专题15用样本估计总体

体系搭建体系搭建一、用样本的频率分布估计总体分布1．概念：频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：（1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差（2）决定组距与组数（3）将数据分组（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图2．频率分布直方图的特征：（1）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.（2）从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.注;(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示eq\f(频率,组距)，故每组样本的频率为组距×eq\f(频率,组距)，即矩形的面积．(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数．3．频率分布折线图、总体密度曲线（1）频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.（2）总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，样本容量越大，所分组数越多，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.4．茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.5．茎叶图的特征：(1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是在统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示.(2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.6.总体百分位数的估计（1）第p百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100p）%的数据大于或等于这个值.（2）第p百分位数的计算计算一组n个数据的第p百分位数的步骤:第1步，按从小到大的排列原始数据第2步，计算i=n×p%第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.二、用样本的数字特征估计总体的数字特征1．众数、中位数、平均数①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．③平均数：样本数据的算术平均数，即eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．2．样本方差、标准差标准差s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，eq\x\to(x)是平均数．标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．例题分析例题分析考点1频率分布直方图【例1】（多选）．某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学生有60人，则下列说法正确的是（）A．样本中支出在[50，60]内的频率为0.03 B．样本中支出不少于40元的人数为132 C．n的值为200 D．若该校有2000名学生，则约有600人支出在[50，60]内解：对于A，样本中支出在[50，60]内的频率为：1﹣（0.010+0.024+0.036）×10＝0.3，故A错误；对于B，样本中支出不少于40元的人数为：60+×0.036×10＝132，故B正确；对于C，n＝＝200，故C正确；对于D，若该校有2000名学生，则约有2000×0.3＝600人支出在[50，60]内，故D正确．故选：BCD．变式训练【变11】．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若低于60分的人数是15人，则参加英语测试的学生人数是50．解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P＝（0.005+0.010）×20＝0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是＝50．故答案为：50【变12】．为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为150．解：根据频率分布直方图可知：工厂产量在75件以上的频率为：0.010×10+0.005×10＝0.15，∴估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为1000×0.15＝150．故答案为：150．考点2条形图、扇形图和折线图【例2】．某家庭2019年收入的各种用途占比统计如图①所示，2020年收入的各种用途占比统计如图②所示．已知2020年的“旅行”费用比2019年增加了3500元，则该家庭2020年的“衣食住”费用比2019年增加了（）A．2000元 B．2500元 C．3000元 D．3500元解：设该家庭2019年的收入为x元，2020年的收入为y元，由已知可得；35%y﹣35%＝3500，即y﹣x＝10000，所以2020年的衣食住费用比2019年增加了；25%y﹣25x%＝2500（元），所以B选项正确．故选：B．变式训练【变21】（多选）．如图是2020年2月15日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例的折线统计图．则下列说法正确的是（）A．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B．武汉市在新冠肺炎疫情防控中取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天 D．2020年2月15日到3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人解：对于A，由折线图可知，18日病例1660人，19日615人，大幅下降至三位数，故选项A正确；对于B，由折线图可知，病例人数呈大幅下降趋势，故防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低，故选项B正确；对于C，由折线图可知，病例低于400人的有2月20日、21日、23日、25日、26日、27日、3月1日、2日，共8天，故选项C正确；对于D，由折线图可知，病例最多一天人数1660，比人数最少一天人数111，多了1579人，故选项D错误．故选：ABC．【变22】．某学校某个学期的开支分布的扇形图如图1所示，该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的水、电开支占总开支的百分比为16.25%．解：结合图1和图2可知，该学期的水、电开支占总开支的百分比为＝16.25%．故答案为：16.25%．考点3总体百分位数的估计【例3】．某校年级组长为了解本校高三学生某次考试的数学成绩（单位：分），随机抽取30名学生该次考试的数学成绩如下所示：110144125638912145123749697142115688311613912485981321471281339911710711396141估计该校高三学生该次考试数学成绩的25%分位数为96，50%分位数为115.5．解：把这30名学生的数学成绩按从小到大顺序排列为：63，68，74，83，85，89，96，96，97，98，99，107，110，113，115，116，117，121，123，124，125，128，132，133，139，141，142，144，145，147，25%×30＝7.5，50%×30＝15，∴30名学生一模数学成绩的25%分位数为第8位数96；50%分位数为＝115.5；故答案为：96；115.5．变式训练【变31】．已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；乙组：17，22，32，b，45，47，51，59．若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则a﹣b等于8．解：甲组共10个数据，10×30%＝3，∴第30百分位数为，乙组数据的中位数为，由题意得＝，解得：a﹣b＝8．故答案为：8．【变32】．9月19日，航天科技集团五院发布消息称，近日在法国巴黎召开的第73届国际宇航大会上，我国首次火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合会2022年度世界航天奖．为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m．若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m（1≤m≤10）的值可以是7、8、9、10均可．（写出一个满足条件的m值即可）解：7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，10，则7×0.25＝1.75，故第25百分位数为第二个数即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m，第25百分位数为7，而8×0.25＝2，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以m（1≤m≤10）的值可以是7或8或9或10．故答案为：7、8、9、10均可．考点4平均数、中位数、众数【例4】．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的APP软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图．（1）已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟．现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；（2）试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；（3）如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？解：（1）使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有：100×0.06×10＝6个，分别记为甲、a，b，c，d，e，从中随机抽取3家的情况有20种，分别为：{甲，a，b}，{甲，a，c}，{甲，a，d}，{甲，a，e}，{甲，b，c}，{甲，b．d}，{甲，b，e}，{甲，c，d}，{甲，c，e}，{甲，d，e}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{b，d，e}，{c，d，e}，甲商家被抽到的情况有10种，分别为：{甲，a，b}，{甲，a，c}，{甲，a，d}，{甲，a，e}，{甲，b，c}，{甲，b．d}，{甲，b，e}，{甲，c，d}，{甲，c，e}，{甲，d，e}，∴甲商家被抽到的概率p＝＝．（2）依题意，使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为65，平均数为：15×0.06+25×0.34+35×0.12+45×0.04+55×0.4+65×0.04＝40．（3）使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为：15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02＝35＜40，以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择B款订餐．变式训练【变41】．下面是某实验中学157班第一小组5位同学的立定跳远、跳绳、800米跑的成绩折线图，则这5位同学立定跳远的中位数，跳绳的平均数，800米跑的众数分别是（）A．1.98，131，3.88 B．1.87，130，3.88 C．1.98，130，3.88 D．1.98，130，3.65解：由中图中数据可得立定跳远的数据从小到大排列为：1.75，1.87，1.98，2.05，2.13，所以中位数为1.98；跳绳的平均数为×[（130﹣1）+（130+5）+（130﹣7）+（130+2）+（130+1）]＝×（130×5）＝130；800米跑出现次数最多的数据是3.88，所以众数为3.88．故选：C．【变42】．为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，+∞）性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面有四个推断：①这200名学生阅读量的平均数可能是26本；②这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30，40）内；③这200名学生的初中生阅读量的中位数一定在区间[20，30）内；④这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20，30）内．所有合理推断的序号是②③④．解：在①中，这200名学生阅读量的平均数为：＝[24.5×（7+31+25+30+4）+25.5×（8+29+26+32+8）]＝25.015，所以这200名学生阅读量的平均数不可能是26本，故①错误；在②中，200×75%＝150，阅读量在[0，30）的人数有7+8+31+29+25+26＝126人，在[30，40）的人数有62人，所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30，40）内，故②正确；在③中，设在区间[0，10）内的初中生人数为x，则x∈[0，15]，x∈N*，当x＝0时，初中生总人数为25+36+44+11＝116人，，此时区间[0，20）内有25人，区间[20，30）内有36人，所以中位数在[20，30）内，当x＝15时，初中生总人数为15+25+36+44+11＝131人，，区间[0，20）内有15+25＝40人，区间[20，30）内有36人，所以中位数在[20，30）内，所以当区间[0，10）内人数取是小和最大值时，中位数都在[20，30）内，所在这200名学生的初中生阅读量的中位数一定在区间[20，30）内，故③正确；在④中，设在区间[0，10）内的初中生人数为x，则x∈[0，15]，x∈N*，当x＝0时，初中生总人数为116人，116×25%＝29，此时区间[0，20）有25人，区间[20，30）有36人，所以25%分位数在[20，30）内，当x＝15时，初中生总人数为131人，131×25%＝32.75，区间[0，20）有15+25＝40人，所以25%分位数在[0，20）内，所以这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20，30）内，故④正确．故选：②③④．考点5方差与标准差【例5】．在对某中学高一学生体重的调查中，采取按样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20．你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？若能，则求出，不能，说明理由．解：能由这些数据计算出总样本的平均数和方差，其总样本的平均数为＝51，总样本的方差为×[15+（55﹣51）2]+×[20+（45﹣51）2]＝41．即总样本的平均数和方差分别为51，41．变式训练【变51】．如果数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为82，则5x1+2，5x2+2，…，5xn+2的平均数和方差分别为（）A． B． C． D．解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为82，∴5x1+2，5x2+2，…，5xn+2的平均数为：5+2，5x1+2，5x2+2，…，5xn+2的方差分别S＝25×82．故选：C．【变52】．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表：等待时间/分[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25]频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值＝9.5，病人等待时间方差的估计值s2＝28.5．解：根据题意计算平均数为＝（2.5×4+7.5×8+12.5×5+17.5×2+22.5×1）＝9.5；s2＝[（2.5﹣9.5）2×4+（7.5﹣9.5）2×8+（12.5﹣9.5）2×5+（17.5﹣9.5）2×2+（22.5﹣9.5）2×1]＝28.5，故答案为：9.5，28.5．考点6由频率分布直方图估计总体的特征量【例6】．某校从高一新生开学摸底测试成绩中随机抽取100人的成绩，按成绩分组并得各组频数如下（单位：分）：[40，50），4；[50，60），6；[60，70），20；[70，80），30；[80，90），24；[90，100]，16．成绩分组频数频率频率/组距[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]合计（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计本次考试成绩的中位数（精确到0.1）．解：（1）由题意列出频率分布表如下：成绩分组频数频率频率/组距[40，50）40.040.004[50，60）60.060.006[60，70）200.20.02[70，80）300.30.03[80，90）240.240.024[90，100]160.160.016合计10010.1（2）画出频率分布直方图，如下：（3）由频率分布直方图得：[40，70）的频率为：0.04+0.06+0.2＝0.3，[70，80）的频率为0.3，∴估计本次考试成绩的中位数为：70+≈76.7．变式训练【变61】．某校为了了解学生每天平均课外阅读的时间（单位；分钟），从本校随机抽取了100名学生进行调查，根据收集的数据，得到学生每天课外阅读时间的频率分布直方图，如图所示，若每天课外阅读时间不超过30分钟的有45人．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．解：（Ⅰ）由题意得：，解得a＝0.01，b＝0.03．（Ⅱ）[0，30）的频率为：（0.005+0.01+0.03）×10＝0.45，[30，40）的频率为0.025×10＝0.25，∴中位数为：30+＝32．平均数为：5×0.05+15×0.1+25×0.3+35×0.25+45×0.2+55×0.1＝32.5．【变62】．今年4月的“西安奔驰女车主哭诉维权事件”引起了社会的广泛关注，某汽车4S店为了调研公司的售后服务态度，对5月份到店维修保养的100位客户进行了回访调查，每位客户用10分制对该店的售后服务进行打分．现将打分的情况分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到频率分布直方图如图所示．已知第二组的频数为10．（1）求图中实数a，b的值；（2）求所打分值在[6，10]的客户人数；（3）总公司规定，若4S店的客户回访平均得分低于7分，则将勒令其停业整顿．试用频率分布直方图的组中值对总体平均数进行估计，判断该4S店是否需要停业整顿．解：（1）由题意得：，解得a＝0.05，b＝0.15．（2）所打分值在[6，10]的频率为（0.175+0.15）×2＝0.65，∴所打分值在[6，10]的客户人数为：0.65×100＝65．（3）由题意得该4S店平均分为：1×0.025×2+3×0.05×2+5×0.1×2+7×0.175×2+9×0.15×2＝6.5，∵6.5＜7，∴该4S店需要停业整顿．1．学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（）A．88分 B．86分 C．85分 D．90分解：8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，因为8×75%＝6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即（分）．故选：A．2．在某校的“迎新年”歌咏比赛中，6位评委给某位参赛选手打分，6个分数的平均分为8.5分，方差为0.5，若去掉一个最高分9.5分和一个最低分7.5分，则剩下的4个分数满足（）A．平均分8.8分，方差0.25 B．平均分8.8分，方差0.4 C．平均分8.5分，方差0.25 D．平均分8.5分，方差0.4解：设这6个数分别为7.5，x1，x2，x3，x4，9.5，平均数为，方差为s2，x1，x2，x3，x4，的平均数为，方差为s'2，由题意可知，，所以，即x1+x2+x3+x4＝34，所以，所以，即，所以，所以剩下的4个分数满足平均分85分，方差0.25．故选：C．3．某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示：年龄45403632302928人数2335241下列说法正确的是（）A．29.5是这20人年龄的一个25%分位数 B．29.5是这20人年龄的一个75%分位数 C．36.5是这20人年龄的一个中位数 D．这20人年龄的众数是5解：对选项A：20×25%＝5，25%分位数为，正确；对选项B：20×75%＝15，75%分位数为，错误；对选项C：这20人年龄的中位数是，错误；对选项D：这20人年龄的众数是32，错误．故选：A．4．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1；③均值为3，众数为4；④均值为2，标准差为．A．①③ B．③④ C．②③ D．②④解：任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为2，2，2，3，3，4，6，则满足中位数是3，众数为2，但第7天是6人高于5人，故①错误；任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为0，1，2，4，4，4，6，则满足均值是3，众数为4，但第7天是6人高于5人，故③错误；对于②，将7个数据从小到大排列为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，∴中位数x4＝1，∴均值为，∴x1+x2+x3+x5+x6+x7＜6，又x1，x2，x3，x5，x6，x7是自然数，且0≤x1≤x2≤x3≤1≤x5≤x6≤x7，∴x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7都不超过5，∴②正确；对于④，将7个数据从小到大排列为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，∴均值为，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7＝14，∴方差为，∴，∵x1，x2，x3，x5，x6，x7是自然数，若自然数x大于5，则（x﹣2）2≥16，相互矛盾，∴x1，x2，x3，x5，x6，x7都不超过5，∴④正确．综上所述，正确的为②④．故选：D．5．2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工作赢得了国际社会的一致称赞．经济效益方面，多项收入也创下历届冬奥会新高．某机构对本届冬奥会各项主要收入进行了统计，得到的数据如图所示．已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多24.8亿元，则2022年冬奥会这几项收入总和为（）A．200亿元 B．220亿元 C．160亿元 D．118亿元解：设收入总和为x，则35.4%x﹣（12.2%+10.8%）x＝24.8，解得x＝200，即收入总和为200亿元．故选：A．6．某公司为了解用户对其产品的满意度，从使用该产品的用户中随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图．若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a解：由频率分布直方图可知众数为65，即b＝65，由表可知，组距为10，所以平均数为：45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.2+85×0.1+95×0.1＝67，故c＝67，记中位数为x，则有：10×0.015+10×0.02+（x﹣60）×0.025＝0.5，解得：x＝66，即a＝66，所以b＜a＜c．故选：B．7．如图是国家统计局发布的我国最近10年的人口出生率（单位：‰），根据如图，则（）A．这10年的人口出生率逐年下降 B．这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于45% C．这10年的人口出生率的80%分位数为13.57‰ D．这10年的人口出生率的平均数小于12‰解：对于选项A：这10年的人口出生率有升有降，故选项A错误；对于选项B：这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于50%，故选项B错误；对于选项C：由于10×0.8＝8，则这10年的人口出生率的80%分位数为从小到大第8个和第9个数的平均数，故选项C错误；对于选项D：这10年的人口出生率的平均数为小于12‰，故选项D正确；故选：D．8．已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示，令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（）A． B． C． D．，解：由图可知，，，，，所以，，故选：D．（多选）9．如图所示是根据A，B两个城市2010～2016年GDP数据（单位：百亿元）作出的统计图（称为雷达图），根据图中信息，下列关于A，B两市GDP数据统计结论正确的是（）A．在这七年中，A市GDP每年均高于B市 B．与2010年相比，2016年A市GDP增量高于B市 C．A市这七年GDP的平均值高于B市 D．在这七年中，A，B两市GDP在2013年差距最小解：由图可知：在这七年中，A市GDP每年均高于B市，所以A市这七年GDP的平均值高于B市，则AC正确；2010年时，A市GDP增量小于5，2016年时，A市GDP增量大于5，故B正确；2013年，两市GDP差距为5，而2010年、2011年两市差距明显小于5，故D不正确．故选：ABC．（多选）10．如图为2017—2020年中国短视频用户规模和增长率、2021年用户规模和增长率预测，据图分析，下列结论正确的为（）A．根据预测，2021年中国短视频用户规模将突破8亿人 B．2017—2020年中国短视频用户规模逐年增加，但增长速度变缓 C．2018年中国短视频用户规模比2017年增加了超过两倍 D．2020年中国短视频用户规模与2017年相比较，增长率约为198.3%解：由题图可知2021年中国短视频用户规模预测为8.09亿人，突破8亿人，A正确；由条形图知用户规模逐年增加，由折线统计图知增长率逐年下降，即增长变缓，故B正确；2018年中国短视频用户规模的增长率为107.0%，即2018年中国短视频用户规模比2017年增加了一倍多一点，不足两倍，C错误；2020年中国短视频用户规模与2017年相比较，增长率为×100%≈198.3%，D正确．故选：ABD．（多选）11．有一组样本数据x1，x2，⋯，xn，其样本平均数为．现加入一个新数据xn+1，且xn+1＜，组成新的样本数据x1，x2，⋯，xn，xn+1，与原样本数据相比，新的样本数据可能（）A．平均数不变 B．众数不变 C．极差变小 D．第20百分位数变大解：因为xn+1＜，所以新的样本数据平均数减小，故A错误；加入一个新数据xn+1，则众数仍有可能为原数据的众数，故B正确；若加入一个新数据xn+1不是最大值也不是最小值，则新数据极差等于原数据极差，故C错误；若xn+1为原数据从小到大排列的第20为后的数，因为样本数增加，所以第20百分位数可能后移，则新数据第20百分位数可能变大，故D正确，故选：BD．（多选）12．在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）A．考生竞赛成绩的平均分为72.5分 B．若60分以下视为不及格，则这次知识竞赛的及格率为80% C．分数在区间[60，70）内的频率为0.02 D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间[70，80）应抽取30人解：对选项A：平均成绩为，故A正确；对选项B：及格率为1﹣0.05﹣0.15＝0.8＝80%，故B正确；对选项C：分数在区间[60，70）内的频率为0.02×10＝0.2，故C错误；对选项D：区间[70，80）应抽取200×0.3＝60人，故D错误．故选：AB．13．为了研究某产品的质量，现随机抽取80个进行测试，得到如右图所示的频率分布直方图，则该样本质量的75%分位数为14.5.​解：∵0.06×5＝0.3＜0.75，（0.06+0.10）×5＝0.8＞0.75，∴该样本质量的75%分位数落在区间[10，15）内，设该样本质量的75%分位数为x，则0.3+（x﹣10）×0.1＝0.75，解得x＝14.5．故答案为：14.5．14．某学校为了调查学生生活方面的日支出情况，抽出了一个容量为n的样本，将数据按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成5组，制定成如图所示的频率分布直方图，则a＝0.005．要从日支出在[50，70]的样本中用分层抽样的方法抽取10人，则日支出在[60，70]中被抽取的人数为2．解：，解得a＝0.005，因为[50，60）内和[60，70]内的样本个数比例为0.020：0.005＝4：1，根据分层抽样可知，日支出在[60，70]中被抽取的人数为．故答案为：0.005，2；15．已知样本数据x1，x2，⋯，x2022的平均数与方差分别是m和n，若yi＝﹣xi+2（i＝1，2，⋯，2022），且样本数据的y1，y2，⋯，y2022平均数与方差分别是n和m，则＝4044．解：由题意得，，解得m＝1，n＝1，∴，，．故答案为：4044．16．为了解某企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图．已知该企业男员工占，则下列结论中，正确结论的个数是1．①男、女员工得分在A区间的占比相同；②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数；③得分在C区间的员工最多；④得分在D区间的员工占总人数的20%．解：根据题意，设员工总人数为n个，因为女员工人数为20+60+70+50＝200，所以，解得n＝500，所以男员工人数为500﹣200＝300，对于①，女员工得分在A区间的占比为，男员工得分在A区间的占比为1﹣40%﹣35%﹣15%＝10%，故①正确；对于②，女员工在A区间有20人，B区间有60人，C区间有70人，D区间有50人；男员工在A区间有300×10%＝30人，B区间有300×40%＝120人，C区间有300×35%＝105人，D区间有300×15%＝45人；所以D区间男员工少于女员工，故②错误；对于③，B区间有30+120＝180人，C区间有70+105＝175人，所以B区间人数比C区间多，故③错误；对于④，D区间有50+45＝95人，所以得分在D区间的员工占总人数的，故④错误；综上：①正确，②③④错误，故正确结论的个数是1．故答案为：1．17．2022年，某市教育体育局为了解九年级语文学科教育教学质量，随机抽取100名学生参加某项测试，得到如图所示的测试得分（单位：分）频率分布直方图．（1）根据测试得分频率分布直方图，求a的值；（2）根据测试得分频率分布直方图估计九年级语文平均分；（3）猜测平均数和中位数（不必计算）的大小存在什么关系？简要说明理由．解：（1）（0.003+0.005+a+0.015+0.02）×20＝1，解得a＝0.007．（2）语文平均分的近似值为（0.003×30+0.005×50+0.015×70+0.02×90+0.007×110）×20＝79.2，所以语文平均分的近似值为79.2．（3）中位数大于平均数，因为和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边．18．某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50名，统计其考核成绩（单位：分），制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计该单位职工考核成绩低于80分的人数；（2）估计该单位职工考核成绩的中位数t（精确到0.1）．解：（1）由频率分布直方图得考核成绩低于80分的频率为（0.010+0.030）×4＝0.16，∴估计该单位职工考核成绩低于80分的人数为0.16×200＝32（人）；（2）前三组的频率为（0.010+0.030+0.070）×4＝0.44＜0.5，前四组的频率为（0.010+0.030+0.070+0.090）×4＝0.80＞0.5，中位数t∈[84，88]．由0.04+0.12+0.28+0.09×（t﹣84）＝0.5，得t≈84.7，故该单位职工考核成绩的中位数为84.7分．19．某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，制成如下频率分