专题强化训练四直线与双曲线的位置关系综合强化训练必刷30道题-2021-2022学年高二数学《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性）

强化训练四：直线与双曲线的位置关系综合强化训练必刷30道题一、单选题1．（2021·全国高二）若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为（）A．(－2，2) B．[－2，2)C．(－2，2] D．[－2，2]2．（2021·全国高二）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为（）A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝253．（2021·云南保山·（理））已知双曲线（，）与直线相交于，两点，直线上存在一点满足，坐标原点为，直线的斜率为2，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．34．（2020·江西上高二中）已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左､右焦点，点，，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，则（）A．4 B．8 C． D．5．（2021·广西崇左高中高二）已知点，是双曲线（，）的左、右顶点，，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值，则（）A．2 B． C． D．46．（2021·河南商丘·（文））双曲线：（，）的左焦点为，虚轴的上端点为，直线交双曲线的右支于点，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7．（2021·全国高二）直线l过双曲线的右焦点，斜率为2，若l与双曲线的两个交点分别在双曲线的左､右两支上，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B． C． D．8．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，那么的值是（）A．21 B．30 C．27 D．159．（2021·全国高二课时练习）设双曲线的半焦距为，直线过，两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．10．（2021·全国高二课时练习）已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、多选题11．（2021·福建泉州·）若双曲线与椭圆有相同的左右焦点，，且，在第一象限相交于点，则（）A． B．的渐近线方程为C．直线与有两个公共点 D．的面积为12．（2020·湖北省汉川市第二中学）已知双曲线的标准方程为，则（）A．双曲线的离心率等于半焦距B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线C．双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为D．直线与双曲线的公共点个数只可能为0，1，213．（2021·江苏海门市第一中学高二期末）在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（）A．直线是双曲线的一条渐近线B．点与直线的距离的最小值为1C．线段的最短长度为1D．线段的最短长度为614．（2021·东莞市光明中学高二开学考试）已知双曲线的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线上，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记的斜率分别为，，则下列说法正确的是（）A．双曲线的方程为 B．双曲线的渐近线方程为C．点到双曲线的渐近线距离为 D．为定值15．（2021·江苏海安高级中学高二期末）已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（）A．直线与轴垂直 B．的离心率为C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点）三、填空题16．（2021·湛江市第二十中学）双曲线的左焦点为，过作轴垂线交于点，过作与的一条渐近线平行的直线交于点，且、在轴同侧，若，则的离心率为_______．17．（2021·四川省资中县第二中学高二月考（文））设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且满足（是坐标原点），则直线的斜率为______.18．（2021·辽宁抚顺·）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若的焦距为4，则面积的最大值为______.19．（2021·四川南江·高二期末（文））双曲线的离心率为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于点，的动点，若直线，的斜率都存在且分别为，则的值为___________．20．（2021·江苏高二专题练习）在平面直角坐标系中，对于曲线，有下面四个结论：①曲线C关于y轴对称；②过平面内任意一点M，恰好可以作两条直线，这两条直线与曲线C都有且只有一个公共点；③存在唯一的一组实数a，b，使得曲线C上的点到坐标原点距离的最小值为1；④存在无数个点M，使得过点M可以作两条直线，这两条直线与曲线C都恰有三个公共点.其中所有正确结论的序号是___________.四、解答题21．（2020·江西省靖安中学高二月考（理））双曲线的一条渐近线方程是，坐标原点到直线的距离为，其中，.（1）求双曲线的方程；（2）若是双曲线虚轴在轴正半轴上的端点，过点作直线交双曲线于点，，求时，直线的方程.22．（2021·江苏省溧水高级中学）已知双曲线的右顶点为，过作直线交双曲线的右支于，两点（点B在x轴上方）.（1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；（2）若，求直线的斜率.23．（2020·合肥市第十一中学高二月考（理））已知双曲线:过点，两条渐近线的夹角为60°，直线交双曲线于、两点．（1）求双曲线的方程；（2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率，均存在，求证：为定值；24．（2020·南昌市八一中学高二月考）已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为双曲线右支上一个动点.（1）求的取值范围，并说明理由；（2）过点分别作两渐近线的垂线，垂足分别为，求证：为定值.25．（2018·惠州市惠城区湖滨学校高二月考（理））已知,,点满足，记点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若直线过点且与轨迹交于、两点.（i）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值.（ii）在（i）的条件下，求面积的最小值.26．（2021·云南弥勒市一中高二月考（理））已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，，短轴端点为，．（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．27．（2021·西藏拉萨中学高二月考（文））已知抛物线：()的焦点与双曲线：右顶点重合.（1）求抛物线的标准方程；（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.28．（2020·四川省眉山第一中学高二月考（理））已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积．29．（2021·河南高二月考（理））已知过点的双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是.（1）求双曲线的方程；（2）若是坐标原点，直线：与双曲线的两支各有一个交点，且交点分别是，，的面积为，求实数的值.30．（2020·河南魏都·许昌高中高二月考（文））已知椭圆：的离心率为，且双曲线的一条渐近线被椭圆截得的弦的长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的左右焦点，直线：的距离之积为1.若直线与两坐标轴正半轴相交，求直线在两坐标轴上的截距之积的最小值；参考答案1．A解：因为直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由，解得－2<k<2.故选：A.2．B设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，与y＝x联立，得x2＝a2，∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3，故选B.3．D解：设，，∵，在双曲线上，①，②，①−②得：，因为，也在直线上，所以，又因为为，的中点，所以，，所以，则，双曲线的离心率，故选：D．4．A【详解】由，得，，故线段MN所在直线的方程为，又点P在线段MN上，可设，其中，由于，，即，，得，，所以.由于，可知当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，则，故选：A.5．A【详解】设，，，则，，所以，又因为，所以，．又因为，所以，，所以．故选：A．6．B由题意得：，因为，所以又因为点B在双曲线上，所以，即，所以，故选：B7．D【详解】双曲线中一条渐近线的斜率为，若过焦点且斜率为2的直线，与双曲线的左右两支有交点，则，即，即.故选：D8．C【详解】由题意可知，，，，两式相加得，即.故选：C9．A因为直线过，两点．所以直线的方程为，即，所以原点到的距离①．又②，所以，即，故，解得或．当时，，与矛盾，所以．故选：A10．D【详解】设，，因为点A，连线经过坐标原点，根据双曲线的对称性，则，所以．因为点A，在双曲线上，所以，两式相减，得，所以，所以．故选：D.11．BD因为双曲线与椭圆有相同的左右焦点，，所以，解得，即，所以其渐近线方程为，焦点坐标为，，即B正确；因为与双曲线的一条渐近线平行，且过右焦点，所以直线与只有一个交点，即C错；由解得，又，在第一象限相交于点，所以，因此，即A错，的面积为，即D正确.故选：BD.12．AD因双曲线的标准方程为，则，双曲线C的离心率，即A正确；双曲线C的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为，它们不同，B不正确；因双曲线C的渐近线和圆都关于x轴对称，不妨选渐近线，圆心(1，0)到直线的距离，渐近线被该圆所截弦长为，C不正确；由得，时，方程组无解，直线与双曲线交点个数为0，，方程组有一解，直线与双曲线交点个数为1，时，，若，则方程组无解，直线与双曲线交点个数为0，若，则方程组有一解，直线与双曲线交点个数为1，若，则方程组有两解，直线与双曲线交点个数为2，综上得直线与双曲线的公共点个数只可能为0，1，2，即D正确.故选：AD13．ACD双曲线方程是，则其渐近线方程是，A正确；直线与渐近线平行，因此双曲线上点到直线的距离无最小值．B错；，，当是右顶点时，取得最小值，C正确；设的斜率为，则或，，设，直线方程为，由，得，，，，，因为或，所以，即，所以，当轴时，在中，令，得，此时，综上的最小值为6．D正确．故选：ACD．14．AD由题可得，左焦点在直线上，可得，即，，双曲线的方程为，故A正确；则双曲线的渐近线方程为，故B错误；点到双曲线的渐近线距离为，故C错误；设，且，满足，，则，故D正确.故选：AD.15．AB由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确；不妨设点在第一象限，易知，，，即点，设，由，得，所以，所以，即．因为点在双曲线上，所以，整理得，所以，解得或（负值舍去），B正确；，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误；不妨设点在第一象限，则，所以，D错误．故选：AB．16．易知点，将代入双曲线的方程，可得，解得，

设点，过点作与直线平行的直线为，联立，解得，即点，因为，则直线的倾斜角为，则，即有，即，即，所以，，所以，.故答案为：.17．或如图，设双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，连接，过点作右准线的垂线，记，则由双曲线的第二定义知，，其中.即，整理得，.由双曲线，得，所以，，离心率，由题设直线的倾斜角为，由，知，，所以，或，‘解得或，把代入，可求得或.故直线的斜率为或.故答案为：或.18．2【详解】不妨设在第一象限，在第四象限，联立方程组，解得故，同理可得，所以..因为的焦距为4，所以，，解得，当且仅当时取等号，所以的最大值为2.故答案为：2.19．【详解】设双曲线半焦距c，由题意知，设，，根据对称性可得，则，，两式相减得，即，由斜率坐标公式得，所以的值为.故答案为：20．①④解：当时，曲线：为焦点在轴上的双曲线，当时，曲线：为焦点在轴上的椭圆，所以双曲线和椭圆都关于轴对称，故①正确；当点在曲线上时，有无数条直线与曲线C都有且只有一个公共点，故②错误；存在三组实数使得曲线C上的点到坐标原点距离的最小值为1，故③错误；当时，存在无数个点M，使得过点M可以作两条直线，这两条直线与曲线C都恰有三个公共点，故④正确.故答案为：①④.21．（1）；（2）.【详解】（1）设直线：，由题意，，∴，∴双曲线方程为.（2）由（1）得，，设，，设直线：，∴，∴，整理得，（1）∴，，，.∵，，，∴，即，解得，∴代入（1）有解，∴：.22．（1）；（2）解：（1）设直线的方程为，与双曲线的方程联立，可得，设，，，，可得，，，，由，则；（2）若，则，即，由（1）可得，，可得，，消去，可得，解得，由于在轴的上方，可得，即有直线的斜率为．23．（1）由题意，双曲线：过点，两条渐近线的夹角为60°，可得，解得，，或，无解．所以双曲线的方程为．（2）设，由双曲线的对称性，可得，设，则，因为，，所以，即为定值3．24．（1）双曲线渐近线方程为，又，所以，双曲线的标准方程为，则，设，则所以…所以的取值范围是（2）因为又，所以为定值.25．（1）由知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，解得k2>3（i），故得对任意的恒成立，∴当m=－1时，MP⊥MQ.当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，综上，当m=－1时，MP⊥MQ.（ii）由（i）知，，当直线l的斜率存在时，，M点到直线PQ的距离为，则∴令，则，因为所以当直线l的斜率不存在时，综上可知，故的最小值为9.26．（1）因为双曲线的右焦点为到双曲线渐近线的距离为，不妨设渐近线方程为，所以.在椭圆中，因为，则，又，所以，所以双曲线的方程为，椭圆的方程为．（2）根据题意可得当直线与直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，则直线的方程设为，联立，消去，可得，则．设，，则，，所以的中点．同理可得的中点，所以