，从而可判断出不同的数的个数.【详解】根据题意，有，于是中有6个不同的数．故选：B.8．设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（

）A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根B．可能方程有四个实数根的解C．可能有两个实数根，两个纯虚数根D．可能方程没有纯虚数根的解【答案】A【分析】根据给定条件，设，再利用方程根的意义结合复数相等，推理计算判断作答.【详解】，，关于的方程有纯虚数根，设纯虚数根为，则有，即，即有，，，方程化为，方程有两个纯虚数根为，方程化为：，整理得，于是得或，因此方程有两个纯虚数根，而方程中，，因此方程无实数根，有两个虚数根，不是纯虚数根，所以选项A正确，选项B，C，D均不正确.故选：A【点睛】思路点睛：复数问题，常设出复数的代数形式，再利用复数及相关运算，探讨关系式求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列命题中正确的是（

）A．若复数满足，则 B．若复数满足，则C．若复数满足，则 D．若复数满足，则【答案】ACD【分析】利用复数分类可判断AB；利用，分、讨论可判断C；利用复数的分类可判断D.【详解】设复数，是虚单位.对于A，由得，则，所以A正确；对于B，取，可得，所以B不正确；对于C，由，故ab=0,若则，，所以若，则，所以C正确；对于D，因为，由得，，所以D正确.故选：ACD.10．下列命题为真命题的是（

）A．复数的虚部为B．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限C．若i为虚数单位，n为正整数，则D．复数z是方程的一个根，则【答案】ACD【分析】求得复数的虚部判断选项A；求得复数的共轭复数对应的点所在象限判断选项B；求得的值判断选项C；求得复数z的模的值判断选项D.【详解】选项A：复数的虚部为.判断正确；选项B：在复平面内，复数的共轭复数为，对应的点的坐标为，位于第二象限.判断错误；选项C：.判断正确；选项D：复数z是方程的一个根，则，或，则.判断正确.故选：ACD11．已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．若，则【答案】ACD【分析】在复数范围内解方程得，然后根据复数的概念、运算判断各选项．【详解】，∴，不妨设，，，A正确；，C正确；，∴，时，，B错；时，，，计算得，，，同理，D正确．故选：ACD．12．已知方程，则下列说法正确的是（

）A．若方程有一根为0，则且B．方程可能有两个实数根C．时，方程可能有纯虚数根D．若方程存在实数根，则或【答案】AD【分析】将方程进行等价变形为，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当且时，无纯虚根判断C.【详解】解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有，则有，，即且，故A正确；B选项：方程可变形为：，即，则，只有一解，故B错误；C选项：当且时，方程仅存在一解，此时无纯虚根，故C错误；D选项：若方程存在实数根，则，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正确故选：AD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．所有的三次方根为______．【答案】【分析】设的三次方根为，然后展开计算，再根据复数相等列方程求解即可.【详解】设的三次方根为，则，，，解得或或即所有的三次方根为故答案为：.14．设关于x的实系数方程的两个虚根为、，则______．【答案】【分析】结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解.【详解】由题可知，，设，a，b∈R，则，则．故答案为：15．已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________．【答案】或【分析】设方程的两根分别为，，用表示出，利用韦达定理求得或，分情况结合两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，求得的值.【详解】解：方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，设方程的两根分别为，，则，得，，则，则，则或当时，，，设在复平面上对应的点为，则，设在复平面上对应的点为，则，则，得，则，当时，，，，此时，即，即，∴，故答案为：或.16．为求方程的虚根，可把原式变形为，由此可得原方程的一个虚根的实部为______________.【答案】或【分析】由，对比系数得，解出即可得出．【详解】，对比系数得，解得，或，所以原方程的虚根为，故原方程的一个虚根的实部为，或．故答案为：或．四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知复数、对应的向量为.(1)若向量，且，.求对应的复数;(2)容易证明:，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设，求的值.【答案】(1)或(2)，证明见解析(3)【分析】（1）由向量垂直和向量的模相等用坐标表示列方程组计算即可；（2）直接通过计算证明即可；（3）将复数、设为代数形式表示，由已知条件列方程组解出所需式子的值并代入即可.【详解】（1）设，，则因为，所以①又，所以②联立①②得或，即或.（2），证明如下：（3）设，由题可得，，，.所以①，②①②得所以.设，则，又，所以，.即.所以.18．已知关于x的方程的两个虚数根为．(1)若，求的取值范围；(2)若，求实数a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意复数互为共轭复数，由复数的运算可得，根据判别式得出的范围，从而得出答案；（2）将平方，将韦达定理代入，结合判别式得出的范围，可得答案.【详解】（1）因为关于x的方程的两个虚数根为，，则，，，且复数互为共轭复数，即，若，，因为，所以，所以的取值范围是；（2），因为，所以，所以.19．（1）已知关于的实系数方程，若是方程的一个复数根，求出，的值；（2）已知，，均为实数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）把代入方程即可求解；（2）设，计算出，均为实数，即虚部为0，求出x,y的值，，根据所在象限列不等式组得解.【详解】（1）由题得，解得（2）设，为实数，.为实数，，.，由已知得解得，即的取值范围是.【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于根据复数的运算法则准确计算求解.20．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．（1）设，，求复向量，的模；（2）设、是两个复向量，证明柯西一布涅科夫斯基不等式仍成立，即：；（3）当时，称复向量与平行.设、，若复向量与平行，求复数的值．【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）．【分析】(1)根据题意，直接求解即可；(2)根据题意，结合三角不等式，即可求解；(3)根据题意，结合(2)中等号成立的条件，即可求解.【详解】(1)，所以，，所以；(2)，，所以，根据复数的三角不等式，由，得，所以，综上所述，；(3)考虑(2)中的等号成立条件：对于复数的三角不等式而言，复向量各分量均不为零时，其等号成立条件是存在在非负实数使得，即，另一方面，根据的等号成立条件，应有，即，结合，知，即，也即．21．已知为虚数，若，且.(1)求的实部的取值范围；(2)设，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设复数，根据复数的四则运算化简可得，进而可得的取值范围；（2）根据复数的四则运算，结合基本不等式可得最小值.【详解】（1）设，则，又，则，所以，所以，即，解得；（2），由（1）得，所以，所以，又，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最小值为.2